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课时提升作业(四十九)
一、选择题
1.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是( )
(A) (B)3π (C)4π (D)
2.(2021·玉溪模拟)四周体A-BCD中,AB=CD=4,BC=AC=AD=BD=5,则四周体外接球的表面积为( )
(A)33π (B)43π (C)36π (D)18π
3.(2021·桂林模拟)在平行四边形ABCD中,·=0,且2+-4=0,沿BD折成直二面角A -BD -C,则三棱锥A -BCD的外接球的表面积是( )
(A)16π (B)8π (C)4π (D)2π
4.设球的体积为V1,它的内接正方体的体积为V2,下列说法中最合适的是( )
(A)V1比V2大约多一半
(B)V1比V2大约多两倍半
(C)V1比V2大约多一倍
(D)V1比V2大约多一倍半
5.正六棱柱的底面边长为4,高为6,则它的外接球的表面积为( )
(A)20π (B)25π (C)100π (D)200π
6.在北纬60°圈上,有甲、乙两地,它们的纬线圈上的弧长等于R,R为地球半径,则这两地间的球面距离是( )
(A)πR (B)πR
(C)πR (D)πR
7.如图,O是半径为1的球的球心,点A,B,C在球面上,OA,OB,OC两两垂直,E,F分别是大圆弧AB,AC的中点,则点E,F在该球面上的球面距离是( )
(A) (B)
(C) (D)
8.已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4,圆M的面积为4π,则圆N的面积为( )
(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π
9.(2022·日照模拟)一个正方体的八个顶点都在同一个球面上,已知这个球的表面积是12π,那么这个正方体的体积是( )
(A) (B)4π (C)8 (D)24
10.(力气挑战题)高为的四棱锥S - ABCD的底面是边长为1的正方形,点S,A,B,C,D均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题
11.已知正三角形内切圆的半径是高的,把这个结论推广到空间正四周体,类似的结论是 .
12.如图,已知球O的面上四点A,B,C,D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=,则球O的体积等于 .
13.(2021·云南师大模拟)正三棱锥A-BCD内接于球O,且底面边长为,侧棱长为2,则球O的表面积为 .
14.已知A,B,C,D在同一个球面上,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,若AB=6,AC=2,AD=8,则B,C两点间的球面距离是 .
三、解答题
15.已知正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则这样的三棱柱内能否放进一个体积为的小球?
16.(力气挑战题)如图,半径为r的圆环在一个正方形(边长>2r)中任意滚动,则该圆环滚不到的平面区域的面积(即正方形的四个角区域)=边长为2r的正方形面积-半径为r的圆的面积=
(4-π)r2.
把上述命题拓广到空间,可得怎样的结论?请给出证明.
答案解析
1.【解析】选D.设球的半径为R,△ABC的外接圆半径r=,则S球=4πR2>4πr2
=π>5π.
2.【解析】选A.分别取AB,CD的中点E,F,连接相应的线段,由条件可知,球心G在EF上,可以证明G为EF中点,DE==,DF=2,EF==,所以GF==,球半径DG===,所以外接球的表面积为4πDG2=4π×=33π,选A.
3.【解析】选C.折成直二面角后,AC为外接球直径,(2R)2=AC2=AB2+BD2+CD2=
2AB2+BD2=4,R2=1,S=4πR2=4π.
4.【思路点拨】先找出球的半径与其内接正方体的棱长之间的关系,表示出V1与V2后再比较大小.
【解析】选D.设球的半径为r,正方体的棱长为a,则2r=a,又V1=πr3,V2=a3,∴V1-V2=π()3-a3=(π-1)a3≈1.7a3,因此V1比V2大约多一倍半.
5.【解析】选C.由题意知球的半径R==5,
∴外接球的表面积为4πR2=4π·52=100π.
