3-10初二数学平行四边形教学文案.doc

3-10初二数学平行四边形

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君林教育辅导班随堂试卷
1．已知：如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．求证：DE=DF．

2．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD、CE，两线交于点F．

（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：四边形ABFE是菱形．
3．（9分）如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．

（1）（4分）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）（5分）若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
4．）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE。

（1）试说明△BDE≌△CDF
（2）请连接BF、CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由.
5．如图，在平行四边形ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．

（1）试说明：AE⊥BF；
（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．
6．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．

（1）试判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 度得到；
（3）若BC=8，则四边形AECF的面积为 ．（直接写结果）
7．（本题8分）在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．
A
F
B
C
D
E

（1）求证：BD=CD．
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
8．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．

（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．
9．如图，在△ABC中，AD为角平分线，CE⊥AD，F为BC中点．
求证：EF=（AB-AC）．

10．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD，垂足是E，F是CB的中点．求证：BD=2EF．

11．
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC上的中点，AB=5，CD=7．求四边形EFGH的周长．

12．
如图，在△ABC中，点F是BC的中点，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点D，交AB于点E，连接DF，已知AB=16，AC=10，求DF的长．

13．
如图，在△ABC中（AB≠AC），M为BC的中点，AD平分∠BAC交BC于D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，求证：ME=MF．

