(高等数学)第四章导数的应用.doc

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极大值点、极小值点在今后统称为极值点；2.定理1.极值的必要条件（费马定理）设在点的某邻域内有定义，且在处可导,若为极值，则必有：.证明：不妨设为极大值。按极大值的定义，则的某个邻域，使对一切此邻域内的有-（1） 所以， -（2）又因为存在，所以应有-（3） 故，由（2）式及（3）式，必有.1 注意：使的点可能为的极大值点（或极小值点），也可能不是.比如：二中值定理1.定理2.罗尔中值定理：若值设函数满足：（1）在区间上连续； （2）在区间内可导； （3）.则，必至少存在一点，使注意:罗尔定理的几何意义是说，在每点处都有非垂直切线的一段曲线上，若两端点处的高度相同，则在曲线上至少存在一条水平切线.（作图说明）证明：由闭区间上连续函数的性质，在上有最大值M及最小值m.（1） 若M=m，则，. 所以，任取，均满足；（2） 若，则M和m中至少有一个不等于，因此则M和m中至少有一个在区间内部某点处取到. 不妨设为的最大值，从而也是极大值。又因 在区间内可导，则由费马定理知，.注意：罗尔定理中的三条件如缺少其中任何一条，则结论可能不再成立. 反例1.（不满足条件（1）；反例2.，（不满足条件（2）；反例3.2.定理3拉格朗日中值定理：若值设函数满足：（1）在区间上连续； （2）在区间内可导；则，必至少存在一点，使注意：（1）拉氏定理中，如仍有,则结论将变为：必至少存在一点，使.可见罗尔定理是拉氏定理的特殊情形；（3） 拉氏定理的几何意义：在上曲线上至少存在一点，使该点处的切线平行于弦AB.证明：令， 则在上满足罗尔定理的三个条件.所以，由罗尔定理知，使.即，.-（*）注意：（1）注意到（*）式当时仍然成立； （2）为方便应用，（*）式也常改写为-（*） （*）式称为拉格朗日中值公式；（3） 罗尔定理及拉氏定理仅指明，具体的位置是什么，定理本身并未明确指出.但在大多数问题中知道这一点已经足够了。因此我们才称上述两定理为中值定理，这个“中”其实是“内部”的意思，并非“正中间”.中值定理是利用导数的局部性态来研究函数整体性态的重要工具； （4）为了强调中值的位置特征，可记 ； （5）故拉氏定理又可写为-（4） （6）由拉氏定理， 上式称为有限增量公式.例1.验证：在上满足拉氏定理的条件，并求出定理结论中的点.解：（一）1.由，知在处连续，从而在上连续；2.按左、右导数的定义不难求出从而在内可导，且因此，在上满足拉氏定理的条件.（二）由拉氏定理的结论：，使 .不难算得：或。注意：中值定理中结论只保证中间值的存在性，至于是否唯一，不唯一时有几个，如何求？定理本身并未指出.例2设在上连续，在内可导，且证明：使证明：（分析 寻找合适的辅助函数应用罗尔中值定理，采用倒推的方法分析.命题只须证，使 ，或者.故令。显然，且在上连续，在内可导，从而由罗尔定理知，使例4.证明：.证明：设， 则， ， 所以，由推论1， 例5（拉氏定理的推论2）.证明：若对于，则.证明：设，则有.所以，由推论1知， .例6证明：对.证明：设，则. 在上由拉氏定理知，,即：例7证明：对 此不等式是个常用的结论，请大家记住.还有一个也要记住：例7.证明不等式：证明：将欲证之不等式改写为： 上式右端正是函数在上两端点处函数值之差，故只须对函数在上应用拉氏定理.此题作为补充作业。例8若对于其中M为常数，则是常值函数.证明：有 ，上式中，令，得： ，所以，.注意到的任意性，故：.所以， .例9证明：若函数在可导，且，则在内，必至少存在一点，使.证明：设 （1）若在是常值函数，即，则对于任何一点，有； （2）若在不是常值函数.不妨设，使.即，则根据极限的保号性：使；又使.已知在在上 连续，则在上 可取到最大值与最小值，且最大值不能是区间的端点；只能在开区间内.此时的最大值就是极大值，设此极大值点为，则由费马定理，知：.