【全程复习方略】2021高考数学(文理通用)一轮专项强化训练5.docx

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专项强化训练(五)
(45分钟　80分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知A(-3,8)和B(2,2),在x轴上有一点M,使得|AM|+|BM|为最短,那么点M的坐标为(　　)
A.(-1,0) B.(1,0)
C.225,0 D.0,225
【解析】选B.点B(2,2)关于x轴的对称点为B′(2,-2),连接AB′,易求得直线AB′的方程为2x+y-2=0,它与x轴的交点M(1,0)即为所求.
2.(2022·台州模拟)以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x+2=0相切,则圆必过下列哪个定点(　　)
A.(0,2) B.(2,0)
C.(4,0) D.(0,4)
【解析】选B.抛物线y2=8x的焦点F(2,0),
准线x=-2.
由抛物线定义知,圆心到准线x=-2的距离等于到焦点F的距离,又圆与直线x=-2相切,所以圆必过焦点(2,0).
3.(2022·温州模拟)若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则1a+1b的最小值为(　　)
A.14 B.2
C.32+22 D.32+2
【解析】选D.易知圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心(-1,2),半径r=2.
由于直线ax-by+2=0被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4=2r,所以直线ax-by+2=0过圆心(-1,2),即-a-2b+2=0,所以a+2b=2,
1a+1b=1a+1ba2+b=32+a2b+ba≥32+2.
4.(2022·成都模拟)已知直线y=kx+1,当k变化时,此直线被椭圆x24+y2=1截得的最大弦长是(　　)
A.4 B.433
C.2 D.不能确定
【解析】选B.由直线y=kx+1过定点(0,1),即椭圆短轴端点.最长弦即椭圆上点到(0,1)最大距离,设椭圆上P(x0,y0)到(0,1)距离为d,则d=x02+(y0-1)2,又x024+y02=1,所以d=-3y0+132+163,又-1≤y0<1,则当y0=-13时,dmax=433.
5.(2021·长春模拟)如图所示,等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2AD,设∠DAB=θ,θ∈0,π2,以A,B为焦点,且过点D的双曲线的离心率为e1;以C,D为焦点,且过点B的椭圆的离心率为e2,则(　　)
A.当θ增大时,e1增大,e1·e2为定值
B.当θ增大时,e1减小,e1·e2为定值
C.当θ增大时,e1增大,e1·e2增大
D.当θ增大时,e1减小,e1·e2减小
【解析】选B.由题可知:双曲线离心率e1=
|AB||DB|-|DA|,
椭圆离心率e2=|CD||BD|+|BC|.
设|AD|=|BC|=t,则|AB|=2t,|CD|=2t-2tcosθ,
|BD|=t5-4cosθ,
e1=25-4cosθ-1,e2=2-2cosθ5-4cosθ+1,
当θ∈0,π2时,θ增大,cosθ减小,导致e1减小,
e1·e2=25-4cosθ-1·2-2cosθ5-4cosθ+1=1.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2022·十堰模拟)双曲线x24+y2k=1的离心率为e,且e∈(1,2),则k的范围是　　　　.
【解析】在双曲线x24+y2k=1中,a2=4,b2=-k,c2=a2+b2=4-k,又由于离心率e∈(1,2),所以1<c2a2<4,即1<4-k4<4,解得:-12<k<0.
答案:-12<k<0
7.设F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为　　　　.
【解析】|PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,易知M点在椭圆外,连接MF2并延长交椭圆于P点,此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+|PF1|的最大值为10+|MF2|=10+(6-3)2+42=15.
答案:15
8.设M是椭圆x24+y23=1上的动点,A1和A2分别是椭圆的左、右顶点,则MA1→·MA2→的最小值等于　　　　.
【解析】设M(x0,y0),则MA1→=(-2-x0,-y0),
MA2→=(2-x0,-y0)
⇒MA1→·MA2→=x02+y02-4
=x02+3-34x02-4=14x02-1,
明显当x0=0时,MA1→·MA2→取最小值为-1.
答案:-1
三、解答题(9～10题各13分,11题14分)
9.(2022·福州模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A,B两点.
(1)假如直线l过抛物线的焦点,求OA→·OB→的值.
(2)假如OA→·OB→=-4,证明:直线l必过确定点,并求出该定点.
【解析】(1)由题意:抛物线焦点为(1,0),设l:x=ty+1,代入抛物线y2=4x,消去x得y2-4ty-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4,
所以OA→·OB→=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2
=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3.
(2)设l:x=ty+b,代入抛物线y2=4x,
消去x得y2-4ty-4b=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4t,y1y2=-4b,
所以OA→·OB→=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2
=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2
=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b.
令b2-4b=-4,所以b2-4b+4=0,所以b=2,
所以直线l过定点(2,0).
所以若OA→·OB→=-4,则直线l必过确定点(2,0).
10.(2022·温州模拟)如图,已知抛物线C1:x2=2py的焦点在抛物线C2:y=12x2+1上.

(1)求抛物线C1的方程及其准线方程.
(2)过抛物线C1上的动点P作抛物线C2的两条切线PM,PN,切点为M,N.若PM,PN的斜率乘积为m,且m∈[2,4],求|OP|的取值范围.
【解析】(1)C1的焦点为F0,p2,
所以p2=0+1,p=2.
故C1的方程为x2=4y,其准线方程为y=-1.
(2)任取点P(2t,t2),设过点P的C2的切线方程为y-t2=k(x-2t).
由y-t2=k(x-2t),y=12x2+1,
得x2-2kx+4tk-2t2+2=0.
由Δ=(-2k)2-4(4tk-2t2+2)=0,化简得k2-4tk+2t2-2=0,
设PM,PN斜率分别为k1,k2,
则m=k1k2=2t2-2,
由于m∈[2,4],所以t2∈[2,3],
所以|OP|2=4t2+t4=(t2+2)2-4∈[12,21],
所以|OP|∈[23,21].
11.(2022·台州模拟)已知焦点在y轴上的椭圆C1:y2a2+x2b2=1经过A(1,0)点,且离心率为32.
(1)求椭圆C1的方程.
(2)过抛物线C2:y=x2+h(h∈R)上P点的切线与椭圆C1交于两点M,N,记线段MN与PA的中点分别为G,H,当GH与y轴平行时,求h的最小值.
【解析】(1)由题意可得1b2=1,ca=32,a2=b2+c2
解得a=2,b=1,
所以椭圆C1的方程为:x2+y24=1.
(2)设P(t,t2+h),由y′=2x得,抛物线C2在点P处的切线的斜率为k=y′|x=t=2t,
所以MN的方程为y=2tx-t2+h,
代入椭圆方程得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,
化简得4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.
又MN与椭圆C1有两个交点,故
Δ=16-t4+2(h+2)t2-h2+4>0,　①
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点横坐标为x0,
则x0=x1+x22=t(t2-h)2(1+t2),
设线段PA的中点横坐标为x3=1+t2,
由已知得x0=x3,即t(t2-h)2(1+t2)=1+t2,　②
明显t≠0,h=-t+1t+1　③
当t>0时,t+1t≥2,当且仅当t=1时取得等号,此时h≤-3不符合①式,故舍去;
当t<0时,(-t)+-1t≥2,当且仅当t=-1时取得等号,此时h≥1,满足①式.
综上,h的最小值为1.

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