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课时提升作业(四十六)
一、选择题
1.如图,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=BC=2,A1D与BC1所成的角为,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
(A) (B)
(C) (D)
2.(2021·宁波模拟)已知正四周体A-BCD,设异面直线AB与CD所成的角为α,侧棱AB与底面BCD所成的角为β,侧面ABC与底面BCD所成的角为γ,则( )
(A)α>β>γ (B)α>γ>β
(C)β>α>γ (D)γ>β>α
3.平面α的斜线与α所成的角为30°,则此斜线和α内全部不过斜足的直线所成的角的最大值为( )
(A)30° (B)60° (C)90° (D)150°
4.把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B-AD-C,则BD与平面ABC所成角的正切值为( )
(A) (B) (C)1 (D)
5.如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,E,F分别是AD,DD1的中点,则平面EFC1B和平面BCC1所成二面角的正切值等于( )
(A)2 (B) (C) (D)
6.已知正四棱锥S -ABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE,SD所成角的余弦值为( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题
7.(2021·南宁模拟)已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,点B∈β,BD⊥l,D为垂足,AC=BD=1,CD=2,异面直线AB与CD所成角的余弦值等于 .
8.(2021·西安模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是 .
9.(力气挑战题)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长都相等,则直线AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值等于 .
三、解答题
10.(2021·宜春模拟)△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5.P在平面ABC的射影为AB的中点D.
(1)求证:AB与PC不垂直.
(2)当∠APC=60°时,
①求三棱锥P-ABC的体积;
②求二面角P-AC-B的正切值.
11.(2021·贵州模拟)如图,四棱锥P -ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.
(1)求证:平面AEC⊥平面PDB.
(2)当PD=AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.
12.(力气挑战题)已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F,G分别是PA,PB,BC的中点.
(1)求证:EF⊥平面PAD.
(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小.
(3)若M为线段AB上靠近A的一个动点,问当AM长度等于多少时,直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于?
答案解析
1.【解析】选B.连结B1C,有B1C∥A1D.
∵A1D与BC1所成的角为,∴B1C⊥BC1,
∴长方体ABCD-A1B1C1D1为正方体.取B1D1的中点M,连结C1M,BM,∴C1M⊥平面BB1D1D,
∴∠C1BM为BC1与平面BB1D1D所成的角.
∵AB=BC=2,∴C1M=,BC1=2,
∴sinC1BM==.
2.【解析】选B.如图,取底面BCD的中心为点O,连结AO,BO,易知∠ABO=β,取BC的中点E,连结AE,OE,易知∠AEO=γ,易知0<β<γ<,延长BO交CD于F,则BF⊥CD,又AO⊥CD,
∴CD⊥平面ABF,∴CD⊥AB,即α=,∴α>γ>β.
3.【解析】选C.因斜线和α内全部不过斜足的直线为异面直线,故最大角为
90°.
【方法技巧】求与角有关的取值范围问题解题策略
一是可利用函数思想把所求问题转化为某参数的函数问题;二是可利用数形结合思想结合图形的某些特殊状况求得最值或范围.
4.【解析】选B.设等腰直角△ABC的直角边长为1.如图,在平面ADC中,过D作DE⊥AC,交AC于点E.连结BE,由于二面角B-AD-C为直二面角,所以BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,又DE∩BD=D,因此AC⊥平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC,故∠DBE就是BD与平面ABC所成角,在Rt△DBE中,易求tanDBE=,故选B.
5.【思路点拨】为了作出二面角E-BC1-C的平面角,需在一个面内取一点,过该点向另一个面引垂线.(这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤)
从图形特点看,可过E作平面BCC1的垂线.
【解析】选A.过E作EH⊥BC,垂足为H.
过H作HG⊥BC1,垂足为G.连结EG.∵平面ABCD⊥平面BCC1,而EH⊥BC,
∴EH⊥平面BCC1,EG是平面BCC1的斜线,HG是斜线EG在平面BCC1内的射影.
∵HG⊥BC1,∴EG⊥BC1,
∴∠EGH是二面角E-BC1-C的平面角.
设正方体棱长为1,
在Rt△BCC1中,sinC1BC==,
在Rt△BHG中,sinC1BC=,
∴HG=×=.而EH=1,
在Rt△EHG中,tanEGH==2
故二面角E-BC1-C的正切值等于2.
6.【解析】选C.连结AC,BD交于O,连结EO,则EO∥SD,
∴∠AEO为异面直线SD与AE所成角.
设AB=a,则EO=,
AO=a,AE=a,
∴cosAEO=.
