河北省正定中学2022届高三上学期第三次月考(期中)数学试题-Word版含答案.docx

河北正定中学高三班级第三次月考
数 学 试 题
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数 ，则复数的模是
A. B. C. D.
2. 等比数列中，，则
A. B. C.或 D.
3. 若命题,命题,则是的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 已知向量，，则可以为
A． B． C． D．
5. 命题“存在使得”的否定是
A.不存在使得 B. 存在使得
C.对任意 D. 对任意
6. 已知，则的值是
A. B. C. D.
7. 设均为正实数，且，则的最小值为
A.4 B. C.9 D.16
8. 已知定义在上的奇函数满足①对任意的都有成立；②当时，，则在上根的个数是
A. B. C. D.

9. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象
A.向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
10. 已知数列满足，则
A. B. C. D.
11. 已知为的外心，,，若，且
，则
A． B． C． D．
12. 已知函数，其中，存在，使得 成立，则实数的值为
A. B. C. D.1
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 已知正方形的边长为2，为的中点，则__________．
14. 若满足不等式组，则的最小值是__________．
15. 由直线，曲线以及轴围成的图形的面积为__________．

16. 等差数列的前项和为，已知，且，，则=__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
设的内角的对边分别为，若，且，求及的面积.

18.（本小题满分12分）
某商店方案每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元.供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.
（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：件，）的函数解析式；
（2）商店记录了50天该商品的日需求量（单位：件），整理得下表：

若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润的分布列及平均值.

19.（本小题满分12分）
设数列的前项和为，已知，且成等比数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列前项和为，求证.

20. (本小题满分12分)
直三棱柱中，，分别是 的中点，，为棱上的点．
（1）证明：；
（2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由．

21. (本小题满分12分)
已知椭圆过点，离心率为，点分别为其左右焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若上存在两个点，椭圆上有两个点满足三点共线，三点共线，且,求四边形面积的最小值．

22. (本小题满分12分)
已知函数.
(1)求函数在区间上的最值；
(2)若（其中为常数），当时，设函数的3个极值点为，且，证明：.

高三期中考试数学试题参考答案
一、 选择题： 1-5 BCADC 6-10 DDBAC 11-12 BA
二、 填空题：13. 2 14. 15. 16.
17 解：

即
………………………4分
………………………5分
又即
解得………………………8分
………………………10分
18．解：（1）当时，，………2分
当时，，………4分
所以函数解析式； …………6分
（2）∵日需求量为8、9、10、11、12的利润分别为380、440、500、530、560.
其概率分别为，…………8分
利润的分布列为：

………10分
利润的平均值为：
（元）………12分

19.解：（1）由已知得：，又，
，………2分
当时，
，………4分
，
是首项为1，公差为2的等差数列；
是首项为2，公差为2的等差数列；…………6分
是首项为1，公差为1的等差数列，
.…………7分
（2）
………10分
.………12分
20.解: （1）证明：∵，
又∵∴⊥面.
又∵面，∴，………………………………………2分
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，
………………4分
设且，即,则，
∵，所以；…6分
（2）结论：存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为
.........................7分
理由如下：
由题可知面的法向量…………………………………………8分
设面的法向量为，则，
∵，
∴，即，
令，则．………………………………………10分
∵平面与平面所成锐二面角的余弦值为，
∴，即，
解得或（舍），所以当为中点时满足要求．………………………12分
21.解：（1）由题意得：，得，
由于椭圆过点，则解得所以，
所以椭圆方程为:．………………………………………………………4分
（2）当直线斜率不存在时，直线的斜率为0，
易得………………………………………………………5分
当直线斜率存在时，设直线方程为：
与联立得，
令，则，
，…………………………………………7分
∵，∴直线的方程为：，
将直线与椭圆联立得，，
令，，
由弦长公式，…………………9分
∴四边形的面积,………………………10分
令，上式，
所以．最小值为．………………………………………………………12分
22.解：（1）函数的定义域为
，令可得
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增. ……………………………2分
，又且，
所以函数的最小值为，最大值为……………………………………………4分
（2）由题意得
………………………………………………………6分
令，有
所以函数在上单调递减，在上单调递增…………………………8分
由于函数有三个极值点从而
当时，
从而3个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1.
又，即，
故…………………………………………………12分