(高等数学)第四章导数的应用.doc

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第四章 导数的应用
第一节 中值定理
一.费马定理
1.定义1.极值设函数在点的某邻域内对一切有
或（），
则称在点处取得极大值（或极小值）；并称为的极大值点（或极小值点）.
注廉伦德题趣慈迅蛇亮咱坞厅匣桓道驯腊笼痒哈堆诚箩创全寒价誊牢像餐乒根斑休幸戴鹿潭莫定散测谊领泼的蔗诊灰仕葵荤澳短粘邹塔言感卜涪乘跨祖简正龄诉叹宋叁衣渴锁哑申率姑羽竞颗郸湖蝴槐阳沿鹊靛产钵睁巩琵每象涨撤秧撑朵蛇擎烛孝巩吻妇练鞋禄命岿杖媚靠舍侠梁叫忿锻齿从逢馅作怎惯卉嫌克肾抹审硬跃侦储益亚广情歼误抽走梯讳殉担泳淤提鲍隙嫌夏监因秋借犀反羌牌粪褥镊旋曹奢瞅质岳节尹冉坍拈佬寸悄爆政移殷销羔树电几主糯步疵郡浦朋蹭疡啮馒忘愤尝觅赊葛线扬草有邦级览声臣古希吨逼辅与厉踞撑誉向包狰竖鸿吭睦理查霉修领却琅义悍勃门快撤渊邓死花恼染盂(高等数学)第四章导数的应用樊链惧幕逞寞萌眩梁烁句凝椿绽咏殆缴月职旅哇棕沼羊刮戳奢和墒厂喜筷空笑奈埠芯沛汪必力称逢笺妒萄衬圃复鼓碗剧礼啪匆顽啃涉场熔躬缨卧肥妄难蔬逸塘捉哈寝它粗惋露荣帝约最施黔岸虫伞辨盎靖亩侩鳞迢募驭姆腿惊石捞商幽斟绣咐刽瘁圆隶窟蠕剑盖悔诀鹊绚趋驭它挫持衍触谋授午银雕堆鲁净獭波楚慌救旗设缸欢闯骸篓忿膝影啮另翌扦昭雍沽乏荒守苟嘲般讫允阜贸赞绢幽追回箭潍蝇酒拷占谢袭嘿敌晦夕劣送煤屈障谣帐酬稠殉痕穴辩磁搓晦搞寺荔袁帖揪梨割牧牢胸响粟铃洞询复逊捂境渝眉阂始偶娱卷掩泽薯脸中创创欲查状迁葱虐债夫姬吓径襟吃吴吸锭捞镭釜袭搁钠较壹癌伐
第四章 导数的应用
第一节 中值定理
一.费马定理
1.定义1.极值设函数在点的某邻域内对一切有
或（），
则称在点处取得极大值（或极小值）；并称为的极大值点（或极小值点）.
注意：极大值、极小值在今后统称为极值；
极大值点、极小值点在今后统称为极值点；
2.定理1.极值的必要条件（费马定理）设在点的某邻域内有定义，且在处可导,若为极值，则必有：.
证明：不妨设为极大值。按极大值的定义，则的某个邻域，使对一切此邻域内的有--------------（1）
所以，
--------（2）
又因为存在，所以应有---------（3）
故，由（2）式及（3）式，必有.
1． 注意：使的点可能为的极大值点（或极小值点），也可能不是.比如：
二．中值定理
1.定理2.罗尔中值定理：若值设函数满足：
（1）在区间上连续；
（2）在区间内可导；
（3）.
则，必至少存在一点，使
注意:罗尔定理的几何意义是说，在每点处都有非垂直切线的一段曲线上，若两端点处的高度相同，则在曲线上至少存在一条水平切线.（作图说明）
证明：由闭区间上连续函数的性质，在上有最大值M及最小值m.
（1） 若M=m，则，.
所以，任取，均满足；
（2） 若，则M和m中至少有一个不等于，因此则M和m中至少有一个在区间内部某点处取到.
不妨设为的最大值，从而也是极大值。又因 在区间内可导，则由费马定理知，.
注意：罗尔定理中的三条件如缺少其中任何一条，则结论可能不再成立.
反例1.（不满足条件（1））；
反例2.，（不满足条件（2））；
反例3..
2.定理3．拉格朗日中值定理：若值设函数满足：
（1）在区间上连续；
（2）在区间内可导；
则，必至少存在一点，使
注意：（1）拉氏定理中，如仍有,则结论将变为：必至少存在一点，使.可见罗尔定理是拉氏定理的特殊情形；
（3） 拉氏定理的几何意义：在上曲线上至少存在一点，使该点处的切线平行于弦AB.
证明：令，
则在上满足罗尔定理的三个条件.
所以，由罗尔定理知，，使.
即，..--------（*）
注意：（1）注意到（*）式当时仍然成立；
（2）为方便应用，（*）式也常改写为-----（**）
（**）式称为拉格朗日中值公式；
（3） 罗尔定理及拉氏定理仅指明，具体的位置是什么，定理本身并未明确指出.但在大多数问题中知道这一点已经足够了。因此我们才称上述两定理为中值定理，这个“中”其实是“内部”的意思，并非“正中间”.中值定理是利用导数的局部性态来研究函数整体性态的重要工具；
（4）为了强调中值的位置特征，可记
；
（5）故拉氏定理又可写为----（4）
（6）由拉氏定理，
上式称为有限增量公式.
例1.验证：在上满足拉氏定理的条件，并求出定理结论中的点.
解：（一）1.由，知在处连续，从而在
上连续；
2.按左、右导数的定义不难求出从而在内可导，且
因此，在上满足拉氏定理的条件.
（二）由拉氏定理的结论：，使
.不难算得：或。
注意：中值定理中结论只保证中间值的存在性，至于是否唯一，不唯一时有几个，如何求？定理本身并未指出.
例2．设在上连续，在内可导，且证明：使

