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课时提升作业(二十二)
一、选择题
1.等于 ( )
(A)-sinα (B)-cosα (C)sinα (D)cosα
2.函数y=sin2xcos 2x是 ( )
(A)周期为的奇函数
(B)周期为的偶函数
(C)周期为的奇函数
(D)周期为的偶函数
3.(2021·淄博模拟)已知cos(α-)=,则sin2α= ( )
(A) (B)- (C) (D)-
4.已知函数f(x)=-asincos(π-)的最大值为2,则常数a的值为
( )
(A) (B)-
(C)± (D)±
5.(2021·太原模拟)若函数f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m在[0, ]上有零点,则实数m的取值范围为( )
(A)[-1,] (B)[-1,1]
(C)[1,] (D)[-,-1]
6.(2021·泉州模拟)已知函数f(x)=sin(x+)cos(x+)，则下列推断不正确的是( )
(A)f(x)的最小正周期为π
(B)f(x)的一条对称轴为
(C)f(x)的一个对称中心为
(D)f(x)的单调递增区间为
二、填空题
7.(力气挑战题)已知tan2θ=-2,π<2θ<2π,化简= .
8.(2021·温州模拟)函数y=(acosx+bsinx)cosx有最大值2,最小值-1,则实数(ab)2的值为 .
9.函数y=的单调递增区间为 .
三、解答题
10.(2021·西城模拟)已知函数f(x)=cos2(x-)-sin2x.
(1)求f()的值.
(2)若对于任意的x∈[0,],都有f(x)≤c,求实数c的取值范围.
11.(2021·三明模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R，ω＞0，0＜φ＜)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)求函数g(x)=f(x-)-f(x+)的单调递增区间.
12.(力气挑战题)已知函数f(x)=sinωx·sin(-φ)-sin(+ωx)sin(π+φ)是R上的偶函数.其中ω>0,0≤φ≤π,其图象关于点M(,0)对称,且在区间[0, ]上是单调函数,求φ和ω的值.
答案解析
1.【解析】选D.原式=
=cosα
2.【思路点拨】利用倍角公式化简成y=Asinωx的形式,即可得其相应性质.
【解析】选A.y=sin2xcos 2x=sin4x,
∴最小正周期为
∵f(-x)=-f(x),
∴函数y=sin2xcos 2x是奇函数.
3.【解析】选D.方法一:由cos(α-)=,
得cosα+sinα=,即sinα+cosα=,
平方得1+2sinαcosα=,
故sin2α=-.
方法二:由cos(α-)=cos(-α),
所以cos(-2α)=2cos2(-α)-1
=2·()2-1=-.
∵cos(-2α)=sin2α,∴sin2α=-.
4.【思路点拨】先利用公式进行三角恒等变形,把f(x)化成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,再利用最大值求得a.
【解析】选C.由于f(x)=+asinx
=(cosx+asinx)=cos(x-φ)(其中tanφ=a),所以=2,解得a=
±.
5.【解析】选A.f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m
=1+sin 2x-2cos2x-m
=1+sin 2x-1-cos 2x-m
=sin(2x-)-m.
∵0≤x≤,∴0≤2x≤π,∴-≤2x-≤,
∴-1≤sin(2x-)≤,
故当-1≤m≤时,f(x)在[0,]上有零点.
6.【解析】选D.f(x)=sin(x+)cos(x+)
验证知A,B,C正确，D不正确，故选D.
7.【解析】原式=
∵2θ∈(π,2π),∴θ∈(,π).
而tan2θ==-2.
∴tan2θ-tanθ-=0,
即(tanθ+1)(tanθ-)=0.
故tanθ=-或tanθ= (舍去).
∴=3+2.
答案:3+2
8.【解析】y=acos2x+bsinxcosx=sin 2x
=sin(2x+φ)+,
∴a=1,b2=8,∴(ab)2=8.
答案:8
【方法技巧】三角恒等变换的特点
(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、半角公式等进行简洁的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.
(2)对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换经常首先查找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角恒等变换的重要特点.
9.【思路点拨】利用倍角公式开放约分后化为正切再求解.
【解析】
=tan(+).
由kπ-<+<+kπ,k∈Z,
知2kπ-<x<2kπ+,k∈Z.
答案:(2kπ-,2kπ+),k∈Z
10.【解析】(1)f()=cos2(-)-sin2=cos=.
(2)f(x)=[1+cos(2x-)]-(1-cos2x)
=[cos(2x-)+cos2x]
=(sin2x+cos2x)=sin(2x+).
由于x∈[0, ],所以2x+∈[,],
所以当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值.
所以对于任意的x∈[0, ],f(x)≤c等价于≤c.
故对于任意的x∈[0, ],都有f(x)≤c时,c的取值范围是[,+∞).
【变式备选】设函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx-1(x∈R).
(1)化简函数f(x)的表达式,并求函数f(x)的最小正周期.
(2)若x∈[0, ],求函数f(x)的最大值与最小值.
【解析】(1)∵f(x)=2cos2x+2sinxcosx-1
=cos2x+sin2x=2sin(2x+),
∴函数f(x)的最小正周期T=π.
(2)∵0≤x≤,∴≤2x+≤,
∴-≤sin(2x+)≤1,
∴-1≤2sin(2x+)≤2,∴当2x+=,
即x=时,f(x)min=-1;
当2x+=,
即x=时,f(x)max=2.
11.【解析】(1)由题设图象知，周期
∴
∵点在函数图象上，∴Asin(2×+φ)=0,
即sin(+φ)=0.
又∵即
又点(0,1)在函数图象上，所以Asin=1,A=2,
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+).
(2)g(x)=
=2sin 2x-2sin(2x+)
=2sin 2x-2(sin 2x+cos 2x)
=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-),
由k∈Z,得
k∈Z.
∴g(x)的单调递增区间是k∈Z.
12.【解析】由已知得f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ
=sin(ωx+φ),
∵f(x)是偶函数,∴φ=kπ+,k∈Z.
又∵0≤φ≤π,∴φ=.
∴f(x)=sin(ωx+)=cosωx.
又f(x)关于(,0)对称,
故ω=kπ+,k∈Z.即ω=k∈Z.
又ω>0,故k=0,1,2,…
当k=0时,ω=,f(x)=cosx在[0, ]上是减函数.
当k=1时,ω=2,f(x)=cos2x在[0, ]上是减函数.
当k=2时,ω=,f(x)=cosx在[0, ]上不是单调函数,
当k>2时,同理可得f(x)在[0, ]上不是单调函数,
综上,ω=或ω=2.
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