资源描述
E单元 不等式
名目
E单元 不等式 1
E1 不等式的概念与性质 1
E2 确定值不等式的解法 3
E3 一元二次不等式的解法 4
E4 简洁的一元高次不等式的解法 5
E5 简洁的线性规划问题 6
E6 基本不等式 12
E7 不等式的证明方法 18
E8 不等式的综合应用 20
E9 单元综合 23
E1 不等式的概念与性质
【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】3．设,则下列不等式中恒成立的是 ( )
A． B． C． D．
【学问点】不等式的性质；函数的性质. E1
【答案】【解析】A解析：由于：，而a>1，所以故选A.
【思路点拨】由函数的性质得:当时，，由此得选项A 正确.
【数学理卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）】9.若直线与圆交于两点,且关于直线对称,动点P在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【学问点】简洁线性规划的应用不等式的解法及应用直线与圆E1 E4 H4
【答案】【解析】D解析：由题意，得直线垂直于直线，，即直线为，又∵圆心在直线上，
因此，题中不等式组为：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，
设为区域内的动点，可得表示直线的斜率
运动点P，可得当P与原点重合时，为斜率在正数范围内的最小值；
当重合时，为斜率在负数范围内的最大值得的取值范围是，故选择D.
【思路点拨】依据已知条件结合圆的性质求出的值，再依据条件画出如图可行域．表示连线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系求斜率的最值，即可得到ω的取值范围．
【数学文卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考（202212）】4. 设是实数，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【学问点】充分、必要条件不等式性质A2 E1
【答案】【解析】A解析：由于，所以若，明显，则充分性成立，当时明显不等式成立，但不成立，所以必要性不成立，则选A.
【思路点拨】推断充分必要条件，应先分清命题的条件与结论，若从条件能推出结论，则充分性满足，若从结论能推出条件，则必要性满足.
E2 确定值不等式的解法
【数学文卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）】19.(本小题满分12分)设函数
（1）求函数的最小值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【学问点】含确定值不等式的解法函数的图像E2
【答案】【解析】(1)；(2).
解析：（Ⅰ）由题意得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以时，取得最小值，此时．……………………6分
（注：画出函数的图像，得到的最小值也可以．）
（Ⅱ）由的图像恒过点及函数的图像可知．…………………12分
【思路点拨】利用零点分段法求得函数的解析式，依据函数的单调性求得最小值，令，可得图像恒过点，要使得恒成立，即函数的图像恒在的下方，由图像可求得.
E3 一元二次不等式的解法
【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】13．（原创）若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是
【学问点】基本不等式；不等式的解法. E3 E6
【答案】【解析】解析：∵正实数满足，
即x+2y=4xy-4,∴不等式恒成立，
即恒成立，变形得恒成立，即恒成立.
∵x>0,y>0，∴，∴4xy=x+2y+4
即或(舍去)，可得，
要使恒成立，只需恒成立，
化简得.
【思路点拨】不等式恒成立，即恒成立，
由基本不等式结合不等式的解法得，故只需恒成立，解关于a 的不等式可得结论.
E4 简洁的一元高次不等式的解法
【数学理卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）】9.若直线与圆交于两点,且关于直线对称,动点P在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【学问点】简洁线性规划的应用不等式的解法及应用直线与圆E1 E4 H4
【答案】【解析】D解析：由题意，得直线垂直于直线，，即直线为，又∵圆心在直线上，
因此，题中不等式组为：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，
设为区域内的动点，可得表示直线的斜率
运动点P，可得当P与原点重合时，为斜率在正数范围内的最小值；
当重合时，为斜率在负数范围内的最大值得的取值范围是，故选择D.
【思路点拨】依据已知条件结合圆的性质求出的值，再依据条件画出如图可行域．表示连线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系求斜率的最值，即可得到ω的取值范围．
E5 简洁的线性规划问题
【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】9、（原创）在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是 （ ）
A.［6，15］ B.［7，15］ C.［6，8］ D.［7，8］
【学问点】线性规划问题. E5
【答案】【解析】D解析：画出可行域如图四边形OABC内部(包括边界)，易得点B是最优解，而时，当B在线段BD 上移动，又B(1，2),D(0，4),代入得
目标函数的最大值的变化范围是［7，8］，故选D.
【思路点拨】画出可行域，找出访目标函数取得最大值的最优解的点的集合.
【数学理卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试（202211）】8．若满足条件，当且仅当时，取最小值,则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【学问点】简洁线性规划E5
【答案】【解析】C解析：条件对应的平面区域如图：
由于目标函数 （其中），仅在处取得最大值，令得，
所以直线的极限位置应如图所示，
故其斜率需满足．故答案为：.所以选C.