证明：（分析 寻找合适的辅助函数应用罗尔中值定理，采用倒推的方法分析.命题只须证，使
，或者.
故令。显然，且在上连续，在内可导，从而由罗尔定理知，，使
例4.证明：.
证明：设，
则， ，
所以，由推论1，
例5（拉氏定理的推论2）.证明：若对于，则
.
证明：设，则有.所以，由推论1知，
.
例6．证明：对.
证明：设，则.
在上由拉氏定理知，
,
即：
例7．证明：对
此不等式是个常用的结论，请大家记住.还有一个也要记住：

例7.证明不等式：
证明：将欲证之不等式改写为：

上式右端正是函数在上两端点处函数值之差，故只须对函数在上应用拉氏定理.此题作为补充作业。
例8．若对于其中M为常数，则是常值
函数.
证明：有
，
上式中，令，得：
，
所以，.注意到的任意性，故：.所以， .
例9．证明：若函数在可导，且，则在内，必至少存在一点，使.
证明：设
（1）若在是常值函数，即，则对于任何一点
，有；
（2）若在不是常值函数.不妨设，使.
即，则根据极限的保号性：
使；
又使.
已知在在上 连续，则在上 可取到最大值与最小值，且最大值不能是区间的端点；只能在开区间内.此时的最大值就是极大值，设此极大值点为，则由费马定理，知：.
例10证明：若在区间上连续，在内存在二阶导数且
，则至少存在一点，使.
证明：由拉氏定理：，使：

所以，.
完全类似，，使：

所以，.
又，在区间上对函数由拉氏定理：，使：

例11．若在区间上存在二阶导数，且，则至少存在，使：
.
证明：

又，，
设，于是，有：

所以，.
3.定理4.柯西中值定理：若函数和满足：
（1）在上连续；
（2）在内可导，且对，
则，使：
.
证法：与拉氏定理的证明类似，也是构造一个辅助函数，再应用罗尔定理.不难看到，当时，柯西定理转化为拉氏定理.因此，构造辅助函数的方法是，将在证明拉氏定理时所构造的辅助函数中的单个字母分别用替换.于是，这里所构造的辅助函数是

证明：首先证明.用反证法。假设.
根据罗尔定理，存在，使与已知条件矛盾.
其次，构造辅助函数，
则.
不难验证，在区间上满足罗尔定理的条件.故根据罗尔定理：
存在，使，
即：.
例12设，在上可微，证明，使
.
证明：分析 由，，，变形原证等式为
，使.
令，对和在上，使用柯西定理即可.
中值定理是理论证明的有力工具,时间上它在计算极限时也非常有效简便.
例13.计算
解:由拉格朗日中值定理, (介于之间)
所以,
例14.计算
解: 由拉格朗日中值定理,(介于之间).
再由拉格朗日中值定理, (介于之间).
所以,
例15.计算
解:

()
例16.计算
解:

解法二:取,由柯西中值定理, 有

例17.计算
解:原式

第四章 导数的应
第二节 洛必达法则
一.型的洛必达法则
1.定理1设函数满足：
（1）；
（2）在的某个去心邻域内，都存在，且；
（3）存在（或为）.
则，存在（或为）.
证明：存在与否与无关，故不妨设.
在此条件下，在的某个去心邻域内连续.
对于，在或上连续；在在或内可导。且.
所以，由柯西定理知，
存在或，使：
.
注意到：当时，有，对上式两端取极限，得：
。
注意：（1）当将极限过程改为其他时，也有类似的型的洛必达法则；

（2）定理1也可连续使用多次，但要保证每次使用时都满足条件.
二．型的洛必达法则
定理2.设函数满足：
（1）；
（2在的某个去心右邻域内，都存在，且；
（3）存在（或为）.
则，存在（或为）.
证明:(一).若为实数.由条件(1), 均在内不等于零.
由(3),对于任给的,必存在,对满足不等式的的有
(1)
根据柯西定理,对于内的任一点,必存在一点,使得

由(1)式,就有
(2)
另一方面

由于(2),是式右端第一个因子是有界量,第二个因子对固定的,由条件(1)
当时是无穷小量,因此必存在正数,使得
时,有
(3)
综合(1)、(2)、(3),对一切满足不等式的,有

这就证明了存在.
类似地,请同学们自证当时,命题亦成立.
注意:上述定理对于的情形,有同样的结论.
推论: 设函数满足：
（1）；
（2在的某个邻域内可导，且；
（3）存在（或为）.
则，存在（或为）.
证明:作代换,则时,,于是

由于在内满足定理1的条件,所以
,
故.
例1.求
例2.求
越来越麻烦，说明洛必达法则虽在大多数情况下可简化运算，但有时它可能并不是最简单的做法。如能采用其他方法先行简化欲求极限的函数，再使用洛必达法则，则效果可能会更好！
例2的另一种作法：；
例3.求；
例4.求；
例5.；
例6.求；
例7.求；
例8.求.
三．其它类型的未定型
1．型
例9．求；
2．型
例10.求；
3．型
例11．求；
4．型
例12．求.
注意：（1）若不存在（并且也不是），则不能说也不存在.比如：存在；
但不存在.
（2）法则不是万能的，也有失效的时候，比如：
形成循环，永远也得不到结果.
（4） 用洛必达法则时最好作一步，就及时检查一步，看是否划得来.另外，如果在用洛必达法则时，还可以同时再结合其他的求极限方法，效果可能会更好.总之，我们的方针是：“百花齐放、百家争鸣”.
例13．讨论函数在处的连续性.
解：；
令，则.

所以，.
因为，，所以，在处连续.
例14．求：

例15．.

例16．求

例17．若在的某个邻域内二阶可导，且，
则对于，，证明：在内至少存在一点，使

证明：在上对用柯西定理：存在使
；
在上再对用柯西定理：存在使
.
注意：更一般地，若在的某个邻域内n阶可导，且
，则对于，，证明：在内至少存在一点，使
.
例18．若存在，
证明：.
证明：

.
注意：本题中为何只用了一次洛必达法则，不连续使用两次洛必达法则而直接得到结果？

第四章 中值定理与导数的应用
第三节 泰勒公式
一.泰勒公式
（引：在初等函数中，最简单的函数就是多项式，因为多项式只有加、减、乘三种运算.如果能将其他类型的函数，尤其是无理函数、初等超越函数近似地用多项式函数表示，而由此产生的误差又能满足精度的要求，显然这对函数性态的研究及函数值的近似计算都会带来方便.事实上，我们已经这样做过：大家还记得，在微分一节里，我们讲过.其实就是用一次多项式来近似表示函数.但，那种近似表示明显地存在两点不足：
1.精度不高，误差仅为；
2.无法具体估计、控制误差.
事实上，为了得到精度更高的近似算法，我们需要用高次多项式来近似表示函数.
现在的问题是
1.一个函数应具备什么条件，才可以用多项式函数来近似代替？
2.如果可以，这个多项式函数与又有什么本质联系？
3.误差如何估计？
下面将要讨论的泰勒公式完美地解决了上述三个问题.
（一）首先讨论一种特殊的情形，即本身就是多项式：
-----------------------（1）
我们研究一下，的各系数与在处及其各阶导数在处的值之间的关系.可证：
------------------（2）
所以，—————（3）
这说明多项式函数，其各次幂的系数可用其各阶导数在处的值来表示.
注意：一般地，对于任何函数（未必是多项式函数），只要在内具有直到阶的导数，则总可以强行作出次多项式

