具有双线性发生率的随机酗酒模型.pdf

第 卷第期V o l ,N o 滨州学院学报J o u r n a l o fB i n z h o uU n i v e r s i t y 年月A p r,【微分方程与动力系统研究】具有双线性发生率的随机酗酒模型收稿日期:基金项目:国家自然科学基金项目();安徽省高校自然科学研究重点项目(K J A );蚌埠学院自然科学研究项目(Z R ,Z R )第一作者简介:刘娟(),女,江苏宿迁人,教授,硕士,主要从事微分方程、生物数学研究.E m a i l:m y c o m刘娟,潘玉荣,李娜(蚌埠学院 数理学院,安徽 蚌埠 )摘要:利用随机微分方程定性分析的方法,研究了一类具有双线性发生率的随机酗酒模型.将接触率系数的随机扰动引入确定型酗酒模型,研究了随机酗酒模型正解的存在性及唯一性.通过计算白噪声强度,得到了酗酒群体D(t)消失的充分性条件.研究结果显示,当外部干扰足够大时,酗酒群体、正在戒酒者、永久戒酒者都将消失.关键词:白噪声;随机酗酒模型;I t 公式;强大数定律;正解中图分类号:O 文献标识码:A D O I:/j c n k i 引言传染病动力学是生物数学的重要组成部分,利用传染病动力学中的仓室理论可以研究现实生活中的众多现象 .酗酒问题是现代社会广泛存在的实际问题,过度饮酒会带来许多严重的后果.利用仓室模型的思想,能够对酗酒现象进行建模,并利用微分方程理论研究酗酒模型的动力学性质 .近年来,在传染病模型的基础上,许多学者利用仓室理论建立了现实生活中的酗酒模型,并利用动力学方法研究了模型的一些性质.在建立的酗酒模型中,大多为确定型模型.但在研究酗酒问题时,外界干扰也是一个不可忽略的因素,因此需要利用随机微分方程理论建立酗酒模型.文献 研究了确定型酗酒模型dS(t)dtAS(t)D(t)S(t),dD(t)dtS(t)D(t)()D(t),dQ(t)dt D(t)()Q(t),dR(t)dt D(t)Q(t)R(t).该酗酒模型中,S(t)表示不饮酒或适度饮酒群体在时刻t的数量,代表疑似酗酒者;D(t)表示过度饮酒以至于达到酗酒程度的群体在时刻t的数量;Q(t)表示已经意识到大量饮酒的危害并采取措施积极戒酒的群体在时刻t的数量;R(t)表示通过治疗已经戒除酒瘾的群体在时刻t的数量,代表永久戒酒者.A为S(t)的常数输入率,假设模型中四类群体的自然死亡率相同(记为),和分别为D(t)和Q(t)两类群体由于过量饮酒导致的死亡率.为S(t)与D(t)两类群体的接触率系数.,分别表示D(t)和Q(t)两第期刘娟,潘玉荣,李娜具有双线性发生率的随机酗酒模型类群体转化为R(t)的比例系数,表示D(t)群体转化Q(t)群体的比例系数.在文献 的基础上,考虑到确定型模型的不足之处,本文在原模型中引入白噪声使之变成随机模型,并将白噪声的影响体现在接触率中,即dtdtdB(t).式中,为噪声强度,B(t)为标准的布朗运动.由此可得利用随机微分方程表示的酗酒模型dS(t)AS(t)D(t)S(t)dt S(t)D(t)dB(t),dD(t)S(t)D(t)()D(t)dt S(t)D(t)dB(t),dQ(t)D(t)()Q(t)dt,dR(t)D(t)Q(t)R(t)dt,()以下主要研究该模型的动力学性质,包括随机酗酒模型正解的存在性及酗酒群体、正在戒酒者群体、永久戒酒者群体何时消失.随机模型正解的存在性微分方程具有丰富的动力系统性质,全局正解是研究随机微分方程性质的首要条件,因此首先讨论模型()是否存在正解.由随机微分方程理论知,若系统满足局部利普希茨条件和线性增长条件,则其具有唯一的正解.下面验证模型()正解的存在性.定理当t时,对于任意的初始条件X()(S(),D(),Q(),R(),模型()都有唯一的正解,且该解以概率存在于R中.证明通过计算可知模型()满足局部利普希茨条件,故不论X()取值如何,模型()存在唯一的局部解X(t)(t,e),在随机微分方程中,e表示模型的爆破时间.下证X(t)(t,e)是模型()的全局正解,只要证明ea s,就能证明该结论.假设存在正数k,能使(S(),D(),Q(),R()都在区间k,k 内,再设kk,定义停时ki n ft,e:m i n(S(t),D(t),Q(t),R(t)k或m a x(S(t),D(t),Q(t),R(t)k,规定i n f.由停时含义知k是k的单调增函数,设 l i mkk,得ea s,如能证明,则e且X(t)R(t).为了证明,利用反证法的思想,假设,则存在正数T及(,)满足不等式PT,且存在正数kk,对所有的正数kk,满足PkT.将模型()中的变量相加,可得d(SDQR)A(SDQR)DQdtA(SDQR)dt.由方程初值X()(S(),D(),Q(),R(),可求得S(t)D(t)Q(t)R(t)A,S()D()Q()R()A,S()D()Q()R(),S()D()Q()R()A,则当S()D()Q()R()A时,有S(t)D(t)Q(t)R(t)A:M.