资源描述
2021级高二上学期学分认定考试
理倾数学试题
留意事项：
1．答卷前，考生务必用钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题纸和答题卡的相应位置处。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3．非选择题答案必需写在答题纸相应位置处，不按要求作答的答案无效。
4．考生必需保持答题卡的洁净，考试结束后，将答题卡和答题纸一并收回。
第I卷（选择题 共50分）
一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式an可以等于 ( )
A. B. cos C. cos π D. cos π
2. 设a<b<0，则下列不等式中不成立的是 ( )
A. > B. > C. |a|>－b D. >
3. 有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )
A．1 B．2sin 10°
C．2cos 10° D．cos 20°
4. 等差数列{an}前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5. 一个等比数列的前三项的积为3，最终三项的积为9，且全部项的积为729，则该数列的项数是 ( )
A. 13 B. 12 C. 11 D. 10
6. 双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为 ( )
A. －＝1 B. －＝1 C. －＝1 D. －＝1
7. 若a>0，b>0，且ln(a＋b)＝0，则 ＋ 的最小值是 ( )
A. B. 1 C. 4 D. 8
8. 如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若 ＝，＝，＝，则下列向量中与 相等的向量是 ( )
A.－＋＋ B. ＋＋
C.－－＋ D. －＋
9. 数列的前项和为，，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为 ( )
A. B. C. D.
10．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为原点，若，则双曲线离心率为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 若点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，则点P的轨迹方程是_________.
12．推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝________________.
13. 已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于_________________．
14. 若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_______．
15. 已知变量x，y满足条件若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是_____________________.
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16. （本小题满分12分）
设p：关于x的不等式 ax>1的解集是 {x|x<0} ；q：函数y＝ 的定义域为R. 若 p∨q 是真命题，p∧q 是假命题，求实数a的取值范围．
17. （本小题满分12分）
已知△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.
(1) 若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值；
(2) 若sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试推断△ABC的外形．
18．（本小题满分12分）
已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且 Sn＝， n∈N*.
(1) 求证：数列{an}是等差数列；
(2) 设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.
19.（本小题满分12分）
某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府预备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地外形相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米.
(1) 分别用表示和S的函数关系式，并给出定义域；
(2) 怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值.
20. （本小题满分13分）
已知四边形是菱形,，四边形是矩形 ,平面平面,分别是的中点.
(1) 求证 : 平面平面；
(2) 若平面与平面所成的角为,求直线与平面所成的角的正弦值.
21．(本小题满分14分)
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为。
①求四边形APBQ面积的最大值；
②设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，
推断+ 的值是否为常数，并说明理由．
2021级高二上学期学分认定考试
理倾数学答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）
1.D 2. B 3．C 4. A 5. B 6. C 7. C 8. A 9. D 10．A
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11. x2＝12y ； 12．44.5 ； 13．3＋ ；
14. [0,2]； 15.
三、解答题（本大题共6小题，共75分.）
16.（本小题满分12分）
解： 依据指数函数的单调性，可知命题p为真命题时，
实数a的取值集合为P＝{a|0<a<1}，-----------------------------------------------------2分
对于命题q：函数的定义域为R的充要条件是ax2－x＋a≥0恒成立．-----------4分
当a＝0时，不等式为－x≥0，解得x≤0，明显不成立；----------------------------6分
当a≠0时，不等式恒成立的条件是
，解得a≥.-
所以命题q为真命题时，a的取值集合为Q＝{a|a≥}．------------------------------8分
由“p∨q是真命题，p∧q是假命题”，可知命题p，q一真一假，
当p真q假时，a的取值范围是P∩(∁RQ)＝{a|0<a<1}∩{a|a<}＝{a|0<a<}；
当p假q真时，a的取值范围是(∁RP)∩Q＝{a|a≤0或a≥1}∩{a|a≥}＝{a|a≥1}．
综上，a的取值范围是∪[1，＋∞)．---------------------------------------------12分
17．（本小题满分12分）
解： (1)∵c＝2，C＝，
∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得a2＋b2－ab＝4.-------------------------------2分
又∵△ABC的面积为，∴absin C＝，ab＝4. ----------------------------------4分
联立方程组解得a＝2，b＝2. ------------------------------------6分
(2)由sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，
得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin Acos A，
即2sin Bcos A＝2sin Acos A，∴cos A·(sin A－sin B)＝0，----------------------------8分
∴cos A＝0或sin A－sin B＝0，
当cos A＝0时，∵0<A<π，
∴A＝，△ABC为直角三角形；---------------------------------------------------------10分
当sin A－sin B＝0时，得sin B＝sin A，
由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．------------------------------------------------12分
18．（本小题满分12分）
(1)证明 ∵Sn＝，n∈N*，
∴当n＝1时，a1＝S1＝ (an>0)，∴a1＝1. -------------------------------------2分
当n≥2时，由
得2an＝a＋an－a－an－1. ------------------------------------------------------------------4分
即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， ∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1(n≥2).
所以数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列. ----------------------------------6分
(2)解 由(1)可得an＝n，Sn＝， bn＝＝＝－.-----------------8分
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－
＝1－＝.--------------------------------------------------------------------------------12分
19. （本小题满分12分）
解：(1)由已知，，其定义域是.----------------------------2分
又，，
,其定义域是.---------------------------6分
(2) ，--------------8分
当且仅当，即时，上述不等式等号成立，
此时，，，.
答：设计， 时，运动场地面积最大，最大值为平方米. -----------12分
20．（本小题满分13分）
解: (1)分别是的中点 所以----①
连接与交与 ,由于四边形是菱形,
所以是的中点
连,是三角形的中位线 ---------②
由①②知,平面平面 --------------4 分
(2)平面平面,所以平面
取的中点,平面, ---------------------5分
建系 设,
则 ----------------------------------------------7分
设平面的法向量为
,所以 ----------------------------------------------9分
平面的法向量
,所以 ---------------------------------------------------11分
所以,设直线与平面所成的角为
---------------------------------------------------13分
21．（本小题满分14分）
解：（1）设椭圆C的方程为 . 由已知b= 离心率
,得 所以，椭圆C的方程为. --------------------4分
（2）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为 ，，则，
设AB(),直线AB的方程为，代人得：.
由△>0,解得，由根与系数的关系得 ---------------------------7分
四边形APBQ的面积
故当 -------------------------------------------------------------------------------9分
②由题意知，直线PA的斜率，直线PB的斜率则
=，------12分
由①知 可得
所以的值为常数0. -------------------------------------------------------------------14分
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