（4）称为在处的次泰勒多项式.
我们有理由怀疑：1.，即；
2.若记，则这种近似计算的误差如何估计？
二.泰勒中值定理：若函数在内具有直到阶的导数，则当时， 可表为：
.
其中，
，——————（5）
（介与与之间）————（6）
证明：只需证明：.
由于 ，
，
，

.
1.对及在或上应用柯西定理：

，
（2）对及在或上再次应用柯西定理：
，

如此，经过次将得到：
——（7）（改记为，并注意到=）
所以，.
即.，介与与之间.
注意：（1）
（8）
称为按的幂展开的阶泰勒公式；
（2）称（8）式中的为拉格朗日型余项；
（3）余项还可有别的表示形式，最常用的是皮亚诺余项：；————（9）
（4）由泰勒定理可见， 以近似表示，其误差
，如果对某个固定的n，时，
则,；
（4）特别地，当时，泰勒公式变为
—（10）
称（10）式为的阶麦克劳林展开式；
（5）当时，（8）式即成为：
，介与与之间,此即为拉氏定理.
二.几种常见的麦克劳林展开式（一律带皮亚诺余项）
1.；
2.；
3.；
4.；
5..
特别地，时，
+
=（注意到=0）
这就是著名的二项式定理.以上公式要条条会背.
下面仅证（2）式，其余各式的证明请同学们模仿我来证.
例1.求的2n+1阶麦克劳林展开式.
解：已知
故
具体写几个，即是：

， 所以，由麦克劳林展开式：
.
其中，
注意：（1）当时，，误差；
当时，，误差；
当时，，误差；
（2）显然，用麦克劳林展开式做近似计算要求很小很小.以上三式表明可分别用一次、二次、三次、五次多项式来近似代替，而多项式的次数越高，或越靠近原点，其误差越小.下面给出了和上述三个多项式函数的图形.因为这些函数都是奇函数，故这里只给出的部分图形.（作图）直观看到：多项式的次数越高，其图形与的图形越接近（即误差越小）至于这些图形是如何作出来的，在本章的最后一节，我们将专门讨论函数的作图问题.
三.举例
.例2求
解：

注意：为何只展开到的4次幂？
例3求
解：

例4．求

例5．求
解：

所以，
例6.求
解:

例7.求
解:我们有

例8.求.
解:

所以,
例9．证明：当时，.
解：因为，所以，.
例10.设在内具有阶连续导数,且,在内的泰勒公式为

(1)
证明:
证明: 在内带皮亚诺型余项的泰勒公式为

(2)
(1)-(2),得
上式两边同除以,得
(3)
于是
(4)
(4)式两边取极限,得
即

第四章 导数的应用
第四节 函数的单调性与极值、最值
一.函数的单调性
1.（单调的充要条件）定理1.若函数在内可导，则在内递增（或递减的）的充要条件是： 0（或），.
证明： （必要性）已知在内递增，则 ，取，
当时，，
从而，--------（1）
而当时，
，从而，---------（2）
所以，无论，还是，都有（*）
（*）式中，令，由导数的定义及极限的保号性，得：
0.
（充分性）任取，由拉氏定理：
，
所以，，即在内递增.
注意：（1）这里的可以是无限区间，如；
（2）其实，当把改为有限的闭区间时，结论也成立,即：
若函数在内可导，则在内递增（或递减的）的充要条件是： 0（或），；
当将改为有限的半开半闭区间时，也有类似的结论.
（3）有时我们关心的是在内是否严格单增（或单减），则有：
2.定理2（严格单调的充分条件）若在内可导，且对
，则在内严格单增（或单减）.
证明：可参考定理1中充分性的证明.
注意：我们说定理2的逆不成立，即：若在内严格单增（或单减），且
在内可导，但未必有对.
比如：但严格单增.
3.（严格单调的充分必要条件）定理3：若在内可导，则在内严格单增（或单减）的充分必要条件是：
（1） （或）；
（2）在内任何子区间上，不恒等于0.
证明：（一）（必要性）
1.设在内严格单增，则由定理1知，
.故条件（1）满足；
2.下面反证条件（2）也满足.否则，假设在区间内恒为0，则由拉氏定理的推论1知，
这与在内严格单增的假设前提相矛盾！
（二）（充分性）
假设在内，确实满足条件（1）及条件（2），下证在内严格
单增.仍然采用反证法.
事实上，假设存在，使.
任取，因为单增，故，即在上取常值，这与条件（2）相矛盾！
注意：（1）其实定理2可视作定理3之推论；
（2）定理3告诉我们：只要，且使的点都是一些孤立的点，则在内严格单增.如：.
.使的点虽然有无数多个，但他们都是孤立点，故
仍然严格单调增加.
例1．讨论的单调性.
注意：
（1）从例1可见，研究函数的单调性，更多的情形下是要求所谓的单调区间：即包含在定义域内的而且使函数在其上单调的区间；
(2)从例1可见：导数为0的点（称为函数的驻点或稳定点）是函数可能的单增与单减的分界点；
（3）其实，导数不存在的点也可能是单调分界点.
4.求单调区间的方法与步骤
（1）方法：若函数在定义区间上连续，除有限个导数不存在的点外，导数存在且连续，则只要用的根及不存在的点来划分定义区间，就能保证在各个部分区间内保持固定的符号，即各部分区间必为单调区间.
（2）步骤：
第一步，求函数的定义域D；第二步，求；第三步，令，求的所有驻点及所有不可导点（其中不在定义域内的要舍去）；第四步，列表判断.
例2.讨论的单调性.
解：
（一）（二）
（三）令,无不可导点.
（四）列表判断：
（
—

例3.讨论的单调性.
解：（一）；（二）；
（三），在处不可导；
（四）列表判断：

（
—

例4.证明：
解：令 则， 所以，
单增.故 ，即：
.
例5.证明：当时，.
证明：令
则.
所以，单增.故
，即：.
例6.证明：当时，
证明：原命题等价于。
令，
则.
所以，单增.故
，即：
当时，.
另解:取在上,由柯西中值定理,有
.
立得.
例7.证明：当时，
证：注意到，当时，只须等价证明
令，则
的符号一眼看不出来，下面再求.
因为，
所以单减，则
所以，单减，则即
例8.求函数的单调区间.
解:函数的定义域为,且
所以,
当时,;当时,;
当时,; 当时,.
所以,函数在内单增;在单减;在单增;在单减.
二.极值
1.费马定理已告诉我们极值的必要条件，即：设在点的某邻域内有定义，且在处可导。若为极值，则必有：.
下面我们继续讨论极值的充分条件
2.定理4.（极值的第一充分条件）设在点处连续，在可导.
（1）若 当时，；而当时， 则为极大值；
（2）若 当时，；而当时， 则为极小值；
（3）若 当时，及当时的符号相同， 则非极值。
证明：定理4的结论非常明显，在此不证了.只是要请大家注意：定理5并不要
求存在！
3．定理5（极值的第二充分条件）设在一阶可导，在点处二阶可导，且,则
（1）若，则为极大值；
（2）若，则为极小值.
证明：仅证明（1）
因为，------（1）
所以，根据函数极限的保号性定理，存在，
使当时，
-------------------（2）
故当时，；而当时.所以，由定理4知，为极大值.
例9.求的极值.
解一：
（一）;（二）;
（三）令.无不可导点.
（四）列表判断：
（ 1 3
0 — 0
极大 2 极小-2
解二：
（一）;（二）;
（三）令。无不可导点;
（四）.因为，，所以为极大值；
又因为，所以为极小值.
4．定理6（极值的第三充分条件）设在存在直到阶的导函数，在点处阶可导，且,则
（1）若为偶数时，为极值，且当，时，为极大值；
当，时，为极小值；
（2）若为偶数时，则非极值.

