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课时提升作业(二十二)
一、选择题
1.将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,得到函数y=sin(2x+φ)(0<φ<)的图象,则φ=( )
(A) (B) (C) (D)
2.(2021·南宁模拟)函数f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,则f()的值是( )
(A)0 (B) (C)1 (D)
3.(2021·百色模拟)已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0,2π]上的图象如图所示,那么ω=( )
(A)1 (B)2 (C) (D)
4.(2021·东北师大附中模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象( )
(A)向左平移个单位长度
(B)向右平移个单位长度
(C)向左平移个单位长度
(D)向右平移个单位长度
5.如图是函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,|φ|<)在区间[-,]上的图象,为了得到这个函数的图象,只要将y=sinx(x∈R)的图象上全部的点( )
(A)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
(B)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
(C)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
(D)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
6.(2021·梧州模拟)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则( )
(A)ω=1,φ= (B)ω=1,φ=-
(C)ω=2,φ= (D)ω=2,φ=-
二、填空题
7.(2021·柳州模拟)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的图象经过点(0,1),且一个最高点的坐标为(1,2),则ω的最小值是 .
8.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),
y=f(x)的部分图象如图,则f()= .
9.(力气挑战题)函数y=sinπx(x∈R)的部分
图象如图所示,设O为坐标原点,P是图象的
最高点,B是图象与x轴的交点,则
tan∠OPB= .
三、解答题
10.(2021·百色模拟)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),
(1)若A=3,ω=,φ=-,用五点法作出该函数在一个周期内的草图.
(2)若y表示一个振动量,其振动频率是,当x=时,相位是,求ω与φ.
11.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的最小正周期及解析式.
(2)设g(x)=f(x)-cos2x,求函数g(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.
12.(力气挑战题)已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最小正周期为2,且当x=时,f(x)的最大值为2.
(1)求f(x)的解析式.
(2)在闭区间[,]上是否存在f(x)的对称轴?假如存在求出其对称轴.若不存在,请说明理由.
答案解析
1. 【解析】选C.由y=sin2xy=sin2(x+),
即y=sin(2x+).故选C.
2. 【解析】选D.由题意可知T=,∴ω=4.
f()=tan(4×)=tan=,故选D.
3. 【解析】选B.由函数的图象可知该函数的周期为π,所以=π,故ω=2.
4.【解析】选A.由T=π,∴=π,∴ω=2,
∴f(x)=sin(2x+),又∵g(x)=cos2x=sin(2x+)=sin(2x++)
=sin[2(x+)+],
∴y=f(x)的图象向左平移个单位长度得g(x)的图象.
【变式备选】已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )
(A)关于直线x=对称
(B)关于点(,0)对称
(C)关于直线x=-对称
(D)关于点(,0)对称
【解析】选B.由T=π,∴=π,得ω=2.
故f(x)=sin(2x+).
当x=时,2×+=π,
此时sinπ=0,
故f(x)=sin(2x+)的图象关于点(,0)对称.
5.【解析】选A.由图象可知A=1,T=π.
∴ω=2.
图象过(-,0)点,结合φ的取值范围得2×(-)+φ=0,∴φ=.
故f(x)=sin(2x+).
因而将y=sinx图象左移得y=sin(x+),再将横坐标缩短为原来的得y=sin(2x+).故选A.
6. 【解析】选D.由题意得T==4(-)=π,ω=2,sin(2×+φ)=1,
又|φ|<,∴π+φ=,∴φ=-.
7.【解析】由于最高点的纵坐标为2,所以A=2.
又由于图象经过点(0,1),所以2sinφ=1,
即sinφ=,又0<φ<,所以φ=.
由于一个最高点的坐标为(1,2),
所以2sin(ω+)=2,解得ω=2kπ+(k∈Z),
又ω>0,所以ω的最小值是.
答案:
8.【解析】由题干图可知=-,即=,所以ω=2,由2×π+φ=kπ(k∈Z),且
|φ|<知φ=,又图象过点(0,1),代入得Atan=1,所以A=1,函数的解析式为f(x)=tan(2x+),则f()=tan=.
答案:
9.【思路点拨】解答本题的关键是依据题意求出P,B点的坐标,然后作PM⊥x轴,解直角三角形求tan∠OPM,tan∠BPM,再利用两角和的正切公式求tan∠OPB.
【解析】由题意,得P(,1),
B(2,0),
过P点向x轴作垂线,垂足为M,则OM=,PM=1,
BM=,
∴tan∠OPM==,tan∠BPM==,
∴tan∠OPB=tan(∠OPM+∠BPM)
===8.
答案:8
10.【解析】(1)y=3sin(-),列出下表:
-
0
π
2π
x
y
0
3
0
-3
0
描点作图可得图象如图所示:
(2)依题意,有
∴
11.【思路点拨】(1)由图象及题设中的限制条件可求A,ω,φ.
(2)将f(x)代入g(x)整理化简为一个三角函数,再由x的范围求最值即可.
【解析】(1)由图可得A=1,=-=,
所以T=π,所以ω=2.
当x=时,f(x)=1,可得sin(2×+φ)=1,
由于|φ|<,所以φ=.
所以f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+).
(2)g(x)=f(x)-cos2x
=sin(2x+)-cos2x
=sin2xcos+cos2xsin-cos2x
=sin2x-cos2x=sin(2x-).
由于0≤x≤,所以-≤2x-≤.
当2x-=,即x=时,g(x)取最大值为1;
当2x-=-,即x=0时,g(x)取最小值为-.
【方法技巧】由图象求解析式和性质的方法和技巧
(1)给出图象求y=Asin(ωx+φ)+b的解析式的难点在于ω,φ的确定,本质为待定系数,基本方法是①查找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式;②图象变换法,即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到,通常可由平衡点或最值点确定周期T,进而确定ω.
(2)由图象求性质的时候,首先确定解析式,再依据解析式求其性质,要紧扣基本三角函数的性质.例如,单调性、奇偶性、周期性和对称性等都是考查的重点和热点.
【变式备选】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<,x∈R)的图象的一部分如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)当x∈[-6,-]时,求函数y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的x的值.
【解析】(1)由图象知A=2,T=8,
∵T==8,∴ω=.
又图象经过点(-1,0),∴2sin(-+φ)=0,
∴φ=kπ+,k∈Z,∵|φ|<,
∴φ=.∴f(x)=2sin(x+).
(2)y=f(x)+f(x+2)
=2sin(x+)+2sin(x++)
=2cosx.
∵x∈[-6,-],∴-≤x≤-.
∴当x=-,即x=-时,y=f(x)+f(x+2)取得最大值;
当x=-π,即x=-4时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-2.
12.【解析】(1)由T=2知=2得ω=π.
又由于当x=时f(x)max=2知A=2.
且π+φ=2kπ+(k∈Z),
故φ=2kπ+(k∈Z).
∴f(x)=2sin(πx+2kπ+)=2sin(πx+),
故f(x)=2sin(πx+).
(2)令πx+=kπ+(k∈Z),
得x=k+(k∈Z).由≤k+≤.
得≤k≤,又k∈Z,知k=5.
故在[,]上存在f(x)的对称轴,其方程为x=.
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