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课时提升作业(四十四)
一、选择题
1.若直线a⊥b,且a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是( )
(A)b⊂α
(B)b∥α
(C)b⊂α或b∥α
(D)b与α相交或b⊂α或b∥α
2.(2021·重庆模拟)已知m,n表示直线,α,β表示平面,下列命题正确的
是( )
(A)若α∥β,m∥β,则m∥α
(B)若α⊥β,m⊥β,则m∥α
(C)若m∥n,n∥α,则m∥α
(D)若α∩β=n,m⊄α,m∥n,则m∥α
3.如图,在四周体ABCD中,截面PQMN是正方形,且PQ∥AC,则下面命题中错误的是( )
(A)AC⊥BD
(B)AC∥截面PQMN
(C)AC=BD
(D)异面直线PM与BD所成的角为45°
4.已知直线a和平面α,β,α∥β,a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的全部直线中( )
(A)不愿定存在与a平行的直线
(B)只有两条与a平行的直线
(C)存在很多条与a平行的直线
(D)存在唯一一条与a平行的直线
5.下列命题中不正确的是( )
(A)若a⊂α,b⊂α,l∩a=A,l∩b=B,则l⊂α
(B)若a∥c,b∥c,则a∥b
(C)若a⊄α,b⊂α,a∥b,则a∥α
(D)若始终线上有两点在已知平面外,则直线上全部点在平面外
6.如图,等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知三角形A1DE是三角形ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A,F不重合),则下列命题中正确的是( )
①动点A1在平面ABC上的射影在线段AF上;
②BC∥平面A1DE;
③三棱锥A1-FED的体积有最大值.
(A)① (B)①② (C)②③ (D)①②③
二、填空题
7.已知平面α,β和直线m,给出条件:①m∥α;②m⊂α;③α∥β,当满足
条件时,有m∥β.
8.(2021·保定模拟)设互不相同的直线l,m,n和平面α,β,γ,给出下列三个命题.
①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β;
②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.
其中真命题的个数为 .
9.(力气挑战题)如图所示ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ= .
三、解答题
10.(2021·大连模拟)如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为边长为2的正方形,PA=AD,PA⊥AD,且E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.
(1)求证:BC∥平面EFG.
(2)求三棱锥E-AFG的体积.
11.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=2AB,AB∥DC,设E是DC上一点,试确定E点的位置,使D1E∥平面A1BD.
12.(力气挑战题)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AB=∠A1AC,AB=AC,侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°,E,F分别是棱C1B1,AA1的中点.
(1)求AA1与底面ABC所成的角.
(2)证明:A1E∥平面B1FC.
答案解析
1.【解析】选D.直线b与α相交或b⊂α或b∥α都可以.
2.【解析】选D.若α∥β,m∥β,则m∥α或m⊂α,故选项A错误;若α⊥β,m⊥β,则m∥α或m⊂α,故选项B错误;若m∥n,n∥α,则m∥α或m⊂α,故选项C错误;若α∩β=n,则n⊂α,又∵m∥n,m⊄α,∴m∥α,故选项D正确.
3.【思路点拨】由线面平行的判定定理和性质定理及异面直线所成的角的概念依次推断即可.
【解析】选C.由题意知PQ∥AC,QM∥BD,PQ⊥QM,所以AC⊥BD,故A正确;由PQ∥AC,可得AC∥截面PQMN,故B正确;由PN∥BD可知,异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角,又四边形PQMN为正方形,所以PM与PN所成的角为
45°,故D正确;而AC=BD没有论证依据.
4.【解析】选D.设直线a和点B所确定的平面为γ,则α∩γ=a,记β∩γ=b,∵α∥β,∴a∥b,且在平面γ内过B点与直线a平行的直线是唯一的,
故存在唯一一条直线b与a平行.
5.【解析】选D.∵l∩a=A,l∩b=B,
∴A∈l,A∈a,B∈l,B∈b.
∵a⊂α,b⊂α,∴A∈α,B∈α,∴l⊂α,
故A正确;由平行公理知B正确;由线面平行的判定定理知C正确;若始终线上有两点在已知平面外,直线可以和平面相交,故D错误.
6.【解析】选D.①中由已知可得平面A1FG⊥平面ABC,所以点A1在平面ABC上的射影在线段AF上;
②BC∥DE,BC平面A1DE,
所以BC∥平面A1DE;
③当平面A1DE⊥平面ABC时,三棱锥A1-FED的体积达到最大.
