资源描述
第3节 空间直线、平面的平行
[A级 基础巩固]
1．“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由直线m∥平面α，可得直线m与平面α内无数条直线平行，反之不成立．
所以“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的必要不充分条件．
故选C.
答案：C
2．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上均有可能
解析：平行、相交、异面都有可能．故选D.
答案：D
3．(2020·洛阳联考)设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l⊂α，m⊂β，下列结论正确的是( )
A．若α⊥β，则l⊥β B．若l⊥m，则α⊥β
C．若α∥β，则l∥β D．若l∥m，则α∥β
解析：对于A，α⊥β，l⊂α，只有加上l垂直于α与β的交线，才有l⊥β，所以A错误；对于B，若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α与β可能平行，也可能相交但不垂直，所以B错误；对于C，若α∥β，l⊂α，由面面平行的性质可知，l∥β，所以C正确；对于D，若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α与β可能平行，也可能相交，所以D错误．
答案：C
4．过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有( )
A．4条 B．6条
C．8条 D．12条
解析：如图所示，H，G，F，I是相应线段的中点，
故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，
有FI，FG，GH，HI，HF，GI共6条直线，故选B.
答案：B
5．(2020·东莞调研)已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足a⊂α，b⊂β，c⊂γ，则直线a，b，c的位置关系不可能是( )
A．两两平行 B．两两垂直
C．两两相交 D．两两异面
解析：假设a，b，c三条直线两两平行，如图所示，设α∩β＝l，因为a∥b，a⊄β，b⊂β，所以a∥β.又知a⊂α，α∩β＝l，所以a∥l，又知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，所以l⊥γ，又知a∥b，a∥l，所以a⊥γ，又知c⊂γ，所以a⊥c，所以假设不成立．故三条直线a，b，c不可能两两平行．
答案：A
6．(2020·豫北名校联考)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点，若平面BC1D∥平面AB1D1，则＝_____．
解析：如图所示，连接A1B，与AB1交于点O，连接OD1，因为平面BC1D∥平面AB1D1，平面BC1D∩平面A1BC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，所以＝.
同理AD1∥DC1，所以＝，所以＝，
又因为＝1，所以＝1，即＝1.
答案：1
7．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F为DC中点，所以EF＝AC＝.
答案：
8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有________(填序号)．
解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．
答案：①或③
9．(2020·潍坊模拟)如图所示，四棱锥A-BCDE中，BE∥CD，BE⊥平面ABC，CD＝BE，点F在线段AD上．
(1)若AF＝2FD，求证：EF∥平面ABC；
(2)若△ABC为等边三角形，CD＝AC＝3，求四棱锥A-BCDE的体积．
(1)证明：取线段AC上靠近C的三等分点G，连接BG，GF.
因为＝＝，则GF＝CD＝BE.
而GF∥CD，BE∥CD，故GF∥BE.
故四边形BGFE为平行四边形，故EF∥BG.
因为EF⊄平面ABC，BG⊂平面ABC，故EF∥平面ABC.
(2)解：因为BE⊥平面ABC，BE⊂平面BCDE，
所以平面ABC⊥平面BCDE.
所以四棱锥A-BCDE的高即为△ABC中BC边上的高．
易求得BC边上的高为×3＝.
故四棱锥A-BCDE的体积V＝××(2＋3)×3×＝.
10．(2020·福州模拟)如图所示，在平行四边形ABCM中，D为CM的中点，以AD为折痕将△ADM折起，使点M到达点P的位置，且平面ABCD⊥平面PAD，E是PB的中点，AB＝2BC.
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)若AD＝2，AB＝4，求三棱锥APCD的高．
(1)证明：取AP的中点F，连接DF，EF，如图所示．
因为点E是PB的中点，
所以EF∥AB，且EF＝AB.
