Nilsson平均场加对力模型的近似角动量投影的可行性分析.pdf

王 印，等：Nilsson平均场加对力模型的近似角动量投影的可行性分析收稿日期：2023-12-18作者简介：王印（1982)，男，讲师，博士，研究方向：理论物理.第 38 卷第 2 期2024 年 4 月白 城 师 范 学 院 学 报Journal of Baicheng Normal UniversityApr.Vol.382024No.2Nilsson平均场加对力模型的近似角动量投影的可行性分析王印，缑战其(白城师范学院 物理与电子信息学院，吉林 白城 137000)摘要：为了讨论Nilsson平均场加对力模型的近似角动量投影方法的可行性，以ds壳为例，分析了严格角动量投影和近似角动量投影结果中2+1，4+1和0+2能级与波函数的关系.结果表明，在对力强度参数不太小时，可以用近似角动量投影方案来恢复Nilsson平均场加对力模型的角动量.关键词：角动量投影；Nilsson平均场；对相互作用中图分类号：O571文献标志码：A文章编号：1673-3118（2024）02-0001-040引言球形平均场加长程的四级-四级相互作用和短程的对力相互作用理论能很好地描述原子核的低能级性质1-2.目前，该理论遇到的技术难题在于计算价核子较大的核素时模型的组态空间迅速增加，这导致人们难于对远离满壳的大核素进行描述.Nilsson壳模型等价于球形平均场加长程的四级-四级相互作用之后做场近似的结果.陈月娥等3-4在形变壳模型基础上进一步考虑对力，得到了较为满意的结论.文献 3-4 中平均场的形变破坏了内禀空间的转动对称性，这导致模型的能级本征态不再具有确定的角动量量子数.为了进一步分析计算结果需要对系统角动量进行恢复5-6.文献 5 给出的角动量投影方法是针对形变壳模型加BCS近似的结果提出的，是壳模型在重核区域的一种推广.潘峰等7-10给出了严格可解的形变平均场加对力模型的角动量投影方法.本文进一步讨论文献 7 中给出的角动量投影方案的近似方法的可行性，目的是减小角动量投影的计算量并给出合理的模型参数范围.1近似角动量投影的理论框架在Nilsson平均场加对力模型中角动量不守恒，但角动量的内禀三分量K是守恒的.对于偶偶核的具有确定角动量的低激发态来说，K=0的内禀三分量占有主要组分，而K 0的组分更多出现在高激发的拆对态中.因此，在仅关注低激发区能谱的性质时，可以只考虑K=0的组分.这样的近似使得角动量投影所涉及的组态数得到显著减少，进而可以大大缩短计算时间.JK是球形平均场的本征态，其中J为角动量，K为角动量三分量，为角动量J的重复度指标.，J，K取所有值时构成了 JK，这是一组内禀空间的正交归一完备基.投影后的哈密顿量H可写为白城师范学院学报第38卷H=J，MPJM，K=0HPJK=0，M.（1）其中：PJM，K=0=JMLJK=0，（2）PJK=0，M=JK=0LJM（3）是投影算符，JML代表在实验室坐标系中角动量和角动量三分量分别是J和M的本征态；H是Nilsson平均场加对力模型的哈密顿量.实验室坐标系和内禀坐标系中的量子态可以通过D函数的变换得到JML=2J+182DJ*M0(，)JK=0.（4）其中DJ*M0(，)为三维空间的转动群在不可约表示J下的矩阵元，为欧拉角；式（4）表示的实验室坐标系中的本征态关于量子数，J，M是正交的，满足LJM JML=JJMM.（5）哈密顿量（1）的本征态由式（4）展开为JML=aJML.（6）其中a是展开系数，是哈密顿量（1）的角动量为J的本征态重复度指标.式（1）满足本征方程HJML=EJJML.（7）利用式（2）（6），本征方程（7）可化为JK=0 HJK=0 a=EJa.（8）其中矩阵元JK=0 HJK=0可表示为J0kkJ0k Hk=J0J0Ek.（9）其中：k是Nilsson平均场加对力模型的本征态，k是价核子的对数，是重复度指标；Ek是相应的本征值；J0=k J0是Nilsson平均场加对力模型的本征态按角动量一定的多粒子态展开的展开系数.综上，将矩阵元JK=0 HJK=0的值代入到本征方程（8）中，即可以求出哈密顿量（1）的本征值EJ和本征态JML.式（1）中的H可取各种Nilsson平均场加对力模型的哈密顿量，本文采用文献 9 中给出的修正对力模型的哈密顿量H=iini-i*Gib+ibi-Gi，i*b+ibi.（10）其中：第一项是对所考虑的所有单粒子轨道求和；第二项和第三项带*的求和不包括被单个核子占据的单粒子轨道；不同轨道之间的对力强度参数G是相等的，同轨道对力强度参数Gi+G是轨道相关的；i是 Nilsson 平均场的单粒子能级；ni=a+iai+a+iai是第i个 Nilsson 单粒子能级的粒子数算符，b+i=a+ia+i（bi=aiai）是对产生（湮灭）算符，a+i是Nilsson平均场中第i个能级的单粒子产生算符，a+i是相应的时间反演态.2近似角动量投影的可行性分析Nilsson平均场加对力模型仅能描述各条能带的带头，对于偶偶核来说也就是角动量为0的能级.经2王 印，等：Nilsson平均场加对力模型的近似角动量投影的可行性分析第2期投影后角动量得到恢复，投影的结果能够描述角动量为其他值的情况.