【三维设计】高中数学-第四章-§-.-导数与函数的单调性应用创新演练-北师大版选修-.doc

【三维设计】高中数学 第四章 §1 1.1 导数与函数的单调性应用创新演练 北师大版选修1-1

1．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调递增区间是(　　)
A．(1,2)　　　　　　　　　 B．(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1)，(2，＋∞)
解析：f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x2－3x＋2)，令f′(x)>0，则x>2或x<1，
故函数f(x)的增区间为(－∞，1)，(2，＋∞)．
答案：D
2．y＝8x2－ln x在和上分别是(　　)
A．增加的，增加的 B．增加的，减少的
C．减少的，增加的 D．减少的，减少的
解析：y′＝16x－＝，当x∈时，y′<0，函数在上是减少的，当x∈时，y′>0，函数在上是增加的．
答案：C
3．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在(－∞，＋∞)上是减少的，则下列各式中成立的是(　　)
A．a>0，b2＋3ac≥0 B．a>0，b2－3ac≤0
C．a<0，b2＋3ac≥0 D．a<0，b2－3ac≤0
解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)．
∵函数为减少的，则f′(x)≤0恒成立．
∴a<0且Δ＝4b2－12ac≤0，
即b2－3ac≤0.
答案：D
4.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如右图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是(　　)

解析：由y＝f′(x)的图像可知，当x<0或x>2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0，
∴函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增加的，在(0,2)上为减少的．
答案：C
5．y＝x2ex的单调递增区间是________．
解析：y′＝2xex＋x2ex，令y′>0，即ex(2x＋x2)>0，
∴x>0或x<－2.
故函数的增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)．
答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)
6．若函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调减区间为(－5,5)，则a的值为________．
解析：f′(x)＝3x2＋a，∵f′(x)<0的解为－5<x<5，
∴3×52＋a＝0，∴a＝－75.
答案：－75
7．证明函数f(x)＝在区间(0,2)上是增加的．
证明：∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝，
由于0<x<2，所以ln x<ln 2<1，
故f′(x)＝>0，
即函数在区间(0,2)上是增加的．
8．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增加的，求t的取值范围．
解：由题意f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，
∴f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
若f(x)在(－1,1)上是增加的，[
则在(－1,1)上f′(x)≥0恒成立．
即t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立．
考虑函数g(x)＝3x2－2x＝3(x－)2－.x∈(－1,1)显然g(x)<g(－1)，故t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立⇔t≥g(－1)，即t≥5.
而当t＝5时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，即f(x)在(－1,1)上是增加的．故t的取值范围是[5，＋∞)．
3