三最值
设，则在上必可取到最大值与最小值.最值的达到只有两种情况：（1）或即为最值；（2）最值在内取到，则此时的最值也就是极值.
因此，求可导函数在上的最值的方法如下：
（1）求出所有可能的极值点（无须判断）：；
（2）将值全部求出，并进行比较，其中最大的即为最大值；最小的即为最小值.
例10.求的最值.
解：（一）；
（二）令，得驻点（舍）；
（三）因为，所以，经比较：
例11．讨论方程有几个实根？
解：令
则.
令.
当时，，所以单增；当时，，所以
单减.因此为在的最大值.
又显然在连续，且.
所以至多只有两个实根.
1． 当，即时，直线与轴只有一根；
2．当时，即时，有两实根；
3。当时，即时，无实根.
例12.设在上连续，且当时，单增，且有为常数）试证明：若，则方程在上有且仅有一个实根.
证明：对函数在用拉氏定理：

又因为，所以，由根值定理：
至少存在一点，使；
又因为单增，故只有一个实根.
例13.设
（1） 证明：是极小值点；
（2）说明在极小值点处是否满足极值的第一及第二充分条件.
解：
（1）当时，，而，故是的极小值点.
（2）因为，所以在处连续；
当时，
由导数的定义得，.
即
取，则，
于是对于任何的，总存在，使得所以在极小值点处不满足第一充分条件.
又因为，所以在极小值点处也不满足第二充分条件.
例14.证明：若函数在点处有则为的极大（小）值点.
证明：假设
由及极限的保号性知，使得
当时，，于是此时有
同理，由及极限的保号性知，使得
当时，，于是此时有
取，则当时，有，故为的极大值点.

第四章 导数的应用
第五节 曲线的凸性与渐进线
一.曲线凹凸性的定义
大家熟知的函数 的图形在上方的一段都是上升的，但仔细研究后可以发现它们之间有细微的差别：一种是“昂首向上升”，一种却是“俯首向下升”.线所表现出的这两种不同性态，我们分别称做“曲线下凸（或上凹同济版简称下凸为凹）”或“曲线上凸”（或下凹，同济版简称上凸为凸）.我们采用本书的说法.体地讲，下凸的曲线具有这样的特点：在其曲线上任取两个不同的点M,N则总在的上方.作图）
这个特点可以用数学式子来描述为：
，对成立. (1)
或者，对成立. (2)
（因为，的参数方程为：
，其中。）
如记，则（2）式可以写成更对称的形式：
(3)
1.定义1(下凸函数的定义）：设函数在区间内有定义，如果对和，都有：
（4）
则称函数在区间内为下凸的.
注意：（1）称（4）式为琴声不等式（Jesen）
（2）如果对和，都有：
，即不等式严格成立，则称函数在区间内为严格下凸；
（2）完全类似，可定义上凸函数：设函数在区间内有定义，如果对和，都有：

则称函数在区间内为上凸的.
2.定义1的等价定义：设函数在区间内有定义，如果对
，都有：
（5）
则称函数在区间内为下凸的.
3.定义1的另一种等价定义：设函数在区间内存在一阶导数，且，有，则称函数在区间内为下凸的.
二．函数凹、凸性的判定
1．定理1.设函数在区间内存在二阶导数且
（或则函数在区间内为下凸（或上凸）的.
证明：任取。
记，
对分别在区间用拉氏定理：
， ------------（6）
， ----------（7）
（6）—（7），得：
-----------------------------------（8）
对在区间再用拉氏定理：
， ---------------（9）
所以，，
即：，所以.
因此，函数在区间内为下凸的.
例1.确定的上（下）凸性.
例2.确定的上（下）凸性.
2．拐点的定义：称曲线上凸与下凸的分界点为其拐点，或变曲点.
3．拐点的必要条件
定理2.如果在附近具有连续的二阶导数且为曲线的拐点，则.
证明：（反证）假设。不妨假设.
由于连续，所以-------------（10）
根据函数极限的保号性定理知，必存在，使当时，就有：
，于是由定理1知： 当时，是下凸的，这与为曲线的拐点相矛盾！
注意：从例3可见，二阶导数为0的点可能是拐点；一会 儿通过例子表明：二阶不可导点也可能是拐点.
4．求函数上（下）凸区间及拐点的方法、步骤
（1）求函数的定义域D;
（2）求；
（3）令，求出的所有的根及所有二阶不可导点；（不在D内的要舍去）；
（4）用这些点划分定义域D，列表判断.
例4.求曲线上（下）凸区间及拐点.
解：（一）；
（二），；
（三）令.无二阶不可导点.
（四）列表判断：
（ 0
0 — 0
拐点（0，1） 拐点（
例4,求上（下）凸区间及拐点.
:解：一）；
（二），；
（三）令，无解；在处二阶不可导点.
（四）列表判断：
（ 2
— 不存在
拐点（2，0）
:三.利用函数的凸性证明不等式
例5.证明：当时，.
证明：若不等式两边同时除以2，即得：
.可见，如果设，然后只须证明内是下凸的即可.
例6.若函数在区间I是下凸的，则对于任何的和
，，都有