例10证明：若在区间上连续，在内存在二阶导数且，则至少存在一点，使.证明：由拉氏定理：，使： 所以，.完全类似，使： 所以，.又，在区间上对函数由拉氏定理：，使： 例11若在区间上存在二阶导数，且，则至少存在，使： .证明： 又，设，于是，有：所以，.3.定理4.柯西中值定理：若函数和满足： （1）在上连续； （2）在内可导，且对，则，使： .证法：与拉氏定理的证明类似，也是构造一个辅助函数，再应用罗尔定理.不难看到，当时，柯西定理转化为拉氏定理.因此，构造辅助函数的方法是，将在证明拉氏定理时所构造的辅助函数中的单个字母分别用替换.于是，这里所构造的辅助函数是 证明：首先证明.用反证法。假设. 根据罗尔定理，存在，使与已知条件矛盾. 其次，构造辅助函数，则.不难验证，在区间上满足罗尔定理的条件.故根据罗尔定理：存在，使， 即：.例12设，在上可微，证明，使.证明：分析 由，变形原证等式为 ，使.令，对和在上，使用柯西定理即可. 中值定理是理论证明的有力工具,时间上它在计算极限时也非常有效简便.例13.计算解:由拉格朗日中值定理, (介于之间) 所以,例14.计算解: 由拉格朗日中值定理,(介于之间). 再由拉格朗日中值定理, (介于之间).所以,例15.计算解: ()例16.计算解: 解法二:取,由柯西中值定理, 有 例17.计算解:原式 第四章 导数的应第二节 洛必达法则一.型的洛必达法则1.定理1设函数满足： （1）； （2）在的某个去心邻域内，都存在，且； （3）存在（或为）.则，存在（或为）.证明：存在与否与无关，故不妨设.在此条件下，在的某个去心邻域内连续. 对于，在或上连续；在在或内可导。且.所以，由柯西定理知，存在或，使： .注意到：当时，有，对上式两端取极限，得：。注意：（1）当将极限过程改为其他时，也有类似的型的洛必达法则；（2）定理1也可连续使用多次，但要保证每次使用时都满足条件.二型的洛必达法则定理2.设函数满足： （1）； （2在的某个去心右邻域内，都存在，且； （3）存在（或为）.则，存在（或为）.证明:(一).若为实数.由条件(1), 均在内不等于零.由(3),对于任给的,必存在,对满足不等式的的有 (1)根据柯西定理,对于内的任一点,必存在一点,使得 由(1)式,就有 (2)另一方面 由于(2),是式右端第一个因子是有界量,第二个因子对固定的,由条件(1)当时是无穷小量,因此必存在正数,使得 时,有 (3)综合(1)、(2)、(3),对一切满足不等式的,有 这就证明了存在.类似地,请同学们自证当时,命题亦成立.注意:上述定理对于的情形,有同样的结论.推论: 设函数满足： （1）； （2在的某个邻域内可导，且； （3）存在（或为）.则，存在（或为）.证明:作代换,则时,于是 由于在内满足定理1的条件,所以 ,故.例1.求例2.求越来越麻烦，说明洛必达法则虽在大多数情况下可简化运算，但有时它可能并不是最简单的做法。如能采用其他方法先行简化欲求极限的函数，再使用洛必达法则，则效果可能会更好！例2的另一种作法：；例3.求；例4.求；例5.；例6.求；例7.求；例8.求.三其它类型的未定型1型 例9求；2型例10.求；3型例11求；4型例12求.注意：（1）若不存在（并且也不是），则不能说也不存在.比如：存在；但不存在.（2）法则不是万能的，也有失效的时候，比如： 形成循环，永远也得不到结果.（4） 用洛必达法则时最好作一步，就及时检查一步，看是否划得来.另外，如果在用洛必达法则时，还可以同时再结合其他的求极限方法，效果可能会更好.总之，我们的方针是：“百花齐放、百家争鸣”.例13讨论函数在处的连续性.解：； 令，则.所以，. 因为，所以，在处连续.例14求：例15.例16求 例17若在的某个邻域内二阶可导，且，则对于，证明：在内至少存在一点，使 证明：在上对用柯西定理：存在使； 在上再对用柯西定理：存在使 .