定义V(S,D,Q,R)(S l l nS)(D l l nD)(Q l l nQ)(R l l nR),由函数u l l nu,u知V(S,D,Q,R)是非负的函数.令T,则对任意的t:tkT,通过I to公式可得dV(S,D,Q,R)(S)dSS(dS)(D)dDD(dD)(Q)dQ(R)dRA(SDQR)DQdtASDdt DdB(t)S()dt滨州学院学报第 卷 SdB(t)DQ()dt DR QRdt(DS)dtA(SDQR)DQAS(DS)()DQ DR QR(SD)dt(DS)dB(t).()令L VA(SDQR)DQAS(DS)()DQ DR QR(SD),则L VAD()(DS)AM()M:K.()将式()代入式()可得dVKdt(DS)dB(t),上式两边取到kT的积分,再取数学期望可以得到E V(S(kT),D(kT),Q(kT),R(kT)V(S(),D(),Q(),R()KE(kT)V(S(),D(),Q(),R()KT,()其中E为数学期望.对所有的kk,有PkT.对于任意的kT,S(k,),D(k,),Q(k,),R(k,)四个表达式中至少有一个等于k或lk,故可得V(S(k,),D(k,),Q(k,),R(k,)(k l l nk)(lk l l nk).通过式()可知V(S(),D(),Q(),R()KTElk()V(S(k,),D(k,),Q(k,),R(k,)(k l l nk)(lk l l nk).其中,kkT,lk()为k的示性函数.令k,可得V(S(),D(),Q(),R()KT,得出矛盾,因此上述假设不成立,故ea s,由此证明了全局正解的存在唯一性.酗酒群体的消失条件以下主要讨论模型()中,D(t)和Q(t)两类群体何时消失,初始条件对于模型并无影响,故假设系统存在任意的初始条件X()(S(),D(),Q(),R().定理设(S(t),D(t),Q(t),R(t)为模型()的正解,对于任意给定初始条件X(),若白噪声强度(),则l i mts u pl nD(t)t(),即l i mtD(t),且l i mtQ(t),l i mtR(t),l i mtS(t)A.证明通过I to公式,可将模型()中D的表达式变为d(l nD)S()Sdt SdB(t).第期刘娟,潘玉荣,李娜具有双线性发生率的随机酗酒模型对上式两边取到t的积分,并除以t,且记符号 f(t)tf(s)dst,则可得l nD(t)l nD()tS(t)()S(t)M(t)tS(t)()S(t)M(t)t,化简得l nD(t)t(S(t)()M(t)tl nD()t ()M(t)tl nI()t.()上式中,记M(t)t S(r)dB(r),则M(t)为一连续局部鞅且M().易知l i mts u pM,MttA,故由强大数定律得l i mtMtt.取式()中l nD(t)t的上极限,再将上述极限代入式()得l i mts u pl nD(t)t(),上式表示l i mtD(t).()由d(SDQR)A(SDQR)DQdt计算得S(t)D(t)Q(t)R(t)etS()D()Q()R()ett(AD(r)Q(r)erdr.由洛必达法则,得到l i mt(S(t)D(t)Q(t)R(t)l i mtS()D()Q()R()et l i mtt(AD(r)Q(r)erdretl i mtAD(t)Q(t).()对于模型(),Q(t)的表达式为dQ(t)dt D(t)()Q(t),由式()可得l i mtQ(t),同理可得l i mtR(t),故由式()可得l i mtS(t)A.故定理成立.结论本文在确定型酗酒模型的基础上,加入随机干扰因素,研究了具有双线性发生率的随机酗酒模型,利用随机微分方程理论讨论了随机酗酒模型的正解,并通过计算白噪声强度,得到了酗酒群体D(t)消失的充分性条件.研究结果表明,如果白噪声强度达到了足够大的程度,则D(t)、Q(t)、R(t)几类群体几乎必然处处趋于,这表明酗酒群体、正在戒酒者群体、永久戒酒者群体将消失.本文利用随机微分方程理滨州学院学报第 卷论,说明了外部环境干扰会对酗酒系统产生较大的影响,这对于研究酗酒问题具有一定的理论价值.