7.【解析】由面面平行的定义知,两个平面平行,即两个平面没有公共点,所以一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行,故应填②③.
答案:②③
8.【解析】①中,α与β可能相交,故①错;
②中l与m可能异面,故②错;
由线面平行的性质定理可知:l∥m,l∥n.
所以m∥n,故③正确.
答案:1
9.【解析】如图所示,连接AC,易知MN∥平面ABCD,
∴MN∥PQ.
又MN∥AC,∴PQ∥AC,
∵AP=,
∴===,
∴PQ=AC=a.
答案:a
10.【思路点拨】(1)在平面PAD中直线EF∥AD,再依据BC∥AD知BC∥EF,即可证明BC∥平面EFG.(2)将三棱锥E-AFG的体积转化为三棱锥G-AEF的体积求解即可.
【解析】(1)∵E,F分别是线段PA,PD的中点,
∴EF∥AD.
又∵四边形ABCD为正方形,
∴BC∥AD,∴BC∥EF.
又∵BC⊄平面EFG,EF⊂平面EFG,
∴BC∥平面EFG.
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD,CD⊥AD,
∴CD⊥平面PAD,即GD⊥平面AEF.
又∵EF∥AD,PA⊥AD,∴EF⊥AE.
又∵AE=EF=AD=1,GD=CD=1,
∴VE-AFG=VG-AEF=×S△AEF×GD=××1×1×1=.
【变式备选】(2021·聊城模拟)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,D为C1B的中点,P为AB边上的动点.
(1)当点P为AB的中点时,证明DP∥平面ACC1A1.
(2)若AP=3PB,求三棱锥B-CDP的体积.
【思路点拨】(1)利用线线平行,得到线面平行.
(2)依据已知条件,证明线面垂直得到锥体的高,进而利用锥体体积公式得到结论.
【解析】(1)连结DP,AC1,
∵P为AB中点,D为
C1B中点,
∴DP∥AC1,
又∵AC1⊂平面ACC1A1,DP⊄平面ACC1A1,
∴DP∥平面ACC1A1.
(2)由AP=3PB,得
PB=AB=.
过点D作DE⊥BC于E,则DE CC1,
又CC1⊥平面ABC,
∴DE⊥平面BCP,
又CC1=3,∴DE=.
则S△BCP=·2·
sin60°=,
∴VB-CDP=VD-BCP=··=.
11.【解析】方法一:当E是DC的中点时,D1E∥平面A1BD.
连接BE,
由于DE∥AB,DE=AB,
所以四边形ABED为平行四边形,
所以BE∥AD,BE=AD,
所以A1D1∥BE,A1D1=BE,
故四边形A1D1EB为平行四边形,
所以D1E∥A1B.
又A1B⊂平面A1BD,D1E平面A1BD,
所以D1E∥平面A1BD.
方法二:过D1作A1D的平行线交AD的延长线于H,过H作BD的平行线交DC于E,则D1E∥平面A1BD.
证明:由于D1H∥A1D,
所以D1H∥平面A1BD.
同理,HE∥平面A1BD,又D1H∩EH=H,
所以平面A1BD∥平面D1HE.
又D1E⊂平面D1HE,
所以D1E∥平面A1BD.
【方法技巧】
1.推断或证明线面平行的一般思路
常用线面平行的判定定理及面面平行的性质定理判定线面平行,在运用定理时,要留意添加挂念线(面)是解决线面问题的关键.
2.证明位置关系的思路
【提示】①在证明中所选用的定理(判定定理和性质定理)必需恰当;②在证题中要留意线线位置关系、线面位置关系、面面位置关系这三者之间的转化,实现转化的工具是判定定理和性质定理.
12.【解析】(1)过A1作A1H⊥平面ABC,垂足为H.连接AH,并延长交BC于G,连接EG,于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角.
由于∠A1AB=∠A1AC,所以AG为∠BAC的平分线.
又由于AB=AC,所以AG⊥BC,BG=CG,
因此,由三垂线定理得A1A⊥BC.
由于A1A∥B1B,且EG∥B1B,所以EG⊥BC,
于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角,即∠AGE=120°.
由四边形A1AGE为平行四边形,得∠A1AG=60°,
所以,A1A与底面ABC所成的角度为60°.
(2)设EG与B1C的交点为P,则点P为EG的中点,连接PF.
在平行四边形AGEA1中,由于F是A1A的中点,
所以A1E∥FP.
而FP⊂平面B1FC,A1E⊄平面B1FC,
所以A1E∥平面B1FC.
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