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宁德市五校教学联合体2022—2021学年其次学期期中考试
高一数学试卷
(满分：150分钟 时间120分)
命题人：叶惠金 范雪青 陈长邦
参考公式：
棱柱的体积公式 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高
棱锥的体积公式 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高
圆锥的侧面积公式 其中表示圆锥的底面半径，表示圆锥的母线长
球的表面积公式
球的体积公式 其中表示球的半径
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案涂在答题卡的相应位置.）
1. 直线的倾斜角为 （ ）
A． B． C． D．
2. 已知直线平面，直线平面，则 （ ）
A． B．与异面 C． 与相交 D． 与没有公共点
3．已知直线与直线，则它们之间的距离为 （ ）
A． B． C． D．
4．圆与圆的位置关系为 （ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
5． 如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰为2的等腰三角形，那么原平面图形的面积是（ ）
A．2 B．
C． D．
6. 直线关于轴对称的直线方程是 （ ）
A． B． C． D．
7．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列结论中错误的是 ( )
A．若则 B．若则
C．若则 D．若，则
8. 从同一顶点动身的三条棱长分别为、、的长方体的各顶点均在同一个球面上，则该
球的体积为 （ ）
A. B. C. D.
9. 已知圆被直线截得的弦长为，则的值为
（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，、分别是三棱锥的棱、的中点，，，，则异面直线与所成的角为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
11．已知圆锥的表面积为，且它的侧面开放图是一个半圆，则圆锥的底面半径为 （ ） 第10题图
A． B． C ． D．
12．如图，在矩形中，，为线段上一动点，现将沿折起，使平面平面，当从运动到，则在平面上的射影所形成轨迹的长度为( )
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，满分16分.请把答案填在答题纸的相应位置
13. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是 ．
14. 过点的直线的倾斜角等于，则的值是_ ．
15. 一个体积为的正三棱柱（即底面为正三角形，侧棱垂直底面）的三视图如图所示,则这个三棱柱的左视图的面积为 ．
16. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ．
三. 解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （本小题满分12分）在直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，角的终边与单位圆交于点.
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值。
（第17题图）
A
B
C
17. (本题仅限宁德一中同学做) （本小题满分12分）在中，
，，若把绕直线旋转一周，
求所形成的几何体的体积和表面积.
18. （本小题满分12分）已知直线的方程为
（Ⅰ）求过点，且与直线垂直的直线方程；
（Ⅱ）求与直线平行，且到点的距离为的直线的方程.
19.（本小题满分12分）如图所示，正方体的棱长为，是棱的中点．
（Ⅰ）求证：平面
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
20. （本小题满分12分）已知以点为圆心的圆经过点和，且圆心在直线上.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设点在圆上，求的面积的最大值.
21.（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱中，,
且,为的中点.
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）在直线上是否存在一点，使得，若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由。
22. （本小题满分14分）已知圆的方程为,点是坐标原点.直线与圆交于不同的两点.
(Ⅰ)求的取值范围；
(Ⅱ)设点、的横坐标分别是、.
①试用、、来表示、；
②设是线段上的点,且.请用表示，并求的取值范围.
宁德市五校教学联合体2022—2021学年其次学期期中考试
高一数学参考答案
一、选择题
1、B 2、D 3、A 4、C 5、C 6、A 7、C 8、D 9、A 10、C 11、C 12、D
二、填空题
13、 14、 15、 16、
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）由题意得=1 ……………………… 2分
解得
∵是锐角 ∴ ……………………… 4分
∴ ……………………… 8分
（Ⅱ）= ……………………… 12分
17. 解：所形成的几何体如图所示
在中， ……… 4分
……………………… 6分
在中， ……… 8分
………………………… 12分
18. 解：（Ⅰ）∵
∴ …………………………2分
∵
∴
∴ ………………………… 4分
∴直线方程为即 ………………………… 6分
（Ⅱ）
∴直线的方程为 ………………………… 7分
∵点到直线的距离为
∴， ………………………… 9分
解得 ………………………… 11分
∴直线方程为或 ………………………… 12分
19.（Ⅰ）证明:且
………………………… 2分
四边形是平行四边形 ……………… 3分
………………………… 4分
平面，平面
平面 ………………………… 7分
（Ⅱ） …………………………9分
………………………… 12分
20. 解：（Ⅰ）解法一：
设所求圆的方程为 ……………………… 1分
依题意得 ……………………………… 2分
解得 ……………………………… 5分
· 所求圆的方程是 ……………… 6分
解法二：
依题意所求圆的圆心为的垂直平分线和直线的交点，
中点为,直线斜率为1，
垂直平分线方程为即 ……………… 2分
联立解得 即圆心，
半径 …………………………………………… 5分
所求圆方程为 ……………………………… 6分
（Ⅱ）， ……………………………………………… 7分
由已知知直线的方程为 …………………………8分
所以圆心到的距离为 …………………………9分
到距离的最大值为 ………………………11分
所以面积的最大值为 …12分
21. （Ⅰ）证明：连接
且
平面
………………………… 3分
又且
平面 ………………………… 5分
………………………… 6分
（Ⅱ）存在点在的延长线上且时，.…………… 7分
设，，∴，
∴，,
(利用三角形相像证明同样给分)………… 9分
平面 ………………………… 10分
又
又
平面 ………………………… 12分
22.解:(Ⅰ)解法一：直线与圆相交
………………………… 2分
解得
所以的取值范围是.………………………… 4分
解法二: 将代入得 则 ,(*) … 2分
由得 .
所以的取值范围是. ………………………… 4分
(Ⅱ) （1）由于、在直线上,可设点的坐标分别为,,则
，………6分
（2）,
由得,,
所以 ………………………… 8分
由(*)知 ,, ………………………… 10分
所以 ,
由于点在直线上,所以,代入可得,
依题意,点在圆内,则,所以 ,
于是,与的函数关系为 ………………………… 12分
令，则
由及得 ，即
由于在是增函数
所以 即取值的范围是. ………………………… 14分
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