注意：更一般地，若在的某个邻域内n阶可导，且，则对于，证明：在内至少存在一点，使 .例18若存在，证明：.证明： .注意：本题中为何只用了一次洛必达法则，不连续使用两次洛必达法则而直接得到结果？第四章 中值定理与导数的应用第三节 泰勒公式一.泰勒公式 （引：在初等函数中，最简单的函数就是多项式，因为多项式只有加、减、乘三种运算.如果能将其他类型的函数，尤其是无理函数、初等超越函数近似地用多项式函数表示，而由此产生的误差又能满足精度的要求，显然这对函数性态的研究及函数值的近似计算都会带来方便.事实上，我们已经这样做过：大家还记得，在微分一节里，我们讲过.其实就是用一次多项式来近似表示函数.但，那种近似表示明显地存在两点不足： 1.精度不高，误差仅为； 2.无法具体估计、控制误差. 事实上，为了得到精度更高的近似算法，我们需要用高次多项式来近似表示函数. 现在的问题是 1.一个函数应具备什么条件，才可以用多项式函数来近似代替？ 2.如果可以，这个多项式函数与又有什么本质联系？ 3.误差如何估计？ 下面将要讨论的泰勒公式完美地解决了上述三个问题.（一）首先讨论一种特殊的情形，即本身就是多项式： -（1）我们研究一下，的各系数与在处及其各阶导数在处的值之间的关系.可证： -（2）所以，（3）这说明多项式函数，其各次幂的系数可用其各阶导数在处的值来表示. 注意：一般地，对于任何函数（未必是多项式函数），只要在内具有直到阶的导数，则总可以强行作出次多项式（4）称为在处的次泰勒多项式.我们有理由怀疑：1.，即； 2.若记，则这种近似计算的误差如何估计？二.泰勒中值定理：若函数在内具有直到阶的导数，则当时， 可表为： .其中， ，（5） （介与与之间）（6）证明：只需证明：. 由于 ， ， ， .1.对及在或上应用柯西定理： ，（2）对及在或上再次应用柯西定理：， 如此，经过次将得到： （7）（改记为，并注意到=） 所以，.即.，介与与之间.注意：（1）（8）称为按的幂展开的阶泰勒公式；（2）称（8）式中的为拉格朗日型余项；（3）余项还可有别的表示形式，最常用的是皮亚诺余项：；（9）（4）由泰勒定理可见， 以近似表示，其误差 ，如果对某个固定的n，时，则,； （4）特别地，当时，泰勒公式变为（10）称（10）式为的阶麦克劳林展开式； （5）当时，（8）式即成为： ，介与与之间,此即为拉氏定理.二.几种常见的麦克劳林展开式（一律带皮亚诺余项）1.；2.；3.；4.；5. 特别地，时， + =（注意到=0）这就是著名的二项式定理.以上公式要条条会背.下面仅证（2）式，其余各式的证明请同学们模仿我来证.例1.求的2n+1阶麦克劳林展开式.解：已知 故 具体写几个，即是： ， 所以，由麦克劳林展开式： .其中，注意：（1）当时，误差； 当时，误差； 当时，误差； （2）显然，用麦克劳林展开式做近似计算要求很小很小.以上三式表明可分别用一次、二次、三次、五次多项式来近似代替，而多项式的次数越高，或越靠近原点，其误差越小.下面给出了和上述三个多项式函数的图形.因为这些函数都是奇函数，故这里只给出的部分图形.（作图）直观看到：多项式的次数越高，其图形与的图形越接近（即误差越小）至于这些图形是如何作出来的，在本章的最后一节，我们将专门讨论函数的作图问题.三.举例.例2求解：注意：为何只展开到的4次幂？例3求解：例4求例5求解： 所以，例6.求解: 例7.求解:我们有例8.求.解: 所以, 例9证明：当时，.解：因为，所以，.例10.设在内具有阶连续导数,且,在内的泰勒公式为 (1) 证明:证明: 在内带皮亚诺型余项的泰勒公式为 (2)(1)-(2),得 上式两边同除以,得 (3)于是 (4)(4)式两边取极限,得 即第四章 导数的应用 第四节 函数的单调性与极值、最值一.函数的单调性1.（单调的充要条件）定理1.若函数在内可导，则在内递增（或递减的）的充要条件是： 0（或），.