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阶段回扣练2 函数概念与基本初等函数Ⅰ
(建议用时:90分钟)
一、选择题
1.(2022·山西四校联考)函数y=+的定义域为 ( )
A.[-4,+∞) B.(-4,0)∪(0,+∞)
C.(-4,+∞) D.[-4,0)∪(0,+∞)
解析 由题意知得x≥-4且x≠0.
答案 D
2.(2022·湖南卷)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是
( )
A.f(x)= B.f(x)=x2+1
C.f(x)=x3 D.f(x)=2-x
解析 A中f(x)=是偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,故A满足题意.B中f(x)=x2+1是偶函数,但在(-∞,0)上是减函数.C中f(x)=x3是奇函数.D中f(x)=2-x是非奇非偶函数.故B,C,D都不满足题意.
答案 A
3.已知幂函数f(x)的图象经过(9,3),则f(2)-f(1)= ( )
A.3 B.1-
C.-1 D.1
解析 设幂函数为f(x)=xα,则f(9)=9α=3,即32α=3,所以2α=1,α=,即f(x)=x=,所以f(2)-f(1)=-1,选C.
答案 C
4.(2022·沈阳统一考试)f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x3+ln(1+x),则当x<0时,f(x)= ( )
A.-x3-ln(1-x) B.x3+ln(1-x)
C.x3-ln(1-x) D.-x3+ln(1-x)
解析 当x<0时,则-x>0,
∴f(-x)=(-x)3+ln(1-x)=-x3+ln(1-x).
又f(-x)=-f(x),∴f(x)=x3-ln(1-x).
答案 C
5.(2022·西安检测)已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>a>b
解析 依题意得,a=log43.62>log43.6=c>log43.2=b.
答案 B
6.(2021·辽宁五校协作体联考)设函数f(x)=loga|x|在(-∞,0)上单调递增,则f(a+1)与f(2)的大小关系是 ( )
A.f(a+1)>f(2) B.f(a+1)<f(2)
C.f(a+1)=f(2) D.不能确定
解析 由已知得0<a<1,所以1<a+1<2,又易知函数f(x)为偶函数,故可以推断f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(a+1)>f(2).
答案 A
7.(2022·烟台模拟)如图是函数f(x)=x2+ax+b的图象,则函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在区间是 ( )
A. B.(1,2)
C. D.(2,3)
解析 由f(x)的图象知0<b<1,f(1)=0,从而-2<a<-1,g(x)=ln x+2x+a,g(x)在定义域内单调递增,g=ln +1+a<0,g(1)=2+a>0,g·g(1)<0,故选C.
答案 C
8.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算,假如在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 ( )
A.5千米处 B.4千米处
C.3千米处 D.2千米处
解析 设仓库到车站距离为x千米,由题意得,y1=,y2=k2x,其中x>0,当x=10时,代入两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,可得k1=20,k2=,y1+y2=+x≥2 =8,当且仅当=x,即x=5时取等号,故选A.
答案 A
9.(2022·济南四校联考)已知函数f(x)=x2+,则y=f(x)的图象大致为( )
解析 首先确定函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),由f(-x)=(-x)2+=f(x)可知f(x)=x2+为偶函数,故其图象关于y轴对称,可以排解A,然后结合x→+∞时,f(x)→+∞可以排解C,D.
答案 B
10.对任意实数a,b定义运算“⊗”:a⊗b=设f(x)=(x2-1)⊗(4+x),若函数y=f(x)+k的图象与x轴恰有三个不同交点,则k的取值范围是
( )
A.(-2,1) B.[0,1]
C.[-2,0) D.[-2,1)
解析 当x2-1≥4+x+1,即x≤-2或x≥3时,f(x)=4+x,当x2-1<4+x+1,即-2<x<3时,f(x)=x2-1,如图所示,作出f(x)的图象,由图象可知,要使-k=f(x)有三个根,需满足-1<-k≤2,即-2≤k<1.
答案 D
二、填空题
11.(2021·潍坊模拟)函数f(x)=2ax+1-3(a>0且a≠1)的图象经过的定点坐标是________.
解析 令x+1=0,得x=-1,f(-1)=2-3=-1.
答案 (-1,-1)
12.(2022·贵阳监测)若函数f(x)=x2-2kx+1在[1,+∞)上是增函数,则实数k的取值范围是________.
