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其次章 ２．２ 第２课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是( )
A．递减函数 B．递增函数
C．先减后增 D．先增后减
答案 C
解析 对称轴为x＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数．
2．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
答案 A
解析 满足<0其实就是f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选A.
3．若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是( )
A．a<－3 B．a≤－3
C．a>－3 D．a≥－3
答案 B
解析 对称轴x＝1－a≥4.∴a≤－3.
4．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1,0]上的减函数的是( )
A．y＝cosx B．y＝－|x－1|
C．y＝ln D．y＝ex＋e－x
答案 D
5．函数y＝loga(x2＋2x－3)，当x＝2时，y>0，则此函数的单调递减区间是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
答案 A
解析 当x＝2时，y＝loga(22＋2·2－3)
∴y＝loga5>0，∴a>1
由复合函数单调性知
单减区间须满足，解之得x<－3.
6．已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式>0对任意两个不相等的正实数x1、x2都成立．在下列不等式中，正确的是( )
A．f(－5)>f(3) B．f(－5)<f(3)
C．f(－3)>f(－5) D．f(－3)<f(－5)
答案 C
解析 由>0对任意两个不相等的正实数x1、x2都成立，可知，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(x)为奇函数，故f(x)在(－∞，0)上也为增函数，故选C.
7．函数f(x)在区间(－2,3)上是增函数，则y＝f(x＋5)的一个递增区间是( )
A．(3,8) B．(－7，－2)
C．(－2，－3) D．(0,5)
答案 B
解析 令－2<x＋5<3，得：－7<x<－2.
8．已知函数f(x)＝若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4在[0，＋∞)上单调递增；y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4在(－∞，0)上单调递增．
又x2＋4x－(4x－x2)＝2x2≥0，
∴f(2－a2)＞f(a)⇒2－a2＞a⇒a2＋a－2＜0⇒－2＜a＜1，故选C.
9．给定函数①y＝x；②y＝log(x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案 B
解析 ①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中的函数是由函数y＝logx向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数y＝x－1的图象保留x轴上方的部分，下方的图象翻折到x轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.
二、填空题
10．给出下列命题
①y＝在定义域内为减函数；
②y＝(x－1)2在(0，＋∞)上是增函数；
③y＝－在(－∞，0)上为增函数；
④y＝kx不是增函数就是减函数．
其中错误命题的个数有________．
答案 3
解析 ①②④错误，其中④中若k＝0，则命题不成立．
11．函数f(x)＝|logax|(0<a<1)的单调递增区间是________．
答案 [1，＋∞)
解析 函数图象如图
12．函数f(x)＝－x2＋|x|的递减区间是________．
答案 与
解析 数形结合
13．在给出的下列4个条件中，
① ②
③ ④
能使函数y＝loga为单调递减函数的是________．
(把你认为正确的条件编号都填上)．
答案 ①④
解析 利用复合函数的性质，①④正确．
14．若奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则不等式f(lgx)＋f(1)>0的解集是________．
答案 (0，)
解析 由于f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又由于f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f(x)在R上为单调递减函数．
不等式f(lgx)＋f(1)>0可化为f(lgx)>－f(1)＝f(－1)，所以lgx<－1，解得0<x<.
三、解答题
15．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
答案 (1)略 (2)0<a≤1
解析 (1)证明 任设x1<x2<－2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)解 任设1<x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述知0<a≤1.
16．函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.
答案 (1)略 (2){m|－1<m<}
解 (1)证明：设x1，x2∈R，且x1<x2，则x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.
f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.
∴f(x2)>f(x1)．
即f(x)是R上的增函数．
(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，
∴f (2)＝3，
∴原不等式可化为f(3m2－m－2)<f(2)，
∵f(x)是R上的增函数，
∴3m2－m－2<2，解得－1<m<，
故m的解集为{m|－1<m<}．
拓展练习·自助餐
1．函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是( )
A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
答案 A
解析 由已知易得即x>3，又0<0.5<1，∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．
2．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)( )
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
答案 A
解析 当x<0时，－x>0，－(2x＋)＝(－2x)＋(－)≥2＝2，即2x＋≤－2，2x＋－1≤－2－1，即f(x)≤－2－1，当且仅当－2x＝－，即x＝－时取等号，此时函数f(x)有最大值，选A.
3．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(||)<f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 由已知得：||>1⇒－1<x<0或0<x<1，故选C.
4．函数f(x)＝(x∈R且x≠1)的单调增区间是______．
答案 (－∞，0)和(2，＋∞)
解析 将原函数y＝变形为y＝(x－1)＋＋2
明显x－1在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)内取值时，函数单调递增，即得x在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内取值时，函数单调递增．
5．函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，－ ]∪(1， ]
解析 由于f(x)为单调函数，若a>0，则当x≥0时，f(x)＝ax2＋1是单调递增函数，故当x<0时，f(x)也是单调递增函数，又a>0时，eax为单调递增函数，所以a2－1>0，又f(x)在(－∞，＋∞)上单调，故还应满足(a2－1)·e0≤a×02＋1，即需满足
同理，当a<0时，满足
综上得1<a≤或a≤－.
6．已知函数f(x)自变量取值区间A，若其值域区间也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．
(1)求函数f(x)＝x2形如[n，＋∞)(n∈R)的保值区间；
(2)g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)，求m的取值范围．
解析 (1)若n<0，则n＝f(0)＝0，冲突．
若n≥0，则n＝f(n)＝n2，解得n＝0或1，
所以f(x)的保值区间为[0，＋∞)或[1，＋∞)．
(2)由于g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)，
所以2＋m>0，即m>－2，
令g′(x)＝1－>0，得x>1－m，
所以g(x)在(1－m，＋∞)上为增函数，
同理可得g(x)在(－m,1－m)上为减函数．
若2≤1－m即m≤－1时，
则g(1－m)＝2得m＝－1满足题意．
若m>－1时，则g(2)＝2，得m＝－1，冲突．
所以满足条件的m值为－1.
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