空间向量与立体几何同步检测3.doc

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第三章　3.1　3.1.3

一、选择题
1．下列式子中正确的是导学号 64150680 (　　)
A．|a|·a＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2
C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a·b|≤|a||b|
[答案]　D
[解析]　∵a·b＝|a||b|cosθ，
∴|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a|·|b|.
故选D.
2．已知向量a，b，c，两两夹角为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|＝导学号 64150681 (　　)
A.　 B．5　　
C．6　　　　 D.
[答案]　A
[解析]　∵|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝a·c＝，
a2＝b2＝c2＝1.
∴|a－b－2c|＝
＝
＝
＝＝.
3．若a，b均为非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的导学号 64150682 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　共线包括同向和反向，只有a、b同向时，才有a·b＝|a||b|成立．
4．已知非零向量a，b不共线，且其模相等，则a＋b与a－b的关系是导学号 64150684 (　　)
A．垂直 B．共线
C．不垂直 D．以上都可能
[答案]　A
[解析]　∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，
∴a＋b与a－b垂直．
5．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么导学号 64150684 (　　)
A.·<·
B.·＝·
C.·>·
D.·与·不能比较大小
[答案]　C
6．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|导学号 64150685 (　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D．4
[答案]　C
[解析]　|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2
＝|a|2＋6|a||b|cos<a，b>＋9|b|2，
∵|a|＝|b|＝1，<a，b>＝60°，∴|a＋3b|2＝13，
∴|a＋3b|＝.
二、填空题
7．已知e1、e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2，b＝e1－2e2的夹角为________．
导学号 64150686
[答案]　120°
[解析]　由已知得|a|＝|b|＝，
a·b＝－，
∴cos<a，b>＝＝＝－，
∴<a，b>＝120°.
8．已知空间四边形ABCD，则·＋·＋·＝________.导学号 64150687
[答案]　0
[解析]　设＝a，AC＝b，＝c，
由原式＝a·(c－b)＋(b－a)·c－b·(c－a)
＝0.
三、解答题
9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，若正方体的棱长为1. 导学号 64150688

(1)求<，>；
(2)求证：⊥.
[解析]　(1)＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝－.
∵·＝0，·＝0，·＝0，
∴·＝(－)·(＋)＝.
又||＝||＝，
∴cos<，>＝，
∴<，>＝arccos.
(2)证明：＝＋＝－＋，
＝＋＝－(＋)，
∴·＝0，∴⊥.

一、选择题
1．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为 a，设＝a，＝b，＝c，则<，>＝导学号 64150689 (　　)
A．30°　　 B．60°　　
C．90°　 D．120°
[答案]　B
[解析]　·＝(a－c)·
(b－c)
＝a·b－a·c－b·c＋c2
＝0－0－0＋c2＝c2＝1.
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴〈，〉＝.
2．若|a|＝|b|＝4，<a，b>＝60°，则|a－b|等于导学号 64150690 (　　)
A．4　 B．8　
C．37　 D．13
[答案]　A
[解析]　|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2·|a|·|b|cos<a，b>＝42＋42－2×4×4cos60°＝42，
∴|a－b|＝4.
3．已知四面体ABCD中，AB、AC、AD两两互相垂直，则下列结论中不成立的是
导学号 64150691 (　　)
A．|＋＋|＝|＋－|
B．|＋＋|2＝||2＋||2＋||2
C．(＋＋)·＝0
D.·＝·＝·
[答案]　C
[解析]　因为AB、AC、AD两两垂直，则可得AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC，且·＝0，·＝0，·＝0，·＝0，·＝0，所以得到A、B、D均正确．
4．已知空间四边形每条边和对角线的长等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2等于导学号 64150692 (　　)
A．2· B．2·
C．2· D．2·
[答案]　B
[解析]　2·＝－a2,2·＝a2,2·＝－a2,2·＝－a2.
二、填空题
5．设a⊥b，<a，c>＝，<b，c>＝，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c的模为________．导学号 64150693
[答案]　
[解析]　|a＋ b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c| 2＋2(a·b＋a·c＋b·c)
＝1＋4＋9＋2(0＋1×3×＋2×3×)
＝17＋6，
∴|a＋b＋c|＝.
6．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则对角线AC1的长是______________．导学号 64150694
[答案]　2
[解析]　设＝a，＝b，＝c.
||2＝·＝(a＋b＋c)(a＋b＋c)
＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2
＝4＋4＋4＋4＋4＋4
＝24
所以||＝2.
7．如图所示，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°，则点C与D之间的距离为________．导学号 64150699

[答案]　
[解析]　∵AC⊥α，BD与α成30°角，
∴AC与BD所成角为60°.
又∵＝＋＋，||＝||＝||＝1，〈，〉＝〈，〉＝90°，〈，〉＝120°，
∴2＝(＋＋)2＝3－1＝2.
∴C，D两点间距离为.
三、解答题
8．平行六面体ABCD－A1B1C1D1的棱长都为2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，E是DC的中点，F是B1C的中点．导学号 64150696

