资源描述
2022年数学定位试题（理）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（23）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
留意事项：
1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3、请依据题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生依据题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：
样本数据的标准差 锥体体积公式
其中为样本平均数 其中为底面面积，为高
柱体体积公式 球的表面积，体积公式
其中为底面面积，为高 其中R为球的半径
第I卷
选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则等于 A
A． B． C． D．
2. 若复数Z，是虚数单位）是纯虚数，则在复平面内Z对应点的坐标为 C
A．（0，2） B．（0，3i ） C．（0，3） D．（0，）
3. 下列命题正确的是 D
A．已知;
B．存在实数，使成立;
C．命题：对任意的，则：对任意的;
D．若或为假命题,则,均为假命题
4. 把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 D
A． B． C． D．
5. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 C
4
3
5
A.10 B.15 C.20 D.30
6. 执行如图所示的程序框图，输出S的值为 C
A.3 B. -6 C. 10 D. 12
8. 中，点在上，平方．若，，，，则 B
A B C D
7. 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱AB上存在点P，使得，则AD的取值范围是（ ）C
A． B． C． D．
9.若点（4，tanθ）在函数y=log2x的图像上，则2cos2θ= A
A. B. C. D.
10. 已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为 D
A． B．（﹣2，1） C． D．
11．若曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则实数a= C
A．﹣2 B． C． 1 D． 2
12. 已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是 D
A． B． C． D．
一、
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必需做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试依据要求做答。
填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 在（1+x）6（1+y）4的开放式中，xy2项的系数是 . 36
14. 已知函数，则f（2022）= 0
15. 在平面直角坐标系中，已知点P（4，0），Q（0，4），M，N分别是x轴和y轴上的动点，若以MN为直径的圆C与直线PQ相切，当圆C的面积最小时，在四边形MPQN内任取一点，则这点落在圆C内的概率是 .．
16. 在△ABC中， 若 (sinA+sinB):(sinA+sinC):(sinB+sinC)=4:5:6 , 且该三角形的面积为，则△ABC的最大边长等于 14 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知数列满足，，令.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（II）求数列的前项和.
解：(Ⅰ) ，
，即，．………6分
（II），
----（1）
----（2）
（1）—（2）得：
18． (本小题满分12分)某电子广告牌连续播出四个广告，假设每个广告所需的时间相互独立，且都是整数分钟，经统计，以往播出100次所需的时间(t)的状况如下：
类别
1号广告
2号广告
3号广告
4号广告
广告次数
20
30
40
10
时间t（分钟／人）
2
3
4
6
每次随机播出，若将频率视为概率．
(Ⅰ)求恰好在第6分钟后开头播出第3号广告的概率；
（II）用X表示至第4分钟末已完整播出广告的次数，求x的分布列及数学期望.
解：(Ⅰ)由条件知
.
（II）
0
1
2
19． （本小题满分12分）
在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，，，
（I）若中点为．求证：；
（II）若，求直线与平面所成角的正弦值．
（I）证明：取的中点，连结，
，且，所以为平行四边形．
，且不在平面内，在平面内，
所以
（II）
直线与平面所成角的正弦值．
20． （本小题满分12分）
定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相像”的． 如图，椭圆C1与椭圆C2是相像的两个椭圆，
并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：
短轴长是1，点F1， F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，
（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；
（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．
解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'．由已知a=2，b=m，．
∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即，
∴，即
∴，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，
∴椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；…………5分
（Ⅱ）明显直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：．
联立：，得，即，
∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，，∴，
△F2MN的高即为点F2到直线的距离．
∴△F2MN的面积，……10分
∵，
当且仅当，即时，等号成立
∴，即△F2MN的面积的最大值为．…………12分
21．（本小题满分12分）
已知函数
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ)若关于的不等式在上恒成立，其中为实数，求的取值范围.
解：（Ⅰ）求导，又， 所以曲线在
点处的切线方程为即…………4分
(Ⅱ) 设即在上恒成立，
又有恒成立 即处取得微小值，得…6分
所以, 从而
（ⅰ）当时，在上单调递减，在上单调递增，所以 即…………8分
（ⅱ）时，在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，
则只需 ， 解得…………10分
（ⅲ）当时，，在上单调递增，单调递减，在上单调递增，
由知不符合题意，
.综上，的取值范围是…………12分
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点H，与⊙O交于点C、D，且AB=10，CD=8，DE=4，
EF与⊙O切于点F，BF与HD交于点G．
（Ⅰ）证明：EF=EG；
（Ⅱ）求GH的长．
（Ⅰ）证明：连接 AF、OE、OF，则A，F，G，H四点共圆
由EF是切线知OF⊥EF，∠BAF=∠EFG
∵CE⊥AB于点H，AF⊥BF，
∴∠FGE=∠BAF
∴∠FGE=∠EFG，
∴EF=EG………………5分
（Ⅱ）解：∵OE2=OH2+HE2=OF2+EF2，
∴EF2=OH2+HE2﹣OF2=48，
∴EF=EG=4，
∴GH=EH﹣EG=8﹣4………………10分
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，
直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为.
（Ⅰ）写出直线及曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）过点M平行于直线的直线与曲线交于两点，若，求点M轨迹的直角坐标方程.
解：（Ⅰ）直线， 曲线……………………4分
（Ⅱ）设点及过点M的直线为
由直线与曲线相交可得：
，即：
表示一椭圆……………………8分
取代入得：
由得
故点M的轨迹是椭圆夹在平行直线之间的两段椭圆弧……10分
24．（本小题满分10分）选修4－5：
不等式选讲已知函数.
(Ⅰ)解不等式：；
(Ⅱ)若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.
解：(Ⅰ)由得
得不等式的解为……………………5分
(Ⅱ)由于任意，都有，使得成立，
所以，
又，
，所以，解得或，
所以实数的取值范围为或.……………………10分
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