【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：9.6.docx

第九章 9.6第6课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．给定四条曲线：①x2＋y2＝；②＋＝1；③x2＋＝1；④＋y2＝1.其中与直线x＋y－＝0仅有一个交点的曲线是(　　)
A．①②③　　　　　 　B．②③④
C．①②④ D．①③④
答案　D
2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
答案　A
解析　∵直线方程可化为y－1＝k(x－1)．
恒过(1,1)定点，而(1,1)在椭圆内部，选A.

3．如图，椭圆中心在坐标原点，离心率为，F为椭圆左焦点，直线AB与FC交于D点，则∠BDC的正切值是(　　)
A．－3 B．3－
C．3 D．3＋
答案　A
解析　∵e＝∴a＝2c
∵a2＝b2＋c2　∴b＝c＝a
∴tan∠ABO＝＝
tan∠DFB＝tan∠CFO＝＝
∴tan∠BDC＝－tan(∠ABO＋∠DFB)
＝－＝－3，选A.
4．椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
答案　C
解析　PQ为过F1垂直于x轴的弦，

则Q(－c，)，△PF2Q的周长为36，
∴4a＝36，a＝9，
由已知＝5，即＝5，
又a＝9，解得c＝6，
解得＝，即e＝.
5．设直线l：2x＋y＋2＝0关于原点对称的直线为l′.若l′与椭圆x2＋＝1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　由已知求得l′：2x＋y－2＝0与椭圆两交点分别为长、短轴端点，其中A(0,2)，B(1,0)，∴|AB|＝.
∴顶点P到底边AB的距离h＝＝.
设与直线l′平行且距离为的直线l″：
2x＋y＋c＝0(c≠－2)．
由两平行直线间距离公式，得
d＝＝＝.
∴c＝－1或c＝－3.
两平行线为2x＋y－1＝0,2x＋y－3＝0.
联立①

②
对于方程组①，Δ1>0，直线与椭圆有两个交点．对于方程组②，Δ2<0，直线与椭圆无交点．
综合知，满足题意的点P有2个，如图所示．
6．若AB是过椭圆＋＝1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与坐标轴不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝(　　)
A．－　　B．－　　C．－　　D．－
答案　B
解析　解法一(直接法)：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，
则B(－x1，－y1)，
则kAM·kBM＝·＝
＝
＝－.
解法二(特值法)：由于四个选项为确定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM＝－.
二、填空题
7．过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F作弦AB，若|AF|＝d1，|FB|＝d2，那么＋的值为________．
答案　
解析　法一(特殊值法)：令弦AB与x轴垂直
d1＝d2＝，∴＋＝.
法二：设AB的方程为y＝k(x－c)
∴b2x2＋a2k2(x－c)2－a2b2＝0
∴(a2k2＋b2)x2－2a2k2cx＋a2k2c2－a2b2＝0
∴x1＋x2＝，x1·x2＝
∴＋＝
＝＝.
8．若直线y＝kx＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＋＝1恒有公共点，则t的范围为__________．
答案　[1,5)
9．以椭圆＋＝1内的点M(1,1)为中点的弦所在的直线方程是________．
答案　x＋4y－5＝0
解析　∵由点差法知，从M(1,1)为中点弦的斜率k＝－·＝－.
∴弦的直线方程为y－1＝－(x－1)．
10.

已知椭圆＋＝1(a>b>0)，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点为A、B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为____．
答案　
解析　如图，由于四边形PAOB为正方形，且PA、PB为圆O的切线，所以△OAP是等腰直角三角形，故a＝b，所以e＝＝.
11．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M、N两点，原点O与线段MN的中点P连线的斜率为，则的值是________．
答案　
解析　由消去y，
得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
则MN的中点P的坐标为(，)，
∴kOP＝＝.
三、解答题
12．已知椭圆＋y2＝1及点B(0，－2)，过左焦点F1与B的直线交椭圆于C、D两点，F2为其右焦点，求△CDF2的面积．