【思路点拨】先画出可行域，依据题中条件目标函数 （其中），在处取得最大值得到目标函数所在位置，求出其斜率满足的条件即可求出a的取值范围
【数学理卷·2021届江西省五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）高三上学期其次次联考（202212）word版】14．已知点满足不等式组，其中，则的最小值为__________．
【学问点】简洁的线性规划.E5
【答案】【解析】-7解析：由题意画出不等式组表示的平面区域如下图：
易知当直线过B（1,3）时，有最小值，最小值为z=-1-6=-7,故答案为-7.
【思路点拨】先画出不等式组表示的平面区域，再结合图像求出最小值即可。
【数学理卷·2021届云南省部分名校高三12月统一考试（202212）】7．已知实数满足：,，则的取值范围是（ ）
A．B． C．D．
【学问点】简洁的线性规划问题E5
【答案】C
【解析】由平面区域可知在（2，）最小值为0，在（2，-1）取最大值。
【思路点拨】依据平面区域的端点得到结果。
【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】9.（原创）设实数和满足约束条件，且取得最小值的最优解仅为点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【学问点】线性规划的应用. E5
【答案】【解析】C解析：A为直线x-2y+3=0与x+3y-7=0的交点，设直线x+3y-7=0与2x+y-9=0的交点B,直线2x+y-9=0与 x-2y+3=0的交点C，则当a 0时，取得最小值的最优解仅为点B；当a>0时，要使取得最小值的最优解仅为点，需使-a<,解得a>.故选C.
【思路点拨】画出可行域，争辩a值，得目标函数取得最小值的条件.
【数学文卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试（202211）】14．若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是_________．
【学问点】简洁线性规划的应用E5
【答案】【解析】解析：易知直线过点作出可行域，由图可知，当直线经过线段的中点时，平分可行域△ABC的面积，由解得点
从而，于是.
【思路点拨】如图作出不等式组对应的区域，如图的阴影部分，直线过定点，当其过对边中点时，直线就将阴影部分一分为二，故问题转化为求中点的坐标，于是先求出两点的坐标，再由中点坐标公式求的坐标，再由斜率的两点式求斜率即可．
【数学文卷·2021届湖北省八校高三第一次联考（202212）word版】13．设x, y满足约束条件，则目标函数的最大值为_____．
【学问点】简洁的线性规划问题. E5
【答案】【解析】8解析：由图像得知，z=x+2y过点（2,3）时达到最大，最大值为8.
【思路点拨】画出可行域，平移目标函数为零的直线x+2y=0，得使目标函数取得最大值的最优解为（2,3），代回目标函数即可.
【数学文卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考（202212）】7. 设实数满足则的取值范围是（）
A. B. C.D.
【学问点】简洁的线性规划E5
【答案】【解析】B解析：满足不等式组的可行域如下图所示，由题意可知A（2，2），B（-4，8）．O（0，0），由直线x+y=4与y轴交点坐标为(0,4),当x≥0时，z=y－4x，明显经过点(0,4)时最大为4,经过点A时最小为－6，当x＜0时，z=y+4x，明显动直线经过点(0,4)时目标函数得最大值4，当动直线经过点B时目标函数得最小值为－8,所以的取值范围是，则选B.
.
【思路点拨】一般遇到由不等式组表示的区域求目标函数的最值常用数形结合的方法解答，本题应留意对确定值争辩求最值.
【数学文卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）】9.在约束条件下，若目标函数的最大值不超过4，则实数的取值范围（）
A.B.C.D.
【学问点】简洁的线性规划E5
【答案】【解析】D解析：有线性约束条件对应的可行域（如图阴影）：
变形目标函数可得，解方程组可得平移直线可知当直线经过点A目标函数取最大值，所以，解得，故选择D.
【思路点拨】依据已知作出可行域，平移直线可知当直线经过点A时，目标函数取最大值，代入解不等式即可求得的范围.
E6 基本不等式
【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】13．（原创）若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是
【学问点】基本不等式；不等式的解法. E3 E6
【答案】【解析】解析：∵正实数满足，
即x+2y=4xy-4,∴不等式恒成立，
即恒成立，变形得恒成立，即恒成立.
∵x>0,y>0，∴，∴4xy=x+2y+4
即或(舍去)，可得，
要使恒成立，只需恒成立，
化简得.
【思路点拨】不等式恒成立，即恒成立，
由基本不等式结合不等式的解法得，故只需恒成立，解关于a 的不等式可得结论.
【数学理卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试（202211）】13．若正数满足，则的最小值为．
【学问点】基本不等式E6
【答案】【解析】解析：∵正数满足．
，
当且仅当时取等号．则的最小值为3.