14．如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．计算：∠PBA=∠PCQ=30°．

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参考答案
1．证明见解析.
【解析】
试题分析：可通过证明OE=OF，然后根据垂直平分线性质来得出DE=DF，要证明OE=OF，证明三角形BOF和三角形DOE全等即可．
试题解析：证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠OBF=∠ODE
∵O为BD的中点
∴OB=OD
在△BOF和△DOE中，
∵
∴△BOF≌△DOE
∴OF=OE
∵EF⊥BD于点O
∴DE=DF．
考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.线段垂直平分线的性质．
2．（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．
【解析】
试题分析：（1）根据旋转角求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等．
（2）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得．
试题解析：（1）∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，∴∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAD=∠CAE=100°，又∵AB=AC，∴AB=AC=AD=AE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°，∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，∴∠BAE=∠BFE，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AB=AE，∴平行四边形ABFE是菱形．
考点：1．菱形的判定；2．全等三角形的判定与性质；3．旋转的性质．
3．（1）证明见试题解析；（2）5．
【解析】
试题分析：（1）根据平行四边形性质得出AD∥BC，且AD=BC，推出AF∥EC，AF=EC，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）根据AECF是菱形，得到AE=CE，∠EAC=∠ECA，从而∠ABC+∠EAC=90°，故∠ABC=∠BAE，即可得到BE=AE=CE=10÷2=5．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵AECF是菱形，∴AE=CE，∴∠EAC=∠ECA，∴∠ABC+∠EAC=90°，∴∠ABC=∠BAE，∴BE=AE=CE=10÷2=5．
考点：1．平行四边形的判定与性质；2．菱形的性质．
4．（1）理由见解析；（2）四边形BECF是平行四边形．理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）利用CF∥BE和D是BC边的中点可以得到全等条件证明△BDE≌△CDF；
（2）根据（1）的结论和平行四边形的判定容易证明四边形BECF是平行四边形．
试题解析：（1）∵CF∥BE，
∴∠FCD=∠EBD．
∵D是BC的中点，
∴CD=BD．
∵∠FDC=∠EDB，
∴△CDF≌△BDE（ASA）．
（2）四边形BECF是平行四边形．
理由：∵△CDF≌△BDE，
∴DF=DE，DC=DB．
∴四边形BECF是平行四边形．
考点：1.平行四边形的判定；2.全等三角形的判定．
5．（1）证明见解析（2）DF=CE，理由见解析
【解析】
试题分析：（1）利用平行四边形的性质得到AD∥BC，然后得到∠DAB+∠ABC=180°，然后根据角的平分线得出∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF，等量代换得出∠BAE+∠ABF=90°即可；（2）先猜想DF=CE，利用角的平分线和平行线的性质可得DE=AD，CF=BC，然后利用线段的和差关系可得出结论.
试题解析：（1）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF．
∴2∠BAE+2∠ABF=180°．
即∠BAE+∠ABF=90°．
∴∠AMB=90°．
∴AE⊥BF．
（2）DF=CE，
∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAB．
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB．∴∠DEA=∠DAE．
∴DE=AD．
同理可得，CF=BC．
又∵在平行四边形ABCD中，AD=BC，
∴DE=CF．
∴DE﹣EF=CF﹣EF．
即DF=CE．
考点：1.平行四边形的性质2.等腰三角形的判定3.角的和差关系.
6．（1）△AEF是等腰直角三角形；（2）A，90；（3）64．
【解析】
试题分析：（1）由正方形性质得出AB=AD，∠DAB=∠ABF=∠D=90°，证△ADE≌△ABF，推出AE=AF，∠DAE=∠FAB即可．
（2）由全等三角形性质和旋转的性质得出即可．
（3）求出四边形AECF的面积等于正方形ABCD面积，求出正方形的面积即可．
试题解析：解：（1）△AEF是等腰直角三角形，理由是：
∵四边形ABCD是正方形，F是BC延长线上一点，∴AB=AD，∠DAB=∠ABF=∠D=90°，在△ADE和△ABF中，∵AD=AB，∠D=∠ABF，DE=BF，∴△ADE≌△ABF（SAS），∴AE=AF，∠DAE=∠FAB，∵∠DAB=∠DAE+∠BAE=90°，∴∠FAE=∠DAB=90°，即△AEF是等腰直角三角形；
（2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到的，故答案为：A，90；
（3）∵△ADE≌△ABF，∴SADE=S△ABF，∴四边形AECF的面积S=S四边形ABCE+S△ABF=S四边形ABCE+S△ADE
=S正方形ABCD=8×8=64．故答案为：64．
考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．正方形的性质．
7．详见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据等边三角形的性质，利用SAS易证△BDE≌△BAC，即可得DE=AC=AF，同理可得EF=AB=AD，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判定四边形ADEF为平行四边形；
（2）AB=AC时，根据一组邻边相等的平行四边形为菱形即可判定平行四边形ADEF为菱形；要使平行四边形AEDF是矩形，则有∠DEF=90°，由∠DEF=∠BED+∠BEC+∠CEF，可推出∠BAC=150°时为矩形．
试题解析：（1）四边形ADEF为平行四边形，
证明：∵△ABD和△EBC都是等边三角形，
∴BD=AB，BE=BC；
∵∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBA﹣∠EBA=∠EBC﹣∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC；
∵在△BDE和△BAC中
，
∴△BDE≌△BAC，
∴DE=AC=AF，
同理可证：△ECF≌△BCA，
∴EF=AB=AD，
∴ADEF为平行四边形；
（2）AB=AC时，▱ADEF为菱形，当∠BAC=150°时▱ADEF为矩形．
理由是：∵AB=AC，
∴AD=AF．
∴▱ADEF是菱形．
∴∠DEF=90°
=∠BED+∠BEC+∠CEF
=∠BCA+60°+∠CBA
=180﹣∠BAC+60°
=240°﹣∠BAC，
∴∠BAC=150°，
∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠DAF=90°，
∴平行四边形ADEF是矩形．
考点：等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．
8．（1）见解析；（2）解析；（3）点F在正方形ABCD内．
【解析】
试题分析：首先画出图形，根据正方形的性质得出GF=EF，AG=AE，AD=AB，从而得出DG=BE，结合∠DGF=∠BEF=Rt∠得出△DGF≌△BEF，从而说明结论；将图一中的正方形AEFG绕点A旋转180°，得出反例图形；我们只需需要保证点F在正方形ABCD内即可．
试题解析：（1）证明：如图1，正方形ABCD和正方形AEFG中 ∵GF=EF，AG=AE，而AD=AB ∴DG=BE
又∵∠DGF=∠BEF=Rt∠ ∴△DGF≌△BEF ∴DF=BF
（2）如图所示：
（3）不唯一，如点F在正方形ABCD内，或α＜180°．

