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其次次月考数学理试题【新课标Ⅱ版】
留意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．
考试时间：120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置。
2、选择题答案用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上．
3、主观题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必需写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．
Ⅰ卷 （共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，集合，则
A. B. C. D.
2．已知复数，则复数的共轭复数等于
A． B． C． D．
3．函数的一条对称轴方程为
A． B． C． D．
4．已知两个单位向量的夹角为60°，，若，则
A．2 B．3 C． D．4
5. A． B． C． D．
6.高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为
A． B． C． D．
7．开放式的第三项为10，则关于的函数图象的大致外形为
8． 我们知道，在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为的正四周体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为
A ． B． C ． D ．
9．执行如图所示的程序框图，假如输入的那么输出的S的最大值为
A． 0 B．1 C．2 D．3
10．已知a＞0，且a≠1，则函数f(x)＝ax＋(x－1)2－2a的零点个数为
A．1 B．2 C．3 D．与a有关
是
否
11．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，
该几何体的体积为V1，直径为4的球的体积为V2，则V1:V2等于
A．1:2 B．2:1 C．1:1 D．1:4
12.一辆汽车在高速大路上行驶,由于遇到紧急状况而刹车,以速度(的单位:,
的单位:)行驶至停止.在此期间汽车连续行驶的距离(单位;)是
A． B． C． D．
Ⅱ卷 （共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．正三棱柱的全部棱长均为2， ．
14． 已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为， C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为，则k= ．
15. 某次测量发觉一组数据具有较强的相关性，并计算得，其中数据因书写不清，只记得是任意一个值，则该数据对应的残差的确定值不大于１的概率为 ．
（残差=真实值-猜想值）
16． 定义在上的函数，其图象是连续不断的，假如存在非零常数（），使得对任意的，都有，则称为“倍增函数”，为“倍增系数”，
下列命题为真命题的是_ __ （写出全部真命题对应的序号）．
①若函数是倍增系数的倍增函数，则至少有1个零点；
②函数是倍增函数，且倍增系数；
③函数是倍增函数，且倍增系数 ；
④.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
(1)求cos∠CAD的值；
(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
18. （本小题满分12分）
(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－ ，
求数列 的前n项和Tn.
19．（本小题满分12分）某校高三班级有男同学105人，女同学126人，老师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查，设其中某项问题的选择，分别为“同意”、“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中供应了被调查人答卷状况的部分信息．
（1）完成此统计表；
同意
不同意
合计
老师
1
女同学
4
男同学
2
（2）估量高三班级同学“同意”的人数；
（3）从被调查的女同学中选取2人进行访谈，
设“同意”的人数为，求．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，
，.
（1）求二面角的余弦值；
（2）设为棱上的点，满足直线与平面所成角的正弦值为，求的长.
21．（本小题满分12分）
设椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．
22．（本小题满分12分）已知函数为自然对数的底数）．
（１）求曲线在处的切线方程；
（２）若是的一个极值点，且点，满足条件： .
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若点， 推断三点是否可以构成直角三角形？请说明理由.
参考答案
一、选择题答案
BBDADA DADBAC
二、填空题答案
13． 14． 15. 16. ① ③
选择题提示:
8.本题考查微积分的基本应用。由v(t)=7-3t+=0，解得，所以所求的路程为，选C.
11.三视图【答案】A
依题意，原几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥.球的体积，
几何体的体积，，选A.
16．∵函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的倍增函数，∴f（x-2）=-2f（x），
当x=0时，f（-2）+2f（0）=0，若f（0），f（-2）任一个为0，函数f（x）有零点．
若f（0），f（-2）均不为零，则f（0），f（-2）异号，由零点存在定理，在（-2，0）区间存在x0，
f（x0）=0，即y=f（x）至少有1个零点，故①正确；
∵f（x）=2x+1是倍增函数，∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），∴λ= 故②不正确；
∵ ， ∈（0，1），故③正确；
∵f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函数，
∴sin[2ω（x+λ）]=λsin（2ωx），（k∈N*)．
故④不正确．故答案为：①③．
三、解答题
17. 解：(1)在△ADC中，由余弦定理，得
cos∠CAD＝，
故由题设知，cos∠CAD＝＝. …………………………………5分
(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD. 由于cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，
所以sin∠CAD＝＝ ＝，
sin∠BAD＝＝＝.
于是sin α＝sin (∠BAD－∠CAD) ＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD
＝×－× ＝.
在△ABC中，由正弦定理，得＝. 故BC＝＝＝3.
18．解：(1)由已知得，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，所以
2a8＝4×2a7＝2a7＋2，解得d＝a8－a7＝2，
所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n. …………………………………5分
(2)函数f(x)＝2x在点(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)，
其在x轴上的截距为a2－ .
由题意有a2－＝2－，解得a2＝2.
所以d＝a2－a1＝1. 从而an＝n，bn＝2n，
所以数列{}的通项公式为＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋＋，2Tn＝＋＋＋…＋，
因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.
所以，Tn＝.
19．【解】（1）
同意
不同意
合计
老师
1
1
2
女同学
2
4
6
男同学
3
2
5
…………………………………4分
（2）（人）…………………………………7分
（3）
答：
20．解：（Ⅰ）分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
平面的法向量，
由已知得，，，,,
设平面的法向量为，
则，即取
，………………5分
∴二面角的余弦值为；………………6分
（Ⅱ）设，则，………………7分
由（Ⅰ）知平面的法向量,由于直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
得，，，即的长等于．………………12分
21、解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)．
由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2. 又b2＝a2－c2，则＝，
所以椭圆的离心率e＝. 4分
(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2. 故椭圆方程为＋＝1.
设P(x0，y0)．由F1(－c，0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．
由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0. 又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①
又由于点P在椭圆上， 所以＋＝1.②
由①和②可得3x＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c.代入①得y0＝，
即点P的坐标为.
设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，进而圆的半径r＝＝c.
设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx.由l与圆相切，可得＝r，即＝c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±，
所以直线l的斜率为4＋或4－.
22．（Ⅰ）， ，又，所以曲线在处的切线方程为，即． ………………………………………………………2分
（Ⅱ）（ⅰ）对于，定义域为．
当时，，，∴；
当时，；
当时，，，∴
所以存在唯一的极值点，∴，则点为……………………………………………7分
（ⅱ）若，则，与条件不符，
从而得．同理可得．
若，则，与条件不符，从而得．
由上可得点，，两两不重合．
…………………………………………………………11分
从而，点，，可构成直角三角形．……………………………………………………12分
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