2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第5章-第4讲-平面向量应用举例.docx

第4讲 平面对量应用举例
一、选择题
1．△ABC的三个内角成等差数列，且(＋)·＝0，则△ABC确定是(　　)．
A．等腰直角三角形 B．非等腰直角三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
解析　△ABC中BC边的中线又是BC边的高，故△ABC为等腰三角形，又A，B，C成等差数列，故B＝.
答案　C
2. 半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则(＋)·的值是(　　)
A．－2
B．－1
C．2
D．无法确定，与C点位置有关
解析 (＋)·＝2·＝－2.
答案　A
3. 函数y＝tanx－的部分图象如图所示，则(＋)·＝ (　　)．
A．4 B．6
C．1 D．2
解析　由条件可得B(3,1)，A(2,0)，
∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6.
答案　B
4．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则·＝(　　)．
A. B. C. D.
解析　法一　依题意，不妨设＝E，＝2，
则有－＝(－)，即＝＋；
－＝2(－)，即＝＋.
所以·＝·
＝(2＋)·(＋2)
＝(22＋22＋5·)
＝(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝，选A.
法二　由∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1可得∠ACB＝90°，
如图建立直角坐标系，则A(0,1)，E，F，
∴·＝·＝·＋(－1)·(－1)＝＋1＝，选A.
答案　A
5．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为(　　)．

A．3 B. C．2 D.
解析　(特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得＝.
答案　B
6．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，则在方向上的投影为 (　　)．
A．1 B．2 C. D．3
解析　如图，由题意可设D为BC的中点，由＋＋＝0，得＋2＝0，即＝2，∴A，O，D共线且||＝2||，又O为△ABC的外心，
∴AO为BC的中垂线，
∴||＝||＝||＝2，||＝1，
∴||＝，∴在方向上的投影为.
答案　C
二、填空题
7. △ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．
解析 ∵·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1，
∵·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.
∴·＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.
答案 3
8．已知平面对量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．
解析　∵|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝4|a||b|cos＝4＞0，
∴|a＋b|＞|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，∴|a－b|＝.
答案　
9．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为________．
解析　若a⊥b，则4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.
9x＋3y＝32x＋3y≥2×＝2×＝6.
当且仅当x＝，y＝1时取得最小值．
答案　6
10．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．
解析　由题意得：f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b必有可变号零点，即Δ＝|a|2－4a·b>0，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<.所以a与b的夹角范围为.
答案　
三、解答题
11．已知A(2,0)，B(0,2)，C(cos θ，sin θ)，O为坐标原点
(1) ·＝－，求sin 2θ的值．
(2)若|＋|＝，且θ∈(－π，0)，求与的夹角．
解 (1) ＝(cos θ，sin θ)－(2,0)
＝(cos θ－2，sin θ)
＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)．
·＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2)
＝cos2θ－2cos θ＋sin2θ－2sin θ
＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－.
∴sin θ＋cos θ＝，
∴1＋2sin θcos θ＝，
∴sin 2θ＝－1＝－.
(2)∵＝(2,0)，＝(cos θ，sin θ)，
∴＋＝(2＋cos θ，sin θ)，
∴|＋|＝＝.
即4＋4cos θ＋cos2θ＋sin2θ＝7.
∴4cos θ＝2，即cos θ＝.
∵－π<θ<0，∴θ＝－.
又∵＝(0,2)，＝，
∴cos 〈，〉＝＝＝－.
∴〈，〉＝.
12．已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈.
(1)若||＝||，求角α的值；
(2)若·＝－1，求的值．
解　(1)∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，
∴2＝(cos α－3)2＋sin2α＝10－6cos α，
2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，
由||＝||，可得2＝2，
即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α.
又α∈，∴α＝.
(2)由·＝－1，
得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，
∴sin α＋cos α＝.①
又＝＝2sin αcos α.
由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－.
∴＝－.
13．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，c＝(－1,0)．
(1)若x＝，求向量a与c的夹角；
(2)当x∈时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值，并求此时x的值．
解　(1)设a与c夹角为θ，当x＝时，a＝，
cos θ＝＝
＝－.∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)f(x)＝2a·b＋1＝2(－cos2x＋sin xcos x)＋1＝2sin xcos x－(2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin，
∵x∈，∴2x－∈，
故sin∈，∴当2x－＝，
即x＝时，f(x)max＝1.
14．已知向量m＝，
n＝.
(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．
解　(1)m·n＝sin ·cos ＋cos2
＝sin ＋＝sin＋，
∵m·n＝1，∴sin＝.
cos＝1－2sin2＝，
cos＝－cos＝－.
(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.
∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0.
∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝，∴0＜A＜.
∴＜＋＜，sin∈.
又∵f(x)＝sin＋，∴f(A)＝sin＋.
故函数f(A)的取值范围是.