【思路点拨】利用“乘1法”基本不等式的性质即可得出.
【数学理卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考（202212）】17．若实数满足，则的最大值为____▲____．
【学问点】基本不等式E6
【答案】【解析】3解析：
【思路点拨】可结合基本不等式对所求式子用基本不等式凑出已知条件中的定值进行解答.
【数学理卷·2021届江西省五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）高三上学期其次次联考（202212）word版】22．（本小题满分10分）设函数.
（1）求函数的最小值；
（2）若,使得不等式成立，求实数的取值范围.
【学问点】基本不等式；不等式恒成立问题。E6
【答案】【解析】（1）5; （2）或
解析：（1），
，
当且仅当，即时，的最小值为5. ………………………………………….…5分
(2)依题意，，即，于是………………………….6分
或或
解得或.………………………………………………………………………………………………………..10分
【思路点拨】（1）把原不等式变形为再结合基本不等式即可；(2)去掉确定值变成分段函数，得到不等式组即可。
【数学理卷·2021届江西省五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）高三上学期其次次联考（202212）word版】17.（本小题满分12分）已知分别是的三个内角的对边，. (1)求角的大小；
(2)若的面积，求周长的最小值.
【学问点】正弦定理；余弦定理；基本不等式求最值. C8 E6
【答案】【解析】（1）；（2）解析：（1）中，∵，由正弦定理，得：，………………………….2分
即，故………………………………4分
…………………………………………….6分
（2），且，…………………8分
由余弦定理，得
，又，………………………………………10分
当且仅当时，的最小值为，的最小值为，
所以周长的最小值为.………………………………….12分
【思路点拨】（1）将正弦定理代入已知等式，用两角和与差的三角函数及诱导公式得结果；
(2)由（1）的结论和的面积得，，在由余弦定理得：
，又，这两个不等式中等号成立的条件都是b=c=2,所以得周长的最小值为.
【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】10.已知正数满足则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【学问点】基本不等式. E6
【答案】【解析】D解析：∵正数a,b满足a+b=ab,∴ab
,由
得，，
，故选D.
【思路点拨】由正数a,b满足a+b=ab得，由a+b+c=abc变形成即可得出结论.
【数学文卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】20、(本小题满分13分)
提高过江大桥的车辆通行力气可改善整个城市的交通状况．在一般状况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．争辩表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．
(1) 当时，求函数的表达式；
(2)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：
辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）
【学问点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．B10 E6
【答案】【解析】(1)= (2)即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时
解析：(1) 由题意：当时，；当时，设，明显在是减函数，由已知得，解得
故函数的表达式为=……………………………6分
(2)依题意并由（Ⅰ）可得…………………8分
当时，为增函数，故当时，其最大值为；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立．
所以，当时，在区间上取得最大值．………………….12分
综上，当时，在区间上取得最大值，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，
最大值约为3333辆/小时………………………………………………………………..．13分
【思路点拨】(1) 依据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，依据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；(2) 先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．
【数学文卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试（202211）】12．若，且，则 的最大值为．
【学问点】基本不等式E6
【答案】【解析】解析：.
【思路点拨】由基本不等式，以及即可求解.
【数学文卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）】11.若均为单位向量，，，则的最大值是（）
A． B. C．D.
【学问点】平面对量的数量积基本不等式F3 E6
【答案】【解析】A解析：由于均为单位向量，所以，整理可得，即，所以的最大值是2，故选择A.
【思路点拨】将向量进行平方，依据均为单位向量，可得，在依据基本不等式求得，即可得的最大值是2.
E7 不等式的证明方法
【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】22. （原创）（本小题满分12分）
已知数列满足：
（1）求的通项公式； （2）求证：.
【学问点】已知递推公式求通项；放缩法证明不等式. D1 E7
【答案】【解析】（1）；（2）证明：见解析.
解析：（1），即，
，则，，
（2）当时，，，=+，当时，明显成立。
【思路点拨】(1)首先查找数列相邻两项的关系，得，两边取自然对数，得数列是等比数列，从而求得；（2）接受放缩法证明不等式，当时，由二项式定理得：，
，代入得时不等式成立，再检验时不等式也成马上可.
【典例剖析】本题第一小题，已知递推公式求通项，是典型的考题.这种题的常用解法是：构造新数列，但查找新数列相邻两项的关系较困难.本考题得到后，接受两边取对数法，构造出一个新的等比数列，从而求得数列的通项公式.
