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课时提升作业(四十三)
一、选择题
1.给出下列命题,
①没有公共点的两条直线平行;
②相互垂直的两条直线是相交直线;
③既不平行也不相交的直线是异面直线;
④不同在任一平面内的两条直线是异面直线.
其中正确命题的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是( )
(A)直线AC
(B)直线AB
(C)直线CD
(D)直线BC
3.(2021·桂林模拟)对两条不相交的直线a与b,必存在平面α,使得( )
(A)a⊂α,b⊂α (B)a⊂α,b∥α
(C)a⊥α,b⊥α (D)a⊂α,b⊥α
4.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于( )
(A)a2 (B)2a2 (C)a2 (D)a2
5.(2021·西宁模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是( )
(A)AC⊥BE
(B)EF∥面ABCD
(C)三棱锥A-BEF的体积为定值
(D)异面直线AE,BF所成的角为定值
6.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可作( )
(A)1条 (B)2条
(C)3条 (D)4条
7.(2021·重庆模拟)直线a'⊂平面α,直线b'⊂平面α,且a'∥b',其中a',b'分别是直线a和直线b在平面α上的正投影,则直线a与直线b的位置关系
是( )
(A)平行或异面
(B)相交或异面
(C)相交、平行或异面
(D)以上答案都不正确
8.(2021·吉林模拟)一个正方体的开放图如图所示,A,B,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中
( )
(A)AB∥CD
(B)AB与CD相交
(C)AB⊥CD
(D)AB与CD所成的角为60°
9.(力气挑战题)如图是正方体或四周体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( )
10.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )
(A)l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3
(B)l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3
(C)l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面
(D)l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面
二、填空题
11.两个不重合的平面可以把空间分成 个部分.
12.已知a∥c,b与c不平行,那么a与b的位置关系为 .
13.(2021·西安模拟)在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,PA=AC=BC,则直线PC与AB所成角的大小是 .
14.已知a,b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a,b在α内的射影可能是:
①两条平行直线;②两条相互垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.其中正确结论的序号是 (写出全部正确结论的序号).
三、解答题
15.(力气挑战题)在长方体ABCD-A1B1C1D1的面A1C1上有一点P,如图所示,其中P点不在对角线B1D1上.
(1)过P点在空间作始终线l,使l∥直线BD,应当如何作图?并说明理由.
(2)过P点在平面A1C1内作始终线m,使m与直线BD成α角,其中α∈(0,],这样的直线有几条,应当如何作图?
答案解析
1.【解析】选B.没有公共点的两条直线平行或异面,故①错误;相互垂直的两条直线相交或异面,故②错误;既不平行也不相交的直线是异面直线;不同在任一平面内的两条直线是异面直线,命题③④正确.
2.【解析】选C.∵D∈l,l⊂β,∴D∈β.
又∵D∈AB,AB⊂平面ABC,
∴D∈平面ABC,
即D在平面ABC与平面β的交线上.
又∵C∈平面ABC,C∈β,
∴C在平面ABC与平面β的交线上.
从而有平面ABC∩平面β=CD.
3.【解析】选B.不相交的直线a,b的位置关系有两种,平行或异面,当a,b异面时,不存在平面α满足A,C.又只当a⊥b时D才可能成立,故选B.
4.【解析】选B.依据斜二测画法画平面图形的直观图的规章,可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S'之间的关系是S'=S,本题中直观图的面积为a2,所以原平面四边形的面积为=2a2.故选B.
【方法技巧】用斜二测画法画平面图形的直观图的方法
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,首先应建立坐标系,原图中建立直角坐标系,直观图建立坐标系对应的轴相交成45°(或135°)角;其次原图中与坐标轴平行或重合的直线在直观图中也画成与坐标轴平行或重合,且与x轴平行或重合的线段长度保持不变,与y轴平行或重合的线段长度变为原来的一半.因此在对比原图和直观图时,主要看在图中与坐标轴平行或重合的线段,这是解这类题的关键.
5.【解析】选D.由于BB1⊥面ABCD,
∴AC⊥BB1,
连结BD,则BD⊥AC.
