2020年数学文(广西用)课时作业：第四章-第四节三角函数的化简与求值.docx

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课时提升作业(二十一)
一、选择题
1.计算:·等于(　　)
(A)-sinα (B)-cosα (C)sinα (D)cosα
2.(2021·南宁模拟)计算:cos 17°sin 43°+sin 163°sin 47°的值为(　　)
(A) (B)- (C) (D)-
3.若α∈(0,),且sin2α+cos2α=,则tanα等于(　　)
(A) (B) (C) (D)
4.已知函数f(x)=-asincos(π-)的最大值为2,则常数a的值为(　　)
(A) (B)-
(C)± (D)±
5.(2022·重庆高考)计算:=(　　)
(A)- (B)- (C) (D)
6.若cosx-sinx=,则=(　　)
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10
二、填空题
7.(力气挑战题)已知tan2θ=-2,π<2θ<2π,则=　　　　.
8.函数y=(acosx+bsinx)·cosx有最大值2,最小值-1,则实数(ab)2的值为　　　　.
9.(2021·梧州模拟)设sin(+θ)=,则cos4θ=　　　　.
三、解答题
10.(2021·百色模拟)已知tanα,tanβ是方程x2-5x+6=0的两个实根,求2sin2(α+β)-3sin(α+β)·cos(α+β)+cos2(α+β)的值.
11.(2021·桂林模拟)已知A,B,C三点的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cosα,
sinα),α∈(,).若·=-1,求的值.
12.(力气挑战题)已知cos(+x)=,<x<.
(1)求sin2x的值.
(2)求的值.

答案解析
1.【解析】选D.原式=·
=·
=cosα.
2.【解析】选C.
cos 17°sin 43°+sin 163°sin 47°
=cos 17°sin 43°+sin(180°-17°)sin(90°-43°)
=cos 17°sin 43°+sin 17°cos 43°
=sin(43°+17°)=sin 60°=.
3. 【思路点拨】将cos2α利用倍角公式开放,分母看成1转为正切后解方程可得tanα.
【解析】选D.方法一:sin2α+cos2α=,
即cos2α-sin2α+sin2α=,
即=,即=,
从而tan2α=3.又∵α∈(0,),
故tanα=.
方法二:sin2α+cos2α=,
即sin2α+cos2α-sin2α=,
得cos2α=,又α∈(0,),
得cosα=,sinα=.
∴tanα==.
4. 【思路点拨】先利用公式进行三角恒等变形,把f(x)化成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,再利用最大值求得a.
【解析】选C.由于f(x)=+asinx
=(cosx+asinx)=cos(x-φ)(其中tanφ=a),所以=2,解得a=±.
5. 【解析】选C.原式=
=
==sin 30°=.
6.【解析】选A.∵cosx-sinx=,
∴1-sin2x=.
∴sin2x=,且cos(x+)=.
∴cos(x+)=.
∴==7.
7.【解析】原式==.
∵2θ∈(π,2π),∴θ∈(,π).
而tan2θ==-2.
∴tan2θ-tanθ-=0,
即(tanθ+1)(tanθ-)=0.
故tanθ=-或tanθ=(舍去).
∴==3+2.
答案:3+2
8.【解析】y=acos2x+bsinxcosx
=a·+sin 2x
=sin(2x+φ)+,
∴
∴a=1,b2=8,∴(ab)2=8.
答案:8
【方法技巧】三角恒等变换的特点
(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、半角公式等进行简洁的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.
(2)对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换经常首先查找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角恒等变换的重要特点.
【变式备选】已知tan(+α)=.
(1)求tanα的值.
(2)若tan(α-β)=2,求tan(β-2α)的值.
【解析】(1)∵tan(+α)=,
∴tanα=tan[(+α)-]=
==-.
(2)∵tanα=-,tan(α-β)=2,
∴tan(β-2α)=-tan(2α-β)=-tan[α+(α-β)]
=-
=-=-1.
9.【解析】sin2θ=-cos(+2θ)
=2sin2(+θ)-1=-,
∴cos4θ=1-2sin22θ=1-2×(-)2=-.
答案:-
10.【解析】tanα+tanβ=5,tanα·tanβ=6,tan(α+β)==-1,
∴2sin2(α+β)-3sin(α+β)·cos(α+β)+cos2(α+β)
==3.
11.【解析】=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),
由·=-1,
得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1,
∴sinα+cosα=,2sinα·cosα=-,
又==2sinαcosα
=-,
故所求的值为-.
12.【解析】(1)∵cos2(+x)=cos(+2x)=-sin2x,
又cos2(+x)=2cos2(+x)-1
=2×-1=-,
∴sin2x=.
(2)=
==sin2xtan(+x).
∵<x<,
∴<x+<2π,
∴sin(+x)=-=-,
∴tan(+x)=-,
∴=×(-)=-.
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