证明： （必要性）已知在内递增，则 ，取， 当时，从而，-（1）而当时，从而，-（2）所以，无论，还是，都有（*）（*）式中，令，由导数的定义及极限的保号性，得：0.（充分性）任取，由拉氏定理： ， 所以，即在内递增.注意：（1）这里的可以是无限区间，如； （2）其实，当把改为有限的闭区间时，结论也成立,即：若函数在内可导，则在内递增（或递减的）的充要条件是： 0（或），； 当将改为有限的半开半闭区间时，也有类似的结论.（3）有时我们关心的是在内是否严格单增（或单减），则有：2.定理2（严格单调的充分条件）若在内可导，且对，则在内严格单增（或单减）.证明：可参考定理1中充分性的证明.注意：我们说定理2的逆不成立，即：若在内严格单增（或单减），且在内可导，但未必有对.比如：但严格单增.3.（严格单调的充分必要条件）定理3：若在内可导，则在内严格单增（或单减）的充分必要条件是： （1） （或）； （2）在内任何子区间上，不恒等于0.证明：（一）（必要性）1.设在内严格单增，则由定理1知，.故条件（1）满足；2.下面反证条件（2）也满足.否则，假设在区间内恒为0，则由拉氏定理的推论1知，这与在内严格单增的假设前提相矛盾！（二）（充分性）假设在内，确实满足条件（1）及条件（2），下证在内严格单增.仍然采用反证法. 事实上，假设存在，使.任取，因为单增，故，即在上取常值，这与条件（2）相矛盾！注意：（1）其实定理2可视作定理3之推论； （2）定理3告诉我们：只要，且使的点都是一些孤立的点，则在内严格单增.如：.使的点虽然有无数多个，但他们都是孤立点，故仍然严格单调增加.例1讨论的单调性.注意：（1）从例1可见，研究函数的单调性，更多的情形下是要求所谓的单调区间：即包含在定义域内的而且使函数在其上单调的区间；(2)从例1可见：导数为0的点（称为函数的驻点或稳定点）是函数可能的单增与单减的分界点；（3）其实，导数不存在的点也可能是单调分界点.4.求单调区间的方法与步骤 （1）方法：若函数在定义区间上连续，除有限个导数不存在的点外，导数存在且连续，则只要用的根及不存在的点来划分定义区间，就能保证在各个部分区间内保持固定的符号，即各部分区间必为单调区间. （2）步骤：第一步，求函数的定义域D；第二步，求；第三步，令，求的所有驻点及所有不可导点（其中不在定义域内的要舍去）；第四步，列表判断.例2.讨论的单调性.解：（一）（二）（三）令,无不可导点.（四）列表判断： （ 例3.讨论的单调性.解：（一）；（二）； （三），在处不可导； （四）列表判断： （ 例4.证明：解：令 则， 所以，单增.故 ，即：.例5.证明：当时，.证明：令则. 所以，单增.故，即：.例6.证明：当时，证明：原命题等价于。 令， 则. 所以，单增.故，即： 当时，.另解:取在上,由柯西中值定理,有 .立得.例7.证明：当时，证：注意到，当时，只须等价证明令，则 的符号一眼看不出来，下面再求.因为，所以单减，则所以，单减，则即例8.求函数的单调区间.解:函数的定义域为,且所以, 当时,;当时,;当时,; 当时,.所以,函数在内单增;在单减;在单增;在单减.二.极值1.费马定理已告诉我们极值的必要条件，即：设在点的某邻域内有定义，且在处可导。若为极值，则必有：.下面我们继续讨论极值的充分条件2.定理4.（极值的第一充分条件）设在点处连续，在可导.（1）若 当时，；而当时， 则为极大值；（2）若 当时，；而当时， 则为极小值；（3）若 当时，及当时的符号相同， 则非极值。证明：定理4的结论非常明显，在此不证了.只是要请大家注意：定理5并不要求存在！3定理5（极值的第二充分条件）设在一阶可导，在点处二阶可导，且,则（1）若，则为极大值；（2）若，则为极小值.证明：仅证明（1） 因为，-（1） 所以，根据函数极限的保号性定理，存在， 使当时， -（2） 故当时，；而当时.所以，由定理4知，为极大值.例9.求的极值.解一：（一）;（二）;（三）令.