又BD∥B1D1,∴AC⊥B1D1,
又BB1∩B1D1=B1,∴AC⊥面BB1D1D,
BE⊂面BB1D1D,∴AC⊥BE.
∵B1D1∥BD,∴B1D1∥面ABCD,
∴EF∥面ABCD.
在三棱锥A-BEF中,∵AC⊥面BB1D1D,
∴AC⊥面BEF.
故A点到面BEF的距离为定值.
又∵B点到B1D1的距离为定值,
EF=为定值,
∴△BEF的面积为定值,
故三棱锥A-BEF的体积为定值.
当F点与B1点重合时,异面直线AE与BF所成角的余弦值为.
当E点与D1点重合时,异面直线AE与BF所成角的余弦值为,两者不等.
故异面直线AE,BF所成角不是定值.
6.【思路点拨】分直线l在正方体内部和在正方体外部两种状况进行争辩.
【解析】选D.如图,以AA1为一条公共棱,在正方体ABCD-A1B1C1D1的上侧,左侧,后侧分别补上一个棱长与AA1相等的正方体,易知直线AC1,AC2,AC3,AC4与棱AB,AD,AA1所成的角都相等(角的余弦值都等于=),故满足条件的直线l可作4条.
7.【解析】选A.当两直线平行时,在平面α内的正投影可能平行,可能重合,也可能是两个点;当两直线相交时,在平面α内的正投影可能是相交直线或重合直线;当两直线异面时,在平面α内的正投影可能平行,也可能相交,故选A.
8.【解析】选D.将平面开放图还原成几何体,易知AB与CD所成的角为60°.
9.【解析】选D.选项A中PS∥QR,故共面;选项C中四边形PQRS是平行四边形,故共面;选项B中PS与QR相交,如图正方体,连结SR并延长交AB的延长线于T,连结QT交BC于M,由全等三角形知M也是BC中点,则Q,M,T,R,S,P共面,由PS∥QM知PS,QR相交,故共面.
10.【解析】选B.对于A:空间中垂直于同一条直线的两条直线不愿定平行,如图,
l1,l3可以相交或异面,故命题错误;对于B:由异面直线所成的角或等角定理可知,∵l2∥l3,则l1与l3所成的角与l1与l2所成的角相等,故l1⊥l3,故命题正确;对于C:空间中三条相互平行的直线不愿定共面,如三棱柱的三条侧棱不共面,故命题错误;对于D:空间中共点的三条直线不愿定共面,如三棱锥中共顶点的三条棱不共面,故命题错误.
11.【思路点拨】分两个平面相交和平行进行争辩.
【解析】由题意知两个不重合的平面可以平行或相交,平行时把空间分成3个部分,相交时把空间分成4个部分.
答案:3或4
12.【解析】由b与c不平行知,a与b不平行,异面和相交都有可能.
答案:相交或异面
13. 【解析】分别取PA,AC,CB的中点F,D,E,连结FD,DE,EF,AE,则∠FDE是直线PC与AB所成角(或其补角).
设PA=AC=BC=2a,易求得FD=a,DE=a,FE=a,
依据余弦定理,得cos∠FDE=
=-,所以∠FDE=120°.
所以直线PC与AB所成角的大小是60°.
答案:60°
【变式备选】一个正方体纸盒开放后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.
则正确结论的序号是 .
【解析】把正方体的平面开放图还原成原来的正方体,如图所示,则AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.
答案:①③
14.【解析】①②④对应的状况如图所示,用反证法证明
③不行能.
答案:①②④
15.【解析】(1)连结B1D1,BD,在平面A1C1内过P点作直线l,使l∥B1D1,则l即为所求作的直线.
∵B1D1∥BD,l∥B1D1,∴l∥BD.
如图①.
(2)在平面A1C1内作直线m,使直线m与B1D1相交成α角,∵BD∥B1D1,∴直线m与直线BD也成α角,即直线m为所求作的直线,如图②.
由图知m与BD是异面直线,且m与BD所成的角α∈(0,].当α=时,这样的直线m有且只有一条,当α≠时,这样的直线m有两条.
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