因为四边形ABCM是平行四边形，D为CM的中点，所以AB∥CD，且CD＝AB，
所以EF∥CD，且EF＝CD，
所以四边形EFDC为平行四边形，所以CE∥DF，
因为CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD，
所以CE∥平面PAD.
(2)解：取AD的中点O，连接PO，CO，如图所示．
在平行四边形ABCM中，D为CM的中点，AB＝2BC，AD＝2，
AB＝4，
所以MD＝MA＝AD＝CD＝2，所以△MAD为等边三角形，
所以∠MDA＝60°，所以∠ADC＝120°，PD＝PA＝AD＝2，
所以S△ACD＝AD·CDsin∠ADC＝×2×2×＝，
OC＝，
因为△ADP为正三角形，
所以PO⊥AD，且PO＝.
因为平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，
所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OC，
所以PC＝＝.
在等腰三角形PCD中，易得S△PCD＝.
设三棱锥A-PCD的高为h，
因为VA-PCD＝VP-ACD，所以S△PCD·h＝S△ACD·PO，
所以h＝＝＝，
所以三棱锥A-PCD的高为.
[B级 能力提升]
11．已知l，m是不同的直线，α，β是不同的平面．给出下列命题，其中正确的是( )
①l⊥α，m⊂β，α∥β⇒l⊥m；②l∥α，m∥β，l∥m⇒α∥β；
③l⊥α，m⊂β，l∥m⇒α⊥β；④l⊥α，m⊥β，l⊥m⇒α∥ββ.
A．②④ B．①③
C．②③④ D．①②③
解析：①中，因为l⊥α，α∥β，所以l⊥β，又m⊂β，所以l⊥m，①正确．③中，因为l⊥α，l∥m，所以m⊥α，又m⊂β，所以α⊥β，③正确．由面面平行的判定定理知②和④不正确，故选B.
答案：B
12．(2020·厦门模拟)在正三棱锥S-ABC中，AB＝2，SA＝2，E，F分别为AC，SB的中点．平面α过点A，α∥平面SBC，α∩平面ABC＝l，则异面直线l和EF所成角的余弦值为________．
解析：因为α∥平面SBC，α∩平面ABC＝l，平面SBC∩平面ABC＝BC，
所以l∥BC，
取AB的中点D，连接DE，DF，则DE∥BC，
所以l∥DE，
所以异面直线l和EF所成角即为∠DEF(或其补角)，取BC的中点O，连接SO，AO，
则SO⊥BC，AO⊥BC，
又SO∩AO＝O，所以BC⊥平面SOA，
又SA⊂平面SOA，所以BC⊥SA，所以DE⊥DF，
在Rt△DEF中，DE＝，DF＝，
所以EF＝2，所以cos∠DEF＝＝.
所以异面直线l和EF所成角的余弦值为.
答案：
13．(2019·汉阳一中模拟)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，且AA1⊥平面ABC，D为AB的中点．
(1)求证：直线BC1∥平面A1CD；
(2)若AB＝BB1＝2，E是BB1的中点，求三棱锥A1-CDE的体积．
(1)证明：连接AC1，交A1C于点F，
则F为AC1的中点，又D为AB的中点，
所以DF∥BC1，
又BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)解：因为△ABC为等边三角形，D为AB中点，
所以CD⊥AB，又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
所以CD⊥AA1，
因为AB∩AA1＝A，
所以CD⊥平面ABB1A1，
所以三棱锥的高h等于点C到平面ABB1A1的距离，
即h＝CD，易求得CD＝.
又S△A1DE＝2×2－×1×2－×1×1－×1×2＝，
所以VA1-CDE＝VC-A1DE＝S△A1DE·h＝××＝.
[C级 素养升华]
14．(多选题)下列命题错误的是( )
A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行
B．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行
解析：A中，若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线可能平行、相交或为异面直线，故A错误；B中，若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故B错误；C正确；D中，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交(例如：天花板与两个相交平面的位置关系)，D项错误．
答案：ABD
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
