2021高考数学专题测试卷：10-概率.docx

第十章 概率
(时间：120分钟　满分：150分)
一、 选择题(每小题5分，共60分)
1. 把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，大事“甲分得红牌”与大事“乙分得红牌”是(C)
A. 对立大事　
B. 不行能大事
C. 互斥但不对立大事
D. 以上答案都不对
由于甲和乙有可能一人得到红牌，一人得不到红牌，也有可能甲、乙两人都得不到红牌，故两大事为互斥但不对立大事．
2. 取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是(C)
A. 　　　　　　　　 B. 　　　　　　 C. 　　　　　　　 D.
把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为P＝＝.
3. (2021·赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是(D)
A. 　　 B. C. 　　 D.
至少一次正面朝上的对立大事的概率为，故P＝1－ ＝.
4. 从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是(D)
A. 　 B. C. 　　 D.
全部的基本大事为： (1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共15种．其中b>a的基本大事个数有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3种，故所求概率为，即，故选D. 5. 从含有4个元素的集合的全部子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是(D)
A. 　　 B. 　 C. 　　 D.
4个元素的集合共16个子集，其中含有两个元素的子集有6个，故所求概率为P＝＝.
6. 某班预备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，假如下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是(D)
A. 确定不会淋雨　　 B. 淋雨的可能性为
C. 淋雨的可能性为　　 D. 淋雨的可能性为
基本大事有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷未到”4种状况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为.
7. (2021·湛江一模)在线段AB上任取一点P，以P为顶点，B为焦点作抛物线，则该抛物线的准线与线段AB有交点的概率是(B)
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
设线段AB中点为C，以P为顶点，B为焦点作抛物线，如图所示．依据抛物线的对称性，则点P落在线段CB上时，满足抛物线的准线与线段AB有交点．因此，大事“抛物线的准线与线段AB有交点”的概率P＝＝.

8. 如图所示，在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆的内接正三角形(阴影部分)内的概率是(D)

A. B. C. D.
∵S圆＝πR2，S△＝3×R2sin 120°＝R2，∴所求的概率为＝.
9. 设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，分别从集合A和集合B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为大事Cn(2≤n≤5，n∈N)，若大事Cn的概率最大，则n的全部可能值为(D)
A. 3 B. 4
C. 2和5 D. 3和4
点P(a，b)的个数共有2×3＝6(个)，落在直线x＋y＝2上的概率P(C2)＝；落在直线x＋y＝3上的概率P(C3)＝；落在直线x＋y＝4上的概率P(C4)＝；落在直线x＋y＝5上的概率P(C5)＝，故选D.
10. (2021·江南十校联考)第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州进行，运动会期间从来自A高校的2名志愿者和来自B高校的4名志愿者中随机抽取2人到体操竞赛场馆服务，至少有一名A高校志愿者的概率是(C)
A. B.
C. D.
记2名来自A高校的志愿者为A1，A2，4名来自B高校的志愿者为B1，B2，B3，B4.从这6名志愿者中选出2名基本大事有：(A1，A2)，(A1，B1)(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15种．其中至少有一名A高校志愿者的大事有9种．故所求概率P＝＝.故选C.
11. 在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币，要使得硬币与方格线不相交的概率小于1%，则方格的边长(方格边长设为a)的取值范围为(C)
A. 　　 B.
C. D.
硬币与方格线不相交，则a＞1时，才可能发生，在每一个方格内，当硬币的圆心落在边长为a－1，中心与方格的中心重合的小正方形内时，硬币与方格线不相交，故硬币与方格线不相交的概率P＝，由＜1%，得1＜a＜.
12. 集合A＝{(x，y)|y≥|x－1|，x∈N}，集合B＝{(x，y)|y≤－x＋5，x∈N}，先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得到的点数记作a，掷其次颗骰子得到的点数记作b，则(a，b)∈A∩B的概率等于(B)
A. 　　 B. 　
C. 　　 D.
依据二元一次不等式组表示的平面区域，可知A∩B对应的整数点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)共8个．现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会毁灭36种结果．∴满足(a，b)∈A∩B的概率为＝.
二、 填空题(每小题 5 分，共 20 分)
13. 在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：

排队人数
0
1
2
3
4
5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
则至少有两人排队的概率为__0.74__．
P＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.
14. (2021·广东六校联考)盒子里共有大小相同的3个白球，1个黑球．若从中随机摸出两个球，则它们的颜色不同的概率是____．
设3个白球为A，B，C，1个黑球为d，则从中随机摸出两只球的全部可能状况有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd，共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为.
15. (2021·温州测试)将一枚骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为____．
圆心(2，0)到直线ax－by＝0的距离d＝，当d<时，直线与圆相交，则由d＝<，得b>a，满足题意的b>a共有15种状况，因此直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为＝.
16. 在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于的概率是____．
由题意可知>，三棱锥S－ABC的高与三棱锥S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM，BN分别为△APC与△ABC的高，∴＝＝>，又＝，∴>，故所求的概率为(即为长度之比)．

三、 解答题(共70分)
17. (10分)射箭竞赛的箭靶涂有 5 个彩色的分环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的竞赛靶面直径是122 cm，靶心直径12.2 cm，运动员在70 m外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率．

