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第三章 §5 第1课时
一、选择题
1．已知f(x)＝log5x，则f(5)＝( )
A．0 B．1
C．5 D．25
[答案] B
[解析] f(5)＝log55＝1.
2．函数y＝的定义域是( )
A．(0,1] B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案] D
[解析] 由
得解得x≥1.
3．下列函数中是对数函数的是( )
A．y＝x B．y＝(x＋1)
C．y＝2x D．y＝x＋1
[答案] A
[解析] 形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数，故选A.
4．函数y＝log3x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是( )
A．(0，＋∞) B．R
C．(－∞，0) D．(0,1)
[答案] A
[解析] 反函数值域为原函数定义域(0，＋∞)．
5．函数y＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，5) B．(2,5)
C．(2，＋∞) D．(2,3)∪(3,5)
[答案] D
[解析] 由对数函数定义可知，解得.
即2<a<5且a≠3.故选D.
6．函数y＝|log2x|的图像是图中的( )
[答案] A
[解析] 有关函数图像的变换是考试的一个热点，本题目的图像变换是翻折变换，可知这个函数是由y＝log2x经上折而得到的．
二、填空题
7．函数y＝的定义域是________．
[答案] (－1,1)
[解析] 由(1－x2)＝－log2(1－x2)＝log2≥0，得≥1，即0<1－x2≤1，所以－1<x<1.
8．已知函数y＝ax＋b的图像过点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，则a＝________，b＝________.
[答案] 3 1
[解析] 由函数y＝ax＋b的图像过点(1,4)得a＋b＝4；由反函数的图像过点(2,0)知原函数的图像过点(0,2)，得a0＋b＝2，因此a＝3，b＝1.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝的定义域为A，函数g(x)＝()x(－1≤x≤0)的值域为B.
(1)求A∩B；
(2)若C＝{y|y≤a－1}，且B⊆C，求a的取值范围．
[解析] (1)由题意知：
⇒x≥2.
∴A＝{x|x≥2}，B＝{y|1≤y≤2}．∴A∩B＝{2}．
(2)由(1)知B＝{y|1≤y≤2}，
若要使B⊆C，则有a－1≥2，∴a≥3.
10．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝.
[解析] (1)∵由
得
∴x>－1，且x≠999，
∴函数的定义域为{x|x>－1，且x≠999}．
(2)由题意可知
∴
∴即1≤x<2.
故函数y＝的定义域为{x|1≤x<2}.
一、选择题
1．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案] A
[解析] 本题考查了指、对函数的基本性质，复合函数的值域问题．
3x>0⇒3x＋1>1⇒log2(3x＋1)>log21＝0，选A.
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B.
C．x D．2x－2
[答案] A
[解析] 函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，
又f(2)＝1，即loga2＝1，所以，a＝2，
故f(x)＝log2x，选A.
二、填空题
3．(2021·新课标Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
[答案] 1
[解析] 由题知y＝ln(x＋)是奇函数，
所以ln(x＋)＋ln(－x＋)
＝ln(a＋x2－x2)＝ln a＝0，解得a＝1.
4．(1)函数f(x)＝log2[log2(log2x)]的定义域为________；
(2)已知y＝log2(ax＋1)(a≠0)的定义域为(－∞，1)，则a的取值是________．
[答案] (1){x|x>2} (2)a＝－1
[解析] 依据对数函数的定义域列出关于x的不等式．(1)由f(x)＝log2[log2(log2x)]知log2(log2x)>0，即log2x>1，∴x>2；
(2)∵f(x)的定义域为(－∞，1)，∴ax＋1>0的解集为(－∞，1)．∴x＝1是方程ax＋1＝0的根，∴a＋1＝0，即a＝－1.
三、解答题
5．求函数y＝3x－4(x≥2)的反函数．
[解析] ∵y＝3x－4，∴3x＝y＋4，∴x＝log3(y＋4)，
∴y＝log3(x＋4)，
又∵x≥2，∴3x－4≥5，∴定义域为[5，＋∞)．
∴函数的反函数为y＝log3(x＋4)(x≥5)．
6．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图像；
(2)若f(a)<f(2)，利用图像求a的取值范围．
[解析] (1)作出函数y＝log3x的图像如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，
解得x＝2.
由图像知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．
∴所求a的取值范围为(0,2)．
7．已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)推断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)若f()＝1，求a的值．
[解析] (1)∵f(x)＝loga，需有>0，
即(1＋x)(1－x)>0，(x＋1)(x－1)<0，∴－1<x<1.
∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)∵f(－x)＝loga＝loga()－1
＝－loga＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(3)∵f()＝loga＝loga3.
∴loga3＝1，故a＝3.
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