参考文献:于振华,黄山阁,卢思,等新冠肺炎传播动力学建模及预测J控制与决策,():蒲武军一类多时滞反应扩散H B V病毒模型的动力学分析J井冈山大学学报(自然科学版),():刘一鸣,高建国一类具有空间扩散的S E I AV模型及其阈值动力学研究J应用数学,():薛山,廖一兰,李春林,等不同人口流动模式下城市传染病时空传播模型适用性研究J地球信息科学学报,():张艳敏,王丹,刘明鼎具有二阶扰动和疫苗接种的随机霍乱传染病模型的平稳分布J井冈山大学学报(自然科学版),():祁邦国,于石成,王琦琦,等我国早期新型冠状病毒肺炎疫情传染病动力学模型分析J疾病监测,():张子振,张伟诗,宋志强一类时滞S D T R戒酒模型的局部渐近稳定性J滨州学院学报,():向红,朱承澄,霍海峰具有复发的酗酒模型的全局稳定性J生物数学学报,():王晓雯季节交替下的混杂种群模型及一类多组酗酒模型研究D乌鲁木齐:新疆大学,S ONGNN,HUO HF G l o b a l s t a b i l i t yf o rab i n g ed r i n k i n gm o d e lw i t ht w os t a g e sJ D i s c r e t ed y n a m i c s i nn a t u r ea n ds o c i e t y,():S HA RMAS,S AMANT AGP A n a l y s i so f ad r i n k i n ge p i d e m i cm o d e lJ I n t e r n a t i o n a l j o u r n a l o fd y n a m i c sa n dc o n t r o l,():AS t o c h a s t i cB i n g eD r i n k i n gM o d e lw i t hB i l i n e a r I n c i d e n c eR a t eL I UJ u a n,P ANY u r o n g,L IN a(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dP h y s i c s,B e n g b uU n i v e r s i t y,B e n g b u ,C h i n a)A b s t r a c t:B yu s i n gt h em e t h o do f q u a l i t a t i v ea n a l y s i so f s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s,as t o c h a s t i cb i n g ed r i n k i n gm o d e lw i t hb i l i n e a ri n c i d e n c ei ss t u d i e d F i r s t l y,t h er a n d o md i s t u r b a n c eo ft h ec o n t a c tr a t ec o e f f i c i e n t i s i n t r o d u c e d i n t o t h ed e t e r m i n i s t i cb i n g ed r i n k i n gm o d e l O nt h i sb a s i s,t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t h ep o s i t i v e s o l u t i o no f t h e r a n d o mb i n g ed r i n k i n gm o d e l a r ed i s c u s s e d S e c o n d l y,t h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ed i s a p p e a r a n c eo ft h ea l c o h o l i s m p o p u l a t i o na r eo b t a i n e db yc a l c u l a t i n gw h i t en o i s e i n t e n s i t y T h er e s u l t ss h o wt h a tw h e nt h ee x t e r n a lw h i t en o i s e i s l a r g ee n o u g h,a l c o h o l i s mp o p u l a t i o n,p o p u l a t i o nw h oa r eq u i t t i n ga l c o h o l a n dp o p u l a t i o nw h oa r ep e r m a n e n t l yq u i t t i n gw i l l d i s a p p e a r K e y w o r d s:w h i t en o i s e;s t o c h a s t i cb i n g ed r i n k i n gm o d e l;I t f o r m u l a;s t r o n g l a wo fn u m b e r s;p o s i t i v es o l u t i o n(责任编辑:贾晶晶)