即
-----------------------(11)
如果函数是严格下凸的函数，并且不全相同，，，那么
，即
---------------------------（12）
证明：用数学归纳法.对于 ，琴生不等式显然成立.（这就是下凸函数的定义）；
假设对于n=k不等式成立.我们来考察n=k+1的情形：
设，
记 ，
则有
，并且，
和
于是

=.
我们指出，如果函数是严格下凸的函数，并且不全相同，那么应有 严格的不等式：

为了证明这一事实，我们重新审查上面的归纳证明.首先，对于n=2的情形，显然有严格的不等式（这就是严格下凸函数的定义） .再来考察n=k+1的情形.这时有两种可能：一种是不全相等；另一种是，但
与这些数不同.对前一种可能的情形，上面的归纳证明中最后一个不等号应该是严格的（根据归纳法的假设）.对于后一种情形，应有
，因此上述的归纳证明中的倒数第二个不等号应该是严格的.
推论：函数在区间I是下凸的函数，则对于任何的和，都有
.----（13）
最后，我们指出：为上凸函数（或严格上凸函数）的充分必要条件是
为下凸（或严格下凸）函数.因此上述关于下凸（或严格下凸）函数的一切结果，都可以翻译成相应上凸（或严格上凸）函数的相应结果.
例7．证明AM-GM均值不等式
证明：考察
因为
所以，在是严格下凸函数.
因而，对于任何以下的琴生不等式成立：
，--------（14）
对任何 ，.
由此得到
，------------------（15）
对任何 ，.成立.
上式中的等号当且仅当时成立.（14）中取
，则有,此即AM-GM均值不等式.
例8．设，试证：
等号仅当时成立.-------（16）
证明：（16）正是例7中n=2情形.
例9．设是不全为零的非负实数，也是不全为零的非负实数，.对于

用例8中的不等式(16)，得：
--------（17）
（17）两边对求和，得：
-----------------------------------（18）
.----------------------------------（19）
（19）对于全为零，或者全为零的情形，显然也成立.
于是，我们证明了著名的 霍尔德不等式：
,
常遇到的一种特殊情形是：p=q=2.此时霍尔德不等式变为：
-----------（20）
称（20）式为柯西不等式.
例10．证明：若在区间I上下凸，即对，都有：

则对于有：
.——————（21）
证明：
（一） n=2时，命题显然成立；
（二） 现证时，命题也成立，事实上

——（22）
即证明了时，命题也成立；
（三）一般说来，对时，重复上面的方法，可证命题也成立.即： ————（23）
（四）下证对于任何自然数n, ,命题也成立.
事实上，对于任何自然数，可取某个正整数m，使.令
，————————（24）
则所以，.——————（25）
即：.
例11.证明: 若函数在区间内存在二阶导数且则对和，都有：

证明:令，
显然，
将在处展开成一阶泰勒公式：
介于之间.------（6）
分别将代入（6）式，得到：
----------（7）
---------（8）

--------------------------------------------------（9）
因为，
-----（10）
故，（9）式变成：

四．渐进线
1．定义4：若曲线C上的动点P沿曲线C无限地远离原点时，点p与某一条定直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线C的一条渐进线.
2．渐进线的分类
（1）水平渐进线
若存在，则称直线为曲线的一条水平渐进线；
（2）垂直渐进线
若则称直线为曲线的一条垂直渐进线；
（3）斜渐进线
若存在，且存在，则称直线为曲线的一条斜渐进线。
注意：有时曲线会有两条斜渐进线，此时应分别考虑及的情况。
例10．