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第四章 4.6第6课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是( )
A．y＝sin(2x＋) B．y＝cos(2x＋)
C．y＝sin(x＋) D．y＝cos(x＋)
答案 A
解析 对于选项A，留意到y＝sin(2x＋)＝cos2x的周期为π，且在[，]上是减函数，故选A.
2．函数y＝2cos2x的一个单调增区间是( )
A．(－，) B．(0，)
C．(，) D．(，π)
答案 D
解析 y＝2cos2x＝1＋cos2x，
∴递增区间为2kπ＋π≤2x≤2kπ＋2π
∴kπ＋≤x≤kπ＋π
∴k＝0时，≤x≤π.选D.
3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在x＝处取得最小值，则( )
A．f(x＋)确定是偶函数
B．f(x＋)确定是奇函数
C．f(x－)确定是偶函数
D．f(x－)确定是奇函数
答案 A
解析 f(x＋)是f(x)向左平移个单位得到的f(x)图象关于x＝对称，则f(x＋)图象关于x＝0对称，故f(x＋)为偶函数．
4．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈[－，0)时，f(x)＝sinx，则f(－)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 D
解析 据题意，由函数的周期性及奇偶性知：f(－)＝f(－＋2π)＝f()＝－f(－)＝－sin(－)＝.
5．函数y＝－xcosx的部分图象是( )
答案 D
分析 方法一 由函数y＝－xcosx是奇函数，知图象关于原点对称．
又由当x∈[0，]时，cosx≥0，有－xcosx≤0.
当x∈[－，0]时，cosx≥0，有－xcosx≥0.∴应选D.
方法二 特殊值法，由f(±)＝0，
∵f()＝－·cos<0，由图象可排解A、B，
又∵f(－)＝·cos>0，排解C，故选D.
6．关于x的函数f(x)＝sin(πx＋φ)有以下命题：
①∀φ∈R，f(x＋2π)＝f(x)；
②∃φ∈R，f(x＋1)＝f(x)；
③∀φ∈R，f(x)都不是偶函数；
④∃φ∈R，使f(x)是奇函数．
其中假命题的序号是( )
A．①③ B．①④
C．②④ D．②③
答案 A
解析 对命题①，取φ＝π时，f(x＋2π)≠f(x)，命题①错误；如取φ＝2π，则f(x＋1)＝f(x)，命题②正确；对于命题③，φ＝0时f(x)＝f(－x)，则命题③错误；如取φ＝π，则f(x)＝sin(πx＋π)＝－sinπx，命题④正确．
二、填空题
7．设函数y＝2sin(2x＋)的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈[－，0]则x0＝______
答案 －
解析 由于图象的对称中心是其与x轴的交点，所以由y＝2sin(2x＋)＝0，x0∈[－，0]，得x0＝－.
8．函数f(x)＝sin (2x－)－2sin2 x的最小正周期是________．
答案 π
解析 f(x)＝sin(2x－)－2sin2x＝sin 2x－cos 2x－2×＝sin 2x＋cos 2x－＝sin(2x＋)－，故该函数的最小正周期为＝π.
9．设函数f(x)＝sin(x＋φ)(0<φ<π)，若函数f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.
答案
解析 由题意得f′(x)＝cos(x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝2sin(x＋φ＋)是奇函数，因此φ＋＝kπ(其中k∈Z)，φ＝kπ－，又0<φ<π，所以φ＝.
10．若函数y＝f(x)同时具有下列三共性质：(1)最小正周期为π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在区间[－，]上是增函数，则y＝f(x)的解析式可以是______．
答案 y＝cos(2x－π)．
11．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．
答案 [－，3]
解析 ∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，所以f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－)，∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤，∴－≤sin(2x－)≤1，∴－≤3sin(2x－)≤3，即f(x)的取值范围为[－，3]．
12．将函数y＝sin(ωx＋φ)(<φ<π)的图象，仅向右平移，或仅向左平移，所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝________.
答案
解析 留意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半，即有＝－(－)＝2π，T＝4π，即＝4π，ω＝.
三、解答题
13．已知函数f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的周期、对称轴方程；
(2)求函数f(x)的单调增区间．
解析 f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx－1＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)．
(1)f(x)的周期T＝π，函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kx－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
14．已知函数f(x)＝(sin2x－cos2x)－2sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设x∈[－，]，求f(x)的值域和单调递增区间．
解析 (1)∵f(x)＝－(cos2x－sin2x)－2sinxcosx＝－cos2x－sin2x＝－2sin(2x＋)，
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵x∈[－，]，
∴－≤2x＋≤π，∴－≤sin(2x＋)≤1.
∴f(x)的值域为[－2，]．
∵当y＝sin(2x＋)单调递减时，f(x)单调递增，
∴≤2x＋≤π，即≤x≤.
故f(x)的单调递增区间为[，]．
15．已知向量m＝(sinwx，－coswx)，n＝(sinwx，cos(wx＋))(w>0)，若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.
(1)求w的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的单调递减区间．
解析 (1)由题意得f(x)＝m·n＝sin2wx－coswxcos(wx＋)
＝sin2wx＋coswxsinwx＝＋sin2wx
＝sin2wx－cos2wx＋＝sin(2wx－)＋.
由于函数f(x)的最小正周期为π，且w >0，
所以＝π，解得w＝1.
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x＋)的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝f(＋)即函数y＝g(x)的图象．
由(1)知f(x)＝sin(2x－)＋，
所以g(x)＝f(＋)＝sin[2(＋)－]＋＝sin＋.
令2kπ＋≤≤2kπ＋(k∈Z)，解得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)．因此函数y＝g(x)的单调递减区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)．
拓展练习·自助餐
1．已知函数y＝2sin(wx＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y＝2的某两个交点横坐标为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则( )
A．w＝2，θ＝ B．w＝－，θ＝
C．w＝，θ＝ D．w＝2，θ＝
答案 A
解析 ∵y＝2sin(wx＋θ)为偶函数，∴θ＝.
∵图象与直线y＝2的两个交点横坐标为x1，x2，|x2－x1|min＝π，即T＝π.
2．将函数y＝sin(2x＋)的图象沿x轴方向平移|a|个单位后所得的图象关于点(－，0)中心对称，则a的值可能为( )
A．－ B．－
C. D.
答案 C
3．已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是( )
A．6 B．7
C．8 D．9
答案 C
解析 周期T＝＝6.由题意，T＋≤t，得t≥7.5.故选C.
4．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1] B．[1,7]
C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
答案 D
解析 由已知可得该函数的最小正周期为T＝12，则ω＝＝，又当t＝0时，A的坐标为(，)，∴此函数为y＝sin(t＋)，t∈[0,12]，可解得此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
5．已知函数f(x)＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＋1.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)当x∈[－，]时，f(x)－3≥m恒成立，试确定m的取值范围．
解 (1)f(x)＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＋1＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋)＋1.
因此函数f(x)的最小正周期为＝π.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
故函数f(x)的单调递减区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
(2)当x∈[－，]时，2x＋∈[－，]，
所以－1≤2sin(2x＋)≤2，因此0≤f(x)≤3.
由于f(x)－3≥m恒成立，
所以m≤f(x)min－3＝0－3＝－3.
故m的取值范围是(－∞，－3]．
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