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2021高二数学寒假作业（三）
一、选择题
1、已知平面a 的一个法向量，又且在a 内，则＝( )
A． B．
C． D．
2、若直线l1，l2的方向向量分别为，则l1，l2的位置关系是( )
A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合
3、正三棱柱ABC—A1B1C1的全部棱长相等，AC1与面BB1C1C所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4、如图所示，PA＝PB＝PC，且它们所成的角均为60°，则二面角B－PA－C的余弦值是( )
A． B． C． D．
5、如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都是2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则EF的长是( )
A．2 B.
C. D.
6、已知平面α∥平面β，直线lα，α与β之间的距离为d，有下列四个命题：
①β内有且仅有一条直线与l的距离为d；
②β 内全部的直线与l的距离都等于d；
③β内有很多条直线与l的距离为d；
④β内全部直线与α的距离都等于d.
其中真命题是( )
A．① B．② C．①与④ D．③与④
二、填空
7、在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
8、若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P－BC－A的大小是______．
9、已知，则平面ABC的一个法向量为____________．
10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P为线段DD1上任意一点，则在正方体的全部棱中与平面ABP平行的共有______条.
三、解答题
11、如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M是线段A1D的中点，点N在线段C1D1上，且D1N=D1C1，∠A1AD=∠A1AB=60°, ∠BAD=90°，AB=AD=AA1=1.
(1)求满足的实数x、y、z的值.
(2)求AC1的长.
12、抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并与
双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为，求抛物线的方程和双曲线的方程.
13、 已知关于x的一元二次方程 (m∈Z) ① mx2－4x＋4＝0,
② x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求方程①和②都有整数解的充要条件.
2021高二数学寒假作业（三）参考答案
一、选择题
1~6 CDBCCD
二、填空
7、
8、90°
9、(－2，3，1)
10．(2)(3)(4)
三、解答题
11、证明：（1）
（2）∵,
12、解：由题意可知，抛物线的焦点在x轴，又由于过点，
所以可设其方程为
∴=2 所以所求的抛物线方程为
所以所求双曲线的一个焦点为（1，0），所以c=1，
设所求的双曲线方程为
而点在双曲线上，所以
解得
所以所求的双曲线方程为
13、 方程①有实根的充要条件是解得m1
方程②有实根的充要条件是，
解得
故m=－1或m=0或m=1.
当m=－1时，①方程无整数解.
当m=0时，②无整数解；
当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解.
∴①②都有整数解的充要条件是m=1.
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