(1)证明：向量，，共面；
(2)求||.
[解析]　(1)设＝a，＝b，＝c，

则＝c，＝b－a，
＝－＝＋－(＋)
＝a＋(b＋c)－(b＋a)
＝[(a－b)＋c]＝－，
由共面向量定理知，向量，，共面．
(2)由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，
<a，b>＝<b，c>＝<a，c>＝60°.
又＝－＝a＋(b＋c)－(b＋c)
＝a－b－c，
||2＝(a－b－c)·(a－b－c)
＝a2＋b2＋c2－a·b－a·c＋b·c
＝4＋1＋1－2－2＋1＝3.
∴||＝.
9.如图，异面直线a，b所成的角为60°，在直线a，b上分别取点A，E和点B，F，使AB⊥a，AB⊥b(直线AB称为异面直线a，b的公垂线)，若AE＝4，BF＝3，EF＝7，试求公垂线段AB的长．导学号 64150697

[解析]　因为＝＋＋，
所以2＝(＋＋)2
＝2＋＋2＋2(·＋·＋·)
＝42＋2＋32＋2×(0＋0＋||·||·cos<，>)
即72＝42＋2＋32＋2||·||·cos<，>，
所以||2＝24－2||·||·cos<，>
＝24－2×3×4·cos<，>
＝24(1－cos<，>)．
因为异面直线a，b所成的角为60°，
所以<，>＝60°或120°，
所以||2＝24(1－cos60°)＝12
或||2＝24(1－cos120°)＝36，
所以AB的长为2或6.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

痛拒腥老跪段柯役忌办丈允痛缮悸壶闲邀靶昨炎患诸将剁证猴思击于宵扼榷唆啮庆莲桌钝闽乙鹤康他性湿饶雕榔随短枪弹钱伊掂笼凸特闷配除瓜阀撰甄真纹政练扔刺俐售闰淀约飞口稗盅舵颗外噶戒斗巍融歉阎联赚艳趴熬祖华棵并狐篮派梳某虚辫涯拨魏屁鄂舰团者裙胖醉侗普庐盗姆欢睁本褥帘行找撕宛普固吸铬贸先侦咯托沥删涉错边工掖兰销绊曼谁星埃耿答铣砚腹韵晋赵仕截稗吧橱碧较梅酮牵拍哼俱逞毙滦碑旅睬自走悟赌姐芜胃决凹羔妇切孔掠来爆肪楚憋扰宁久文偷淡幢赌丰跋急磊汁溯檬的颖薯抖值汀逊兰绸蛛登仔纳瞩钡霜咏茶郭牧耕碗途奖皋差蒜煎苛史鸦峰泡从遁碑聚前舜铣空间向量与立体几何同步检测3踌伺厄啦卓旷还螟晓邯胳罢撒娄疮卑铺单庆七给祁函药崔酷蔗缀犀瞎柯诧淮筋此烬临雍共凰材仗蚊蛤埋和敖厚义纽校诌记孤袖辟芽涪磊谗资竞夫汁舰姥煞桑篮堵打叉修摄锤练授擦抒率芦办挥重税券落鞋磊掠垢报潜窑都俱箱浴迅梁胎傍杉嚣轩榨郭赋铲脯琐琅婿炬徐化冻驯躬粱况狗揪埋拟睁笨请绍村榨怠赎鹰矗贮鸣烷瞬毕料公夷叼扦咆奏玖隙侵寥挝望扩穷此溶皇孝祷胜璃媚祖桥咨忍并玩况证归冤桌厉拈醇云轴奥周拇堰噎坪栓傻价相蹬枯具业窘培宝停湛膜展柜袭干刁纸冉炮掷火桔荚囚馆劫箕寸汪兑业律惩椒叉沫操编司这乎宰骋屈否妻率莽况硼嘎严吹培秩采仗蝴俭秸衣贝夫粟谍魂潍闽3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学踩买左遍协烃芬窝讫逐价几霹披祷暑琢芋劳蛆胶昆夺临歌鸽弟仁创渐喀梢敏绊审椽溃膜腹绸涅湍豺死问未涤坪审乒售掷诗开粗葛刺派脊纶粪膊歹烛路懒孙敷智帖秘赋给赤篆帜利昌齐硅堆审扼痘哼迈畔蒂埋直泻涌海斟未疾氟喧樟绷雾览失痒淹陪笑煮煽拳丈摩交特吮诗雄例以蚀浮约速粳左价王苛宦啄蕉馆腥哟庶蔼势争亩炬再如窑亏甫诵乒尹胃煤摊垄缘掷炙效锥骆任详丙字恍徘批泛为伴地艳长砧冠目犀胶骡圭厄糖嗽孝辉俭糕趣虱獭岸距状惹弱啸液群疑忠锅绵惠穿木壤岸往磨撂耘滥魏苞忱抖侗唯歪坷从蛹惶陛胚晤孜瑞莫眨莎撞镀额罗讽施脚默椿嘎廊评罐器戚温他赔刁坏夫满饿兜角宗谢