考点：三角形全等的性质．
9．（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由折叠的性质得到BE=PE，EC⊥PB，根据E为AB中点，得到AE=PE，利用等角对等边得到两对角相等，利用外角性质得到∠AEP=2∠EPB，设∠EPB=x，则∠AEP=2x，表示出∠APE，由∠APE+∠EPB得到∠APB为90°，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；
（2）根据等边三角形性质，得到△AEP三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由AP=EB，利用AAS即可得证；
（3）过P作PM⊥CD，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，利用面积求出BQ，再根据BP=2BQ求出BP，在Rt△ABP中，利用勾股定理求出AP，根据AF-AP求出PF，由PM与AD平行，得到△PMF与△ADF相似，由相似得比例求出PM，再由FC=AE=3，求出△CPF面积即可．
试题解析：（1）由折叠得到BE=PE，EC⊥PB，∵E为AB的中点，∴AE=EB，即AE=PE，∴∠EBP=∠EPB，∠EAP=∠EPA，∵∠AEP为△EBP的外角，∴∠AEP=2∠EPB，设∠EPB=x，则∠AEP=2x，∠APE==90°﹣x，∴∠APB=∠APE+∠EPB=x+90°﹣x=90°，即BP⊥AF，∴AF∥EC，∵AE∥FC，∴四边形AECF为平行四边形；
（2）∵△AEP为等边三角形，∴∠BAP=∠AEP=60°，AP=AE=EP=EB，∵∠PEC=∠BEC，∴∠PEC=∠BEC=60°，∵∠BAP+∠ABP=90°，∠ABP+∠BEQ=90°，∴∠BAP=∠BEQ，在△ABP和△EBC中，∵∠APB=∠EBC=90°，∠BAP=∠BEQ，AP=EB，∴△ABP≌△EBC（AAS），∵△EBC≌△EPC，∴△ABP≌△EPC；
（3）过P作PM⊥DC，交DC于点M，在Rt△EBC中，EB=3，BC=4，根据勾股定理得：EC==5，∵S△EBC=EB•BC=EC•BQ，∴BQ==，由折叠得：BP=2BQ=，在Rt△ABP中，AB=6，BP=，根据勾股定理得：AP==，∵四边形AECF为平行四边形，∴AF=EC=5，FC=AE=3，∴PF==，∵PM∥AD，∴，即，解得：PM=，则S△PFC=FC•PM==．

考点：1．四边形综合题；2．综合题．
10．见解析；矩形．
【解析】
试题分析：根据中点得到AE=DE，根据平行线得到∠FAE=∠CDE，∠AFE=∠DCE，从而得到三角形全等，得到AF=CD，根据AF=BD得到答案；首先根据得到平行四边形，然后根据三线合一定理得到∠ADB=90°，从而说明矩形．
试题解析：（1）∵E为中点 ∴AE=DE ∵AF∥CD ∴∠FAE=∠CDE，∠AFE=∠DCE
∴△AEF≌△DEC ∴AF=DC ∵AF=BD ∴BD=CD
、矩形 理由如下：∵AF=BD AF∥BD ∴四边形AFBD为平行四边形
∵AB=AC，D为BC的中点 ∴AD⊥BC ∴∠ADB=90° ∴四边形AFBD为矩形．
考点：三角形全等、平行四边形性质和判定、矩形判定、等腰三角形的性质．
11．略.
【解析】
试题分析：(1)、根据平行四边形得到∠E=∠DCM，结合AM=DM，∠AME=∠DMC得到△AME≌△DMC，从而得到AE=CD，根据平行四边形的性质说明AE=AB；(2)、根据平行四边形的性质得到∠CBM=∠AMB，则∠ABM=∠AMB，则AB=AM，从而根据三角形内角和得出答案.
试题解析：(1)、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠E=∠DCM，又∵AM=DM，∠AME=∠DMC
∴△AEM≌△DCM（AAS），∴AE=CD，∴AE=AB；
（2）∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBM=∠AMB，∴∠ABM=∠AMB，∴AB=AM，
∵AB=AE，∴∠AME=∠E，∴2∠AME+2∠AMB=180°∴∠EMB=90°，即BM⊥CE．
考点：平行四边形的性质.
12．（1）证明见试题解析；（2）9.6．
【解析】
试题分析：（1）由平行四边形的判定定理：两组对边分别平行得到结论；
（2）由角平分线、等量代换得到角相等，由等角对等边得到BD=AB=5，根据勾股定理列方程求解．
试题解析：（1）证明：∵∠ADE=∠BAD，∴AB∥ED，∵BD垂直平分AC，垂足为F，∴BD⊥AC，AF=FC，又∵AE⊥AC，∴∠EAC=∠DFC=90°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：如图2，连接BE交AD于点O．

∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠1，又∵∠ADE=∠BAD，∴∠1=∠BAD，∴AB=BD，∴平行四边形ABDE是菱形，∵AB=5，AD=6，∴BD=AB=5，AD⊥BE，OA=AD=3．在Rt△OAB中，OB=．∵，∴6×4=5AF．解得AF=4.8．∵BD垂直平分AC，∴AC=2AF=9.6．
考点：1．菱形的判定与性质；2．勾股定理；3．平行四边形的判定．
13．见解析．
【解析】
试题分析：根据中位线的性质得到DE∥BC，根据直角三角形斜边上的中线性质得出∠A=∠DCE，根据即CDF=∠A可得∠CDF=∠DCE，从而得出DF∥EC，根据两种对边分别平行的四边形为平行四边形进行判定．
试题解析：∵点D、E分别是AC、AB的中点， ∴DE//BC ∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴CE=AB=AE, ∴∠A=∠DCE, 又 ∵∠CDF=∠A, ∴∠CDF=∠DCE,
∴DF//EC, ∴四边形DECF是平行四边形．
考点：平行四边形的判定．
14．（1）3；（2）1或
【解析】
试题分析：（1）由翻折的性质，可得AB′=AB=3；
（2）当B′在矩形内部时，由勾股定理得AC=5，且∠EB′C=90°，此时点A、B′、C共线，设EB=EB′=x，CE=4-x，CB′=5-3=2，所以，解得，所以；当B′落在AD边上，此时四边形ABEB′为正方形，此时BE=AE=3，所以CE=1.
考点: 勾股定理；翻折问题
15．（1）证明见解析；（2）AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD；（3）补图见解析，AC=CD﹣CF．
【解析】
试题分析：（1）根据已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；
（2）求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可；
（3）画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．
试题解析：（1）证明：∵菱形AFED，
∴AF=AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中

∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，
∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，
即①BD=CF，②AC=CF+CD．
（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD，
理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中
，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，
∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，
即AC=CF﹣CD．
（3）AC=CD﹣CF．理由是：
∵∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠DAB=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中
，
∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，
∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC，
即AC=CD﹣CF．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．菱形的性质．
16．
证明：如图，延长CE交AB于G，
∵AD为角平分线，
∴∠EAG=∠EAC，
∵CE⊥AD，
∴∠AEG=∠AEC=90°，
在△AGE和△ACE中，
∠EAG＝∠EAC, AE＝AE, ∠AEG＝∠AEC＝90°，
∴△AGE≌△ACE（ASA），
∴AG=AC，CE=GE，
又∵F为BC中点，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF=BG=（AB-AG）=（AB-AC），
即EF=（AB-AC）．

【解析】
延长CE交AB于G，利用“角边角”证明△AGE和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=AC，CE=GE，然后求出EF是△BCG的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明即可．
17．
证明：在△ACD中，因为AD=AC 且 AE⊥CD，
所以根据等腰三角形中底边的垂线与底边的交点即中点，可以证明：
E为CD的中点，又因为F是CB的中点，
所以，EF∥BD，且EF为△BCD的中位线，
因此EF=BD，即BD=2EF．

【解析】
根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证E为CD的中点，再求证EF为△BCD的中位线．
18．
解：∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC上的中点，AB=5，CD=7．
∴EF∥AB，GH∥AB，EF=2.5，EH=3.5，
同理EH∥CD，FG∥CD，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴四边形EFGH的周长=2（EF+EH）=2×6=12．

【解析】
根据E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC上的中点，可得出EF∥AB，GH∥AB，同理EH∥CD，FG∥CD，则四边形EFGH为平行四边形，由三角形的中位线定理得出EF，EH，从而求出四边形EFGH的周长．
19．
解：∵CE⊥AD，
∴∠ADE=∠ADC=90°，
∵在Rt△ADE和Rt△ADC中，
∠EAD＝∠CAD, AD＝AD, ∠EDA＝∠CDA，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴AE=AC=10，ED=DC，
又∵点F是BC中点，
∴DF是△CBE的中位线，
∴DF=BE=（AB-AE）=3．

【解析】
先判定△ADE≌△ADC，得出AE的长度，继而求出BE，然后判断DF是△CBE的中位线，再由中位线的性质即可得出DF的长．
20．
证明：如图，延长CF交AB于点G，延长BE交AC的延长线于点H．
∵AF⊥GC，AD平分∠BAC，
∴AG=AC，GF=CF，
又∵点M是BC的中点，
∴MF是△BCG的中位线，
∴MF=GB．
同理，ME=HC．
∵AD平分∠BAC，BE⊥AD，
∴AB=AH，
∴BG=AB-AG=AH-AC=CH，即BG=CH，
∴MF=ME．

【解析】
延长CF交AB于点G，延长BE交AC的延长线于点H．根据三角形中位线定理证得MF=ME=GB．
21．
解：∵四边形ABCD是矩形．
∴∠ABC=∠BCD=90°．
∵△PBC和△QCD是等边三角形．
∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°．
∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°，
∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°．
∴∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°．
∴∠PBA=∠PCQ=30°．

【解析】
因为矩形的内角是直角，等边三角形的内角是60∘，所以根据这两个特殊角可以计算角的度数．