2020年数学文(广西用)课时作业：第九章-第八节空间向量及其运算.docx

温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业(五十)
一、选择题
1.(2021·南宁模拟)若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是(　　)
(A)a,a+b,a-b (B)b,a+b,a-b
(C)c,a+b,a-b (D)a+b,a-b,a+2b
2.在下列条件中,使M与A,B,C确定共面的是(　　)
(A)=2--
(B)=++
(C)++=0
(D)+++=0
3.(2021·桂林模拟)已知点G是正方形ABCD的中心,P为正方形ABCD所在平面外一点,则+++等于(　　)
(A)4 (B)3 (C)2 (D)
4.(2021·福州模拟)如图,在底面为平行四边形的四棱柱ABCD - A1B1C1D1中,M是AC与BD的交点,若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(　　)
(A)-a+b+c (B)a+b+c
(C)a-b+c (D)-a-b+c
5.有以下命题:①假如向量a,b与任何向量不能构成空间的一个基底,那么a,b的关系是不共线;②O,A,B,C为空间四点,且向量,,不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C确定共面;③已知{a,b,c}是空间的一个基底,则{a+b,a-b,c}也是空间的一个基底.其中正确的命题是(　　)
(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③
6.设A,B,C,D是空间不共面的四个点,且满足·=0,·=0,·=0,则
△BCD的外形是(　　)
(A)钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)无法确定
7.(2021·济宁模拟)设OABC是四周体,G1是△ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为(　　)
(A)(,,) (B)(,,)
(C)(,,) (D)(,,)
8.(力气挑战题)已知ABCD为四周体,O为△BCD内一点(如图),则=(++)是O为△BCD的重心的(　　)
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
二、填空题
9.(2021·武汉模拟)二面角α-l-β为60°,A,B是l上的两点,AC,BD分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为　　　　.
10.(2021·广西名校联考)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为　　　　.
11.(2021·百色模拟)在四周体OABC中,=a,=b,=c,D是BC的中点,E是AD的中点,则=　　　(用a,b,c表示).
12.已知G是△ABC的重心,O是空间与G不重合的任一点,若++=λ,则λ=　　　.
三、解答题
13.已知平行六面体ABCD -A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,侧棱AA1的长为3,∠BAA1=∠DAA1=120°,求对角线AC1和BD1的长.
14.(2021·武鸣模拟)已知正方体ABCD -A1B1C1D1中,CD1和C1D相交于点O,连结AO.
求证:AO⊥CD1.
15.(力气挑战题)在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线BA1与AC所成的角.

答案解析
1.【解析】选C.构成空间基底的一组向量不能共面,∴只有C选项符合要求.
2.【解析】选C.++=0,即=-(+),所以M与A,B,C共面.
3.【解析】选A.+++=+++++++=4.
4.【解析】选A.=+=+
=c+(-)=c+(b-a)
=-a+b+c.
【变式备选】已知正方体ABCD - A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若=+x+y,则x,y的值分别为(　　)
(A)x=1,y=1 (B)x=1,y=
(C)x=,y= (D)x=,y=1
【解析】选C.
如图,=+
=+=+
(+),
所以x=,y=.
5.【解析】选C.对于①,“假如向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系确定是共线”,所以①错误.②③正确.
6.【思路点拨】通过·,·,·的符号推断△BCD各内角的大小,进而确定出三角形的外形.
【解析】选C.·=(-)·(-)
=·-·-·+=>0,
同理·>0,·>0.故△BCD为锐角三角形.
7.【解析】选A.=+
=+×(+)
=+[(-)+(-)]
=(++),
由OG=3GG1知,==(++),
∴(x,y,z)=(,,).
8.【解析】选C.若O是△BCD的重心,则=+=+×(+)=+(+)=+(-+-)=(++),
若=(++),
则-+-+-=0,
即++=0.
设BC的中点为P,则-2+=0,
∴=-2,即O为△BCD的重心.
9.【解析】∵AC⊥l,BD⊥l,
∴<,>=60°,且·=0,·=0,
∴=++,
∴||=
==2a.
答案:2a
10.【思路点拨】建立空间直角坐标系,利用向量的坐标运算解决.
【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).设M(x,y,z).
∵点M在AC1上且
=,
∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),
∴x=a,y=,z=.
于是M(,,),
∴||=
=a.
答案:a
11.【解析】=(+)=(b+c),
=(+)=+
=a+(b+c)
=a+b+c.
答案:a+b+c
12.【解析】由于+=,+=,
+=,且++=0,
所以++=3.
答案:3
13.【解析】设=a,=b,=c,
则有|a|=|b|=1,|c|=3,a·b=0,
a·c=b·c=-.由于=a+b+c,
所以||=

又=b+c-a,
故||=

即对角线AC1和BD1的长分别为和.
14.【证明】∵=+=-+,
=+=++
=++(+)
=+++
=++,
∴·=(++)·(-+)
=-·-·-·+·+·+·=0,
∴⊥即AO⊥CD1.
15.【思路点拨】利用·=||||·cos<,>求出向量与的夹角<,>,再依据异面直线BA1,AC所成角的范围确定异面直线所成的角.
【解析】∵=+,=+,
∴·=(+)·(+),
=·+·+·+·,
∵AB⊥BC,BB1⊥AB,BB1⊥BC,
∴·=0,·=0,·=0,
·=-a2,∴·=-a2.
又·=||·||cos<,>,
cos<,>==-,
∴<,>=120°,即异面直线BA1与AC所成的角为60°.
【方法技巧】(1)对于求解异面直线所成的角在前面已经复习过平移法,事实上连结A1C1,BC1,则A1C1∥AC.于是∠BA1C1即为所求的异面直线所成的角,易知
△BA1C1为正三角形.∴∠BA1C1=60°.此法甚为简捷明白.
(2)利用向量法求异面直线所成角的好处是不需要作出这个角来,而只通过计算就可以求出来,但相应的计算量较大,此法的关键是求异面直线上两向量的数量积.而要求两向量的数量积,必需会把所求向量用空间一组基向量来表示.
关闭Word文档返回原板块。