无不可导点. （四）列表判断： （ 1 3 0 0 极大 2 极小-2 解二：（一）;（二）;（三）令。无不可导点;（四）.因为，所以为极大值； 又因为，所以为极小值.4定理6（极值的第三充分条件）设在存在直到阶的导函数，在点处阶可导，且,则（1）若为偶数时，为极值，且当，时，为极大值；当，时，为极小值；（2）若为偶数时，则非极值.三最值 设，则在上必可取到最大值与最小值.最值的达到只有两种情况：（1）或即为最值；（2）最值在内取到，则此时的最值也就是极值.因此，求可导函数在上的最值的方法如下： （1）求出所有可能的极值点（无须判断）：； （2）将值全部求出，并进行比较，其中最大的即为最大值；最小的即为最小值.例10.求的最值.解：（一）； （二）令，得驻点（舍）；（三）因为，所以，经比较：例11讨论方程有几个实根？解：令 则. 令.当时，所以单增；当时，所以单减.因此为在的最大值.又显然在连续，且.所以至多只有两个实根.1 当，即时，直线与轴只有一根；2当时，即时，有两实根；3。当时，即时，无实根.例12.设在上连续，且当时，单增，且有为常数）试证明：若，则方程在上有且仅有一个实根.证明：对函数在用拉氏定理：又因为，所以，由根值定理： 至少存在一点，使；又因为单增，故只有一个实根.例13.设（1） 证明：是极小值点；（2）说明在极小值点处是否满足极值的第一及第二充分条件.解：（1）当时，而，故是的极小值点.（2）因为，所以在处连续；当时，由导数的定义得，.即 取，则，于是对于任何的，总存在，使得所以在极小值点处不满足第一充分条件.又因为，所以在极小值点处也不满足第二充分条件.例14.证明：若函数在点处有则为的极大（小）值点.证明：假设由及极限的保号性知，使得当时，于是此时有同理，由及极限的保号性知，使得当时，于是此时有取，则当时，有，故为的极大值点.第四章 导数的应用 第五节 曲线的凸性与渐进线一.曲线凹凸性的定义 大家熟知的函数 的图形在上方的一段都是上升的，但仔细研究后可以发现它们之间有细微的差别：一种是“昂首向上升”，一种却是“俯首向下升”.线所表现出的这两种不同性态，我们分别称做“曲线下凸（或上凹同济版简称下凸为凹）”或“曲线上凸”（或下凹，同济版简称上凸为凸）.我们采用本书的说法.体地讲，下凸的曲线具有这样的特点：在其曲线上任取两个不同的点M,N则总在的上方.作图） 这个特点可以用数学式子来描述为： ，对成立. (1)或者，对成立. (2)（因为，的参数方程为： ，其中。）如记，则（2）式可以写成更对称的形式： (3)1.定义1(下凸函数的定义）：设函数在区间内有定义，如果对和，都有： （4）则称函数在区间内为下凸的.注意：（1）称（4）式为琴声不等式（Jesen）（2）如果对和，都有：，即不等式严格成立，则称函数在区间内为严格下凸；（2）完全类似，可定义上凸函数：设函数在区间内有定义，如果对和，都有： 则称函数在区间内为上凸的.2.定义1的等价定义：设函数在区间内有定义，如果对，都有： （5）则称函数在区间内为下凸的.3.定义1的另一种等价定义：设函数在区间内存在一阶导数，且，有，则称函数在区间内为下凸的.二函数凹、凸性的判定1定理1.设函数在区间内存在二阶导数且 （或则函数在区间内为下凸（或上凸）的.证明：任取。 记，对分别在区间用拉氏定理： ， -（6） ， -（7）（6）（7），得： -（8）对在区间再用拉氏定理： ， -（9）所以， 即：，所以. 因此，函数在区间内为下凸的.例1.确定的上（下）凸性.例2.确定的上（下）凸性.2拐点的定义：称曲线上凸与下凸的分界点为其拐点，或变曲点.3拐点的必要条件定理2.如果在附近具有连续的二阶导数且为曲线的拐点，则.证明：（反证）假设。不妨假设.由于连续，所以-（10）根据函数极限的保号性定理知，必存在，使当时，就有：，于是由定理1知： 当时，是下凸的，这与为曲线的拐点相矛盾！