解析 依题意,函数f(x)=(x-k)2+1-k2在[1,+∞)上是单调递增函数,于是有k≤1,即实数k的取值范围是(-∞,1].
答案 (-∞,1]
13.(2022·南通模拟)已知函数f(x)=在R上是单调增函数,则实数a的取值范围________.
解析 f(x)在R上是单调增函数,需满足a=0或解得-≤a≤0.
答案 [-,0]
14.(2022·浙江卷)设函数f(x)=若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是________.
解析
f(x)的图象如图,由图象知,满足f(f(a))≤2时,得f(a)≥-2,而满足f(a)≥-2时,得a≤.
答案 (-∞,]
15.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.
若f=f,则a+3b的值为________.
解析 由于f(x)的周期为2,
所以f=f=f,
即f=f.
又由于f=-a+1,
f==,
所以-a+1=.
整理,得a=-(b+1).①
又由于f(-1)=f(1),
所以-a+1=,即b=-2a.②
将②代入①,得a=2,b=-4.
所以a+3b=2+3×(-4)=-10.
答案 -10
三、解答题
16.函数f(x)=m+logax(a>0且a≠1)的图象过点(8,2)和(1,-1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值.
解 (1)由得
解得m=-1,a=2,
故函数解析式为f(x)=-1+log2x.
(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)
=2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)]
=log2-1(x>1).
∵==(x-1)++2≥
2 +2=4.
当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.
而函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,
则log2 -1≥log24-1=1,
故当x=2时,函数g(x)取得最小值1.
17.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点,已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0).
(1)当a=1,b=-2时,求f(x)的不动点;
(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.
解 (1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3,由题意可知x=x2-x-3,得x1=-1,x2=3.
故当a=1,b=-2时,f(x)的不动点是-1,3.
(2)∵f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)恒有两个相异的不动点,∴x=ax2+(b+1)x+b-1,
即ax2+bx+b-1=0恒有两相异实根,
∴Δ=b2-4ab+4a>0(b∈R)恒成立.
于是Δ′=(4a)2-16a<0解得0<a<1,
故当b∈R,f(x)恒有两个相异的不动点时的a的范围是(0,1).
18.已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0),当x∈(-3,2)时,f(x)>0;当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域;
(2)c为何值时,不等式ax2+bx+c≤0在[1,4]上恒成立?
解 由题意得x=-3和x=2是函数f(x)的零点且a≠0,
则
解得
∴f(x)=-3x2-3x+18.
(1)由图象知,函数在[0,1]内单调递减,
∴当x=0时,f(x)=18;当x=1时,f(x)=12,
∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18].
(2)法一 令g(x)=-3x2+5x+c.
∵g(x)在上单调递减,
要使g(x)≤0在[1,4]上恒成立,
则需要g(x)max=g(1)≤0,
即-3+5+c≤0,解得c≤-2.
∴当c≤-2时,不等式ax2+bx+c≤0在[1,4]上恒成立.
法二 不等式-3x2+5x+c≤0在[1,4]上恒成立,
即c≤3x2-5x在[1,4]上恒成立.
令g(x)=3x2-5x,
∵x∈[1,4],且g(x)在[1,4]上单调递增,
∴g(x)min=g(1)=3×12-5×1=-2,∴c≤-2.
即c≤-2时,不等式ax2+bx+c≤0在[1,4]上恒成立.
19.小王高校毕业后,打算利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件,需另投入流淌成本为W(x)万元.在年产量不足8万件时,W(x)=x2+x(万元);在年产量不小于8万件时,W(x)=6x+-38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品能当年全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(注:年利润=年销售收入-固定成本-流淌成本);
(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?
解 (1)由于每件商品售价为5元,则x万件商品销售收入为5x万元.依题意得,
当0<x<8时,
L(x)=5x--3=-x2+4x-3;
当x≥8时,
L(x)=5x--3=35-.
所以L(x)=
(2)当0<x<8时,
L(x)=-(x-6)2+9,
此时,当x=6时,L(x)取得最大值L(6)=9(万元).
当x≥8时;
L(x)=35-≤35-2=35-20=
15(万元).
此时,当且仅当x=,即x=10时,L(x)取得最大值15万元.
∵9<15,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元.
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