解析　∵F1＝(－1,0)
∴直线CD方程为y＝－2x－2，
由
得9x2＋16x＋6＝0，而Δ>0，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则
|CD|＝，
∴|CD|＝＝.
F2到直线DC的距离d＝，
故S△CDF2＝|CD|·d＝.
13．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？假如存在，求k值；假如不存在，请说明理由．
解析　(1)由已知条件，直线l的方程为
y＝kx＋，
代入椭圆方程得
＋(kx＋)2＝1，
整理得(＋k2)x2＋2kx＋1＝0①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
Δ＝8k2－4(＋k2)＝4k2－2>0，
解得k<－或k>.即k的取值范围为
(－∞，－)∪(，＋∞)．
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①，
x1＋x2＝②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2③
所以＋与AB共线等价于
x1＋x2＝－(y1＋y2)，
将②③代入上式，解得k＝.
由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.
14．已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过A(0,2)、B(，)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过E(1,0)的直线l与C交于两个不同点M、N，求·的取值范围．
解析　(1)设椭圆C的方程为mx2＋ny2＝1，
由椭圆C过A(0,2)、B(，)得：
⇒.
∴椭圆C的方程为：8x2＋y2＝4.
(2)当过E(1,0)的直线l与x轴垂直时，l与曲线C无交点，不合题意，
∴设直线l的方程为：y＝k(x－1)，l与曲线C交于M(x1，y1)、N(x2，y2)，
由⇒(8＋k2)x2－2k2x＋k2－4＝0，
∴
＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
∴·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝x1x2－x1－x2＋1＋y1y2＝x1x2－x1－x2＋1＋k2(x1x2－x1－x2＋1)＝(1＋k2)(－＋1)＝＝4－.
∵0≤k2<8，∴·的取值范围是[，)．
15．设A、B是椭圆3x2＋y2＝λ上的两点，点N(1,3)是弦AB的中点，弦AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．
(1)求弦AB所在直线的方程，并确定λ的取值范围；
(2)求以弦CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程．
解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
，整理得3(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
由题意知，x1≠x2，∴kAB＝＝－.
∵N(1,3)是弦AB的中点，
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝6，∴kAB＝－1，∴弦AB所在直线的方程为y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0.
又N(1,3)在椭圆内，∴λ>3×12＋32＝12，
∴λ的取值范围是(12，＋∞)．
(2)∵弦CD垂直平分弦AB，∴弦CD所在直线的方程为y－3＝x－1，即x－y＋2＝0，
将其代入椭圆的方程，整理得4x2＋4x＋4－λ＝0.①
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，弦CD的中点为M(x0，y0)，则x3、x4是方程①的两根，
∴x3＋x4＝－1，∴x0＝(x3＋x4)＝－，y0＝x0＋2＝，即M(－，)．
∴点M到直线AB的距离d＝＝，∴以弦CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程为(x＋)2＋(y－)2＝.

拓展练习·自助餐

1．直线＋＝1与椭圆＋＝1相交于A、B两点，椭圆上的点P使△ABP的面积等于12，这样的点P共有(　　)
A．1个　　　B．2个 C．3个　　　D．4个
答案　B
解析　可求出|AB|＝5，设P(4cosθ，3sinθ)，
所以P点到AB的距离
d＝＝
∴θ＝π或，所以这样的点P有两个．
2．椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线x＋y＝1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．
(1)求＋的值；
(2)若椭圆的离心率e满足≤e≤，求椭圆长轴的取值范围．
解析　(1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由OP⊥OQ⇔x1x2＋y1y2＝0，∵y1＝1－x1，y2＝1－x2，代入上式得：2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0①
又将y＝1－x代入＋＝1
⇒(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，
∵Δ＞0，∴x1＋x2＝，
x1x2＝代入①代简得＋＝2.
(2)∵e2＝＝1－∴≤1－≤⇒≤ ≤，又由(1)知b2＝
∴≤≤⇒≤ a2≤⇒≤a≤，
∴长轴2a∈[，]．
3．在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)、(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点．
(Ⅰ)写出C的方程；
(Ⅱ)若⊥，求k的值．
解析　(Ⅰ)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b＝＝1.
故曲线C的方程为x2＋＝1.
(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足

消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.
故x1＋x2＝－，x1x2＝－.
若⊥，即x1x2＋y1y2＝0.
而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1.
于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝0.
化简得－4k2＋1＝0.所以k＝±
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．
解析　(1)设椭圆的半焦距为c，依题意
，∴b＝1，∴所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
①当AB⊥x轴时，|AB|＝.
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.
由已知＝，得m2＝(k2＋1)．把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2
＝(1＋k2)
＝＝
＝3＋＝3＋(k≠0)
≤3＋＝4.
当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．
当k＝0时，|AB|＝，综上所述|AB|max＝2.
∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．
S＝×|AB|max×＝