注意：从例3可见，二阶导数为0的点可能是拐点；一会 儿通过例子表明：二阶不可导点也可能是拐点.4求函数上（下）凸区间及拐点的方法、步骤 （1）求函数的定义域D; （2）求；（3）令，求出的所有的根及所有二阶不可导点；（不在D内的要舍去）； （4）用这些点划分定义域D，列表判断.例4.求曲线上（下）凸区间及拐点.解：（一）；（二），；（三）令.无二阶不可导点. （四）列表判断： （ 0 0 0 拐点（0，1） 拐点（ 例4,求上（下）凸区间及拐点.:解：一）； （二），；（三）令，无解；在处二阶不可导点. （四）列表判断： （ 2 不存在 拐点（2，0） :三.利用函数的凸性证明不等式例5.证明：当时，.证明：若不等式两边同时除以2，即得： .可见，如果设，然后只须证明内是下凸的即可.例6.若函数在区间I是下凸的，则对于任何的和，都有 即 -(11)如果函数是严格下凸的函数，并且不全相同，那么 ，即 -（12）证明：用数学归纳法.对于 ，琴生不等式显然成立.（这就是下凸函数的定义）； 假设对于n=k不等式成立.我们来考察n=k+1的情形：设， 记 ，则有 ，并且， 和 于是 =.我们指出，如果函数是严格下凸的函数，并且不全相同，那么应有 严格的不等式：为了证明这一事实，我们重新审查上面的归纳证明.首先，对于n=2的情形，显然有严格的不等式（这就是严格下凸函数的定义） .再来考察n=k+1的情形.这时有两种可能：一种是不全相等；另一种是，但与这些数不同.对前一种可能的情形，上面的归纳证明中最后一个不等号应该是严格的（根据归纳法的假设）.对于后一种情形，应有 ，因此上述的归纳证明中的倒数第二个不等号应该是严格的.推论：函数在区间I是下凸的函数，则对于任何的和，都有 .-（13） 最后，我们指出：为上凸函数（或严格上凸函数）的充分必要条件是 为下凸（或严格下凸）函数.因此上述关于下凸（或严格下凸）函数的一切结果，都可以翻译成相应上凸（或严格上凸）函数的相应结果.例7证明AM-GM均值不等式证明：考察 因为 所以，在是严格下凸函数.因而，对于任何以下的琴生不等式成立： ，-（14） 对任何 ，.由此得到 ，-（15） 对任何 ，.成立.上式中的等号当且仅当时成立.（14）中取，则有,此即AM-GM均值不等式.例8设，试证：等号仅当时成立.-（16）证明：（16）正是例7中n=2情形.例9设是不全为零的非负实数，也是不全为零的非负实数，.对于 用例8中的不等式(16)，得： -（17）（17）两边对求和，得： -（18）.-（19）（19）对于全为零，或者全为零的情形，显然也成立. 于是，我们证明了著名的 霍尔德不等式： ,常遇到的一种特殊情形是：p=q=2.此时霍尔德不等式变为： -（20）称（20）式为柯西不等式.例10证明：若在区间I上下凸，即对，都有： 则对于有：.（21）证明：（一） n=2时，命题显然成立；（二） 现证时，命题也成立，事实上（22）即证明了时，命题也成立；（三）一般说来，对时，重复上面的方法，可证命题也成立.即： （23） （四）下证对于任何自然数n, ,命题也成立.事实上，对于任何自然数，可取某个正整数m，使.令 ，（24）则所以，.（25）即：.例11.证明: 若函数在区间内存在二阶导数且则对和，都有： 证明:令，显然，将在处展开成一阶泰勒公式： 介于之间.-（6）分别将代入（6）式，得到：-（7）-（8） -（9）因为，-（10）故，（9）式变成： 四渐进线1定义4：若曲线C上的动点P沿曲线C无限地远离原点时，点p与某一条定直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线C的一条渐进线.2渐进线的分类 （1）水平渐进线 若存在，则称直线为曲线的一条水平渐进线； （2）垂直渐进线 若则称直线为曲线的一条垂直渐进线； （3）斜渐进线 若存在，且存在，则称直线为曲线的一条斜渐进线。注意：有时曲线会有两条斜渐进线，此时应分别考虑及的情况。例10