记“射中黄心”为大事A，由于中靶点随机的落在面积为 π×1222 cm2的大圆内，而当中靶点在面积为 π×12.22 cm2的黄心时，大事A发生，(4分)
于是大事A发生的概率P(A)＝＝0.01，
∴射中“黄心”的概率为0.01.(10分)
18. (10分)(2021·深圳调研)一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个．
(1)求连续取两次都是白球的概率；
(2)假设取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的概率是多少？
设两个白球分别为白1，白2.(1)连续取两次的基本大事有：(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)；(白1，红)(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)；(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)；(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，共16个．(2分)
连续取两次都是白球的基本大事有：(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4个，故所求概率为P1＝＝.(5分)
(2)连续取三次的基本大事有：(红，红，红)，(红，红，白1)，(红，红，白2)，(红，红，黑)；(红，白1，红)，(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白1，黑)，…，共64个．(7分)
∵取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的基本大事如下：
(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白2，白1)，(红，白2，白2)，(白1，红，白1)，(白1，红，白2)，(白2，红，白1)，(白2，红，白2)，(白1，白1，红)，(白1，白2，红)，(白2，白1，红)，(白2，白2，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，共15个，故所求概率为.(10分)
19. (12分)2022年9月7日云南省昭通市发生5.7级地震后，某市依据上级要求，要从本市人民医院报名参与救援的护理专家、外科专家、心理治疗专家8名志愿者中，各抽调1名专家组成一个医疗小组与省专家组一起赴昭通进行医疗救助，其中A1，A2，A3是护理专家，B1，B2，B3是外科专家，C1，C2是心理治疗专家．
(1)求A1恰被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
(1)从8名志愿者中选出护理专家、外科专家、心理治疗专家各1名，其一切可能的结果为：
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．共有18个基本大事．(6分)
用M表示“A1恰被选中”这一大事，则M包括(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)．共有6个基本大事．
∴P(M)＝＝.(8分)
(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一大事，则其对立大事N表示“B1和C1全被选中”这一大事，
由N包括(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，共有3个基本大事，∴P(N)＝＝，(10分)
由对立大事的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－＝.(12分)
20. (12分)某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少75%的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的5个居民小区中有3个非低碳小区，2个低碳小区．
(1)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳族小区”的概率；
(2)假定选择的“非低碳小区”为小区A，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图①所示，经过同学们的大力宣扬，三个月后，又进行了一次调查，数据如图②所示，问这时小区A是否达到“低碳小区”的标准？
,①)
,②)
(1)设三个“非低碳小区”为A，B，C，两个“低碳小区”为m，n，用(x，y)表示选定的两个小区，x，y∈{A，B，C，m，n}，(2分)
则从5个小区中任选两个小区，全部可能的结果有10个，它们是(A，B)，(A，C)，(A，m)，(A，n)，(B，C)，(B，m)，(B，n)，(C，m)，(C，n)，(m，n)．(5分)
用D表示“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一大事，则D中的结果有6个，它们是：(A，m)，(A，n)，(B，m)，(B，n)，(C，m)，(C，n)．(7分)
故所求概率为P(D)＝＝.(8分)
(2)由图①可知碳月排放量不超过300千克的属于“低碳族”．
由图②可知，三个月后的低碳族的比例为0.07＋0.23＋0.46＝0.76＞0.75，(10分)
∴三个月后小区A达到了“低碳小区”的标准．(12分)
21. (12分)(2021·济南调研)已知向量a＝(2，1)，b(x，y)．
(1)若x∈{－1，0，1，2}，y∈{－1，0，1}，求向量a∥b的概率；
(2)若x∈[－1，2]，y∈[－1，1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．
(1)设“a∥b”为大事A，由a∥b，得x＝2y.
基本大事空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)}，共包含12个基本大事；
其中大事A包含2个基本大事：{(0，0)，(2，1)}．
则P(A)＝＝，即向量a∥b的概率为.(6分)
(2)设“a，b的夹角是钝角”为大事B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b＜0，即2x＋y＜0，且x≠2y.
基本大事空间为Ω＝，
B＝，
则由图可知，P(B)＝＝＝，即向量a，b的夹角是钝角的概率是.(12分)

22. (14分)某电视生产厂家今年推出A，B，C，D四种款式的电视机，每种款式电视机的外观均有黑色、银白色两种．该厂家三月份的电视机产量(单位：台)如下表：

A款式
B款式
C款式
D款式
黑色
150
200
200
x
银白色
160
180
200
150
若按电视机的款式实行分层抽样的方法在这个月生产的电视机中抽取70台，其中C款式的电视机有20台．
(1)求x的值；
(2)若在C款式电视机中按颜色进行分层抽样抽取一个容量为6的样本，然后将该样本看成一个总体，从中任取2台，求取出的恰是1台黑色、1台银白色电视机的概率；
(3)若从A款式电视机中随机抽取10台，并对其进行检测，它们的得分分别为94，92，92，96，97，95，98，90，94，97.假如把这10台电视机的得分看做一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的确定值不超过2的概率．
(1)设该厂本月生产电视机共n台，由题意得＝，解得n＝1 400，∴x＝1 400－(150＋160＋200＋180＋200＋200＋150)＝1 400－1 240＝160，即x的值为160.(4分)
(2)在C款式电视机中按颜色进行分层抽样抽取一个容量为6的样本，即抽取了3台黑色电视机(分别记为a，b，c)，3台银白色电视机(分别记为d，e，f)，从中任取两台的取法有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15种．(7分)
而恰是1台黑色、1台银白色电视机的取法有(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，共9种，
∴所求概率为＝，即取出的恰是1台黑色、1台银白色电视机的概率为.(10分)
(3)样本平均数为×(94＋92＋92＋96＋97＋95＋98＋90＋94＋97)＝94.5，那么与样本平均数的确定值不超过2的数有94，96，95，94，共4个，∴该数与样本平均数之差的确定值不超过2的概率为＝.(14分)