为了讨论近似角动量投影方案的可行性，分别利用严格角动量投影和近似角动量投影两个方案对ds壳中两个核子体系的2+1，4+1和0+2能级进行计算.重点关注这三条能级的原因是这三条低激发能级的排序和间隙很重要，在一定程度上能反映出原子核整体运动的特点.ds壳有6条Nilsson单粒子轨道，取形变参量为0.1，六条单粒子能级分别为-2.230、-1.280、0.077、2.556、7.030、8.398 Mev.计算时选取第3条的同轨道对相互作用强度参数为3G，其他情况均为G.表1给出了对力强度参数和能级计算结果，图1和图2分别为严格和近似角动量投影方案所得能级随对力强度参数变化的曲线.表1ds壳中两个核子体系的2+1，4+1和0+2能级MeV对力强度参数G0.00.30.60.91.21.51.82.1严格角动量投影能级2+10.0001.0962.3153.6365.0416.5158.0439.6174+10.0001.1632.4483.8365.3086.8488.44310.0830+26.8837.7728.82210.00611.30012.68214.13515.645近似角动量投影能级2+10.1661.0292.0053.0754.2245.4376.7018.0074+1-0.6260.4991.7463.0964.5296.0317.5899.1900+26.8837.7728.82210.00611.30012.68214.13515.645图1严格角动量投影能级图2近似角动量投影能级由表1和图1可以看出，经严格角动量投影得到的2+1和4+1的排序与真实核素情况相同，能级的间隙随着对力强度参数的增加而变大.由表1和图2可以看出，近似角动量投影得到的能级随对力强度参数变化的趋势和严格角动量投影方案一致.但在对力强度参数较小时，近似角动量投影得到的2+1的能级高于4+1，出现了倒置现象，但倒置现象在对力强度参数增加到一定值时消失.在本文讨论的ds壳例子中2+1和4+1的能级排序由倒置转变为正常排序的临界点是对力强度参数G 0.9MeV.为了进一步讨论两种投影方案的关系，计算了两种情况下所得到的相应激发态之间的内积，如表2所示.定义Ji=|PJiJiP0，其中Ji表示Nilsson平均场加对力模型经角动量投影后得到的第i个角动量是J的量子态，下标P代表严格角动量投影，P0代表近似角动量投影.3白城师范学院学报第38卷表2严格和近似角动量投影所得相应激发态之间的内积对力强度参数G/MeV0.00.30.60.91.21.51.82.12+10.920.930.940.950.960.960.970.974+10.910.930.940.950.960.970.970.970+21.001.001.001.001.001.001.001.00由表2可以看出，两种方案计算得到的相应激发态之间的内积都在0.9以上，并且随着对力强度参数的增加而逐渐接近1.这说明两种方案结果中对应的激发态的组分结构十分相似.以上结论可以说明在对力强度参数不太小时，可以用近似角动量投影方案来恢复Nilsson平均场加对力模型的角动量.3结论和展望本文介绍的近似角动量投影方案可以显著地减小角动量投影过程中的计算量.在对力强度参数不太小时，近似和严格角动量投影方案的结果趋于一致，这使得Nilsson平均场加对力模型有希望能进一步描述大核素更多的信息，如电四极矩、跃迁几率等.在接下来的工作中，要进一步讨论Nilsson平均场加不同类型的对力在角动量恢复后的关系；进一步引入同位旋对力，考虑中子和质子的对力相互作用；另外设计奇A核与奇奇核的近似角动量投影方案也是未来研究方向之一.参考文献：1曾谨言，孙洪洲.原子核结构理论 M.上海：上海科学技术出版社，1987：51-88.2RING P，SCHUCK P.The nuclear many-body problem M.Berlin：Springer-Verlag，1980：36-95.3陈月娥，卢晓华，潘峰.平均场加区分质子和中子的邻近轨道对力模型及对超铀区核的统一描述 J.高能物理与核物理，2004，28（8）：814-820.4PAN F，DRAAYER J P，GUEORGUIEV V G.Algebraic solutions of an extended pairing model for well-deformed nuclei J.Physical Review Letters，2004，92：11-16.5HARA K，SUN Y.Projected shell model and high-spin spectroscopy J.International Journal of Modern Physics E，1995，4（4）：637-785.6SUN Y，HARA K.Fortran code of the projected shell model：Feasible shell model calculations for heavy nuclei J.ComputerPhysics Communications，1997，104（1/3）：245-258.7潘峰，高明，董诗文，等.