6.【解析】选B.如图,点A为60°纬线上的一点,设球心为O,纬线圆心为O1,过A作AE⊥赤道平面,垂足为E,则
∠AOE=60°,
在Rt△AO1O中,
O1A=OAcos 60°=R,
∵甲、乙两地纬线圈上的弧长为R,
∴甲、乙两地在纬线圈上的相应的圆心角θ满足θ·R=R,
∴θ=π,即甲、乙两地在纬线圈的直径端点上,
∴甲、乙两地在相应的大圆上的圆心角为,
∴过甲、乙两地大圆的劣弧长为πR.
7.【解析】选B.取OA的中点M,并连接EM,FM,则EM=FM=,且EM⊥FM,所以EF=1,故三角形OEF为等边三角形,∠EOF=,所以点E,F在该球面上的球面距离是.
8.【解析】选D.如图所示,由圆M的面积为4π,
知球心O到圆M的距离OM=2,在Rt△OMN中,∠OMN=30°,∴MN=OM·cos30°=3,故圆N的半径为r==,∴圆N的面积为S=πr2=13π.
9.【解析】选C.设球的半径为R,则4πR2=12π,从而R=,所以正方体的体对角线为2,故正方体的棱长为2,体积为23=8.
10.【思路点拨】依据题意可知球心与四棱锥的顶点在底面同侧,然后利用三角形相像进行计算.
【解析】选A.设球心为O,底面四边形的中心为E,顶点在底面上的射影为F,则易知OE∥SF,且SF=,OE=.过O作OH⊥SE,则SH=HF=,
又OS=1,所以直角三角形SHO中,OH=.
所以EF=OH=,在直角三角形SFE中,SE==.
11.【解析】从方法的类比入手.原问题的解法为等面积法,即S=ah=3×ar⇒r=h,类比问题的解法应为等体积法,V=Sh=4×Sr⇒r=h,即正四周体的内切球的半径是高的.
答案:正四周体的内切球的半径是高的
12.【解析】由题意,△DAC,△DBC都是直角三角形,且有公共的斜边,所以DC边的中点到B和A的距离都等于DC的一半,所以DC边的中点是球心并且半径为线段DC长的一半.由于DC==3,
所以球的体积V=π()3=π.
答案:π
13.【解析】如图,设三棱锥A-BCD的外接球球心为O,
半径为r,BC=CD=BD=,AB=AC=AD=2,
AM⊥平面BCD,M为正△BCD的中心,则DM=1,AM=,OA=OD=r,所以(-r)2+1=r2,
解得r=,所以S=4πr2=π.
答案:π
14.【思路点拨】查找过B,C两点的截面或确定四点A,B,C,D与球的特殊关系.
【解析】如图①,易得BC==4,BD==2,∴CD=2,则此球内接长方体的三条棱长为AB,BC,CD(CD的对边与CD等长),从而球的直径为2R==8,R=4,则BC与球心构成的大圆如图②,由于△OBC为正三角形,则B,C两点间的球面距离是.
答案:
15.【解析】设球半径为R,则=,∴R=.而正三棱柱底面内切圆半径r=,比较R与r的大小,R6==×,r6===×,
∴R6>r6,∴R>r,所以不能放进一个体积为的小球.
【方法技巧】有关球的组合体的解题思路
解决这类问题的关键是精确分析出组合体的结构特征,发挥自己的空间想象力气,把立体图和截面图对比分析,找出几何体中的数量关系.与球有关的截面问题为了增加图形的直观性,解题时经常画一个截面圆起衬托作用.
16.【解析】把上述命题拓广到空间,可得命题:一棱长为a的正方体封闭盒子中放入一半径为r(2r<a)的小球.若将小球任意滚动,则小球达不到的空间的体积是:[-16r+3a(4-π)]r2.
证明:由于将小球任意滚动时,小球达不到的空间为:正方体8个角处的空间和正方体12棱处的空间,其中8个角处的空间体积=棱长为2r的正方体体积-半径为r的小球体积=8r3-r3;12条棱处的空间体积=3×[底边长为2r,高为(a-2r)的正四棱柱的体积-底半径为r,高为(a-2r)的圆柱的体积]=3×[4r2·(a-2r)-
πr2(a-2r)]=3r2(a-2r)(4-π),所以正方体中小球达不到的空间的体积
=[-16r+3a(4-π)]r2.
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