【数学理卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考（202212）】22．（本题满分14分）给定函数和常数，若恒成立，则称为函数的一个“好数对”；若恒成立，则称为函数的一个“类好数对”．已知函数的定义域为．
（Ⅰ）若是函数的一个“好数对”，且，求；
（Ⅱ）若是函数的一个“好数对”，且当时，，求证：
函数在区间上无零点；
（Ⅲ）若是函数的一个“类好数对”，，且函数单调递增，比较与的大小，并说明理由．
【学问点】函数的单调性函数与方程不等式的证明B9 B3 E7
【答案】【解析】（Ⅰ）7；（Ⅱ）略；（Ⅲ）
【解析】（Ⅰ）由题意，，且，则
则数列成等差数列，公差为，首项，于是
（Ⅱ）当时，，则由题意得
由得，，解得或 均不符合条件
即当时，函数在区间上无零点；
留意到
故函数在区间上无零点；
（Ⅲ）由题意得，则，即，得，即，而对任意x＞1,必存在，使得,由f(x)单调递增得，则，所以.
【思路点拨】对于新定义函数，理解其含义是解题的关键，再多步问答问题中，解下一问时留意上一问的结论或过程的应用.
E8 不等式的综合应用
【数学理卷·2021届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考（202212）word版】14．存在x0使得不等式x22成立，则实数t的取值范围是。
【学问点】不等式的综合应用E8
【答案】-＜t＜2
【解析】不等式x2＜2-|x-t|，即|x-t|＜2-x2，
令y1=|x-t|，y1的图象是关于x=t对称的一个V字形图形，其象位于第一、二象限；
y2=2-x2，是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；
要存在x＜0，使不等式|x-t|＜2-x2成立，则y1的图象应当在其次象限和y2的图象有交点，两种临界状况，①当t≤0时，y1的右半部分和y2在其次象限相切：y1的右半部分即y1=x-t，
联列方程y=x-t，y=2-x2，只有一个解；
即x-t=2-x2，即x2+x-t-2=0，△=1+4t+8=0，得：t=-；此时y1恒大于等于y2，所以t=-
取不到；所以-＜t≤0；②当t＞0时，要使y1和y2在其次象限有交点，
即y1的左半部分和y2的交点的位于其次象限；无需联列方程，只要y1与y轴的交点小于2即可；
y1=t-x与y轴的交点为（0，t），所以t＜2，又由于t＞0，所以0＜t＜2；
综上，实数t的取值范围是：-＜t＜2；
【思路点拨】本题利用纯代数争辩是很繁琐的，要用数形结合．原不等式x2＜2-|x-t|，即|x-t|＜2-x2，分别画出函数y1=|x-t|，y2=2-x2，这个很明确，是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；要存在x＜0使不等式|x-t|＜2-x2成立，则y1的图象应当在其次象限（x＜0）和y2的图象有交点，再分两种临界讲座状况，当t≤0时，y1的右半部分和y2在其次象限相切；当t＞0时，要使y1和y2在其次象限有交点，最终综上得出实数t的取值范围．
【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】20. （本题满分12分）已知函数，，．
⑴求函数的极值；⑵若在上为单调函数，求的取值范围.
【学问点】导数的应用；不等式恒成立问题. B12 E8
【答案】【解析】（1），无极大值；（2）.
解析：（1）
令得：；令得：
又由于的定义域为
故在上单调递减，在上单调递增
故，无极大值。
（2）∵
在上为单调函数，
或者在恒成立
等价于即
而．
等价于即在恒成立，
而．
综上，的取值范围是．
【思路点拨】（1）先求定义域上导函数为零的根，再推断此根两侧导函数值的符号，由此得函数的极值状况；（2）h(x)=在上为单调函数,则在上或
恒成立，在接受分别常数法求m范围.
【数学文卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试（202211）】9．若不等式对于任意正整数都成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
【学问点】不等式的综合E8
【答案】【解析】A解析：当n是奇数时，由题设对于任意正整数n恒成立，得对于任意正整数n有恒成立，解得-，即.
当n是偶数时，对于任意正整数n恒成立，故即.
所以实数a的取值范围是.故选A.
【思路点拨】依据n是奇数与偶数分为两类，将a分别出来，分别解出两种状况下的参数的取值范围，取其交集即得实数a的取值范围
【数学文卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）】8. 已知函数的图象过定点P,且点P在直线上，则的最小值是 ( )
A.12 B.16 C.25 D.24
【学问点】基本不等式 E8
【答案】【解析】C解析：函数恒过的定点为，代入直线方程为：，所以，
当且仅当即时，等号成立，故选择C.
【思路点拨】依据指数函数恒过，可得函数恒过的定点为，代入直线方程为：，所求为，在利用基本不等式求得.
E9 单元综合
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