多粒子系统角动量投影的新方法 J.辽宁师范大学学报（自然科学版），2014，37（1）：30-33.8潘峰，王印，郭靓，等.形变平均场加修正对力模型的角动量投影 J.辽宁师范大学学报（自然科学版），2015，38（3）：317-321.9潘峰，王印，解明霞.角动量投影的形变平均场加对力模型对20Ne的描述 J.辽宁师范大学学报（自然科学版），2015，38（4）：464-469.10WANG Y，PAN F，LAUNEY K D，et al.Angular momentum projection for a Nilsson mean-field plus pairing modelJ.Nuclear Physics A，2016，950：1-28.（下转第9页）4王永辉：碘催化下合成全取代吡唑及其磺化反应研究第2期Synthesis and sulfonation ofall-substituted pyrazole catalyzed by IodineWANG Yong-hui（Office of Student Affairs，Chuzhou City Vocation College，Chuzhou 239000，China）Abstract：Using arylhydrazine，-ketonitrile and sulfonyl hydrazine as substrates，the optimal reactionconditions were determined by investigating the effects of different molar concentrations of catalysts and different organic solvents on the reaction in the presence of Iodine.The corresponding pyrazole-5-amine derivativescontaining pyrazole heterocyclic were synthesized by changing the reaction substrate.Its structure was characterized by1HNMR，IR and HR-MS.The method has the advantages of mild reaction conditions，simple operation，cheap and readily available raw materials and rapid reaction.Key words：catalyzed by Iodine；one-pet synthesis；pyrazole-5-amine derivatives（责任编辑：李玉波）Feasibility analysis of approximate angular momentumprojection of the Nilsson mean-field plus pairing modelWANG Yin，GOU Zhan-qi（College of Physics and Electronic Information Engineering，Baicheng Normal University，Baicheng 137000，China）Abstract：In order to discuss the feasibility of the approximate angular momentum projection method ofthe Nilsson mean-field plus pairing model，this paper takes ds shell as an example to analyze the2+1，4+1and0+2relationship between the energy level and the wave function in the results of strict angular momentum projection and approximate angular momentum projection.The results show that when the pairing interaction parameters are not too small，we can use the approximate angular momentum projection scheme to recover the angular momentum of the Nilsson mean-field plus angular momentum model.Key words：angular momentum projection；Nilsson mean-field；pairing interaction（责任编辑：李玉波）（上接第4页）9