7.【解析】由题知||2=(++)2
=||2+||2+||2=6,·=·(++)=·,即||·||cos<,>
=||2,得cos<,>==,
异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
答案:
8.【解析】如图,取BC中点E,连结DE,AE,依题意知三棱柱为正三棱柱,易得AE⊥平面BB1C1C,故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角.设各棱长为1,则AE=,DE=,
tanADE===,∴∠ADE=60°.
答案:60°
9.【思路点拨】先作出AC1与平面ABB1A1所成的角,然后在三角形中求解.
【解析】取A1B1的中点D,连结C1D,AD.
∵ABC-A1B1C1为正三棱柱,
∴平面A1B1C1⊥平面ABB1A1.
又△A1B1C1为正三角形,
∴C1D⊥A1B1,
∴C1D⊥平面ABB1A1,
故∠C1AD为直线AC1与平面ABB1A1所成的角.
设侧棱与底面边长均为a,
则AC1=a,DC1=a,∴sinC1AD==.
答案:
【变式备选】已知正三棱锥S-ABC的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE与平面SBC所成的角的余弦值为 .
【解析】过A作AO垂直于平面SBC于O,
由于S-ABC为正三棱锥,且侧棱长与底面边长相等,
∴O为正△SBC的中心,连结CO并延长交BS于E点,
∴∠AEO即为AE与平面SBC所成的角.
设三棱锥棱长为a,
∴cosAEO===.
答案:
10.【解析】(1)连结CD,若AB⊥PC,则AB⊥CD,CD是线段AB的垂直平分线,则AC=BC,这与AC≠BC冲突.故AB与PC不垂直.
(2)①由勾股定理,∠ACB是直角,D是斜边AB的中点,
∴CD=AD,PA=PC,△PAC为正三角形,
PC=AC=3,CD=,PD=,
VP-ABC=××4×3×=.
②取AC的中点E,连结PE,DE,则∠PED就是所求二面角的平面角,
由于DE=2,故所求角的正切值为.
【变式备选】(2021·重庆模拟)如图,四棱锥S -ABCD的底面是矩形,SA⊥底面ABCD,P为BC边的中点,SB与平面ABCD所成的角为45°,且AD=2,SA=1.
(1)求证:PD⊥平面SAP.
(2)求二面角A-SD-P的大小.
【解析】(1)∵SA⊥底面ABCD,
∴∠SBA是SB与平面ABCD所成的角,
∴∠SBA=45°,∴AB=SA=1,
易求得,AP=PD=.
又∵AD=2,∴AD2=AP2+PD2,
∴AP⊥PD.
∵SA⊥底面ABCD,PD⊂平面ABCD,
∴SA⊥PD.
∵SA∩AP=A,∴PD⊥平面SAP.
(2)设Q为AD的中点,连结PQ,
由于SA⊥底面ABCD,且SA⊂平面SAD,
则平面SAD⊥平面PAD.
∵PQ⊥AD,∴PQ⊥平面SAD.
过Q作QR⊥SD,垂足为R,连结PR,
由三垂线定理可知PR⊥SD,
∴∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角.
简洁证明△DRQ∽△DAS,则=.
∵DQ=1,SA=1,SD=,
QR=·SA=.
在Rt△PRQ中,∵PQ=AB=1,
∴tanPRQ==.
∴二面角A-SD-P的大小为arctan.
11.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,
∵PD⊥底面ABCD,
∴PD⊥AC,
∴AC⊥平面PDB,∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)设AC∩BD=O,连结OE,
由(1)知AC⊥平面PDB于O,
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角,
∴O,E分别为DB,PB的中点,
∴OE∥PD,OE=PD.
又∵PD⊥底面ABCD,
∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO.
在Rt△AOE中,OE=PD=AB=AO,
∴∠AOE=45°,
即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.
12.【解析】(1)∵平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,
∴AB⊥平面PAD.
∵E,F分别是PA,PB的中点,∴EF∥AB,
∴EF⊥平面PAD.
(2)过G作GH∥AB交AD于H,
连结EH,则EH∥PD.
∵EF∥AB,AB∥HG,∴EF∥HG,HG是所成二面角的棱.
∵HG∥EF,∴HG⊥平面PAD,
∴DH⊥HG,EH⊥HG,
∴∠EHA是锐二面角的平面角,等于60°.
(3)过M作MK⊥平面EFG于K,连结KF,
则∠KFM即为MF与平面EFG所成的角.
∵AB∥EF,故AB∥平面EFG,故AB上的点M到平面EFG的距离等于点A到平面EFG的距离.
∵HG⊥平面PAD,∴平面EFGH⊥平面PAD于EH,
∴A到平面EFG的距离即为三角形EHA的边EH上的高,等于,即MK=,
∴=,FM=.
在直角梯形EFMA中,AE=EF=2,
∴AM=1或AM=3.
∵M靠近A,∴AM=1,
∴当AM=1时,直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于.
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