2020年人教A版数学文(广东用)课时作业：6.4基本不等式.docx

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课时提升作业(三十七)
一、选择题
1.（2021·阳江模拟）对于使-x2+2x≤M成立的全部常数M中，我们把M的最小值叫做-x2+2x的上确界.若a,b∈R+且a+b=1，则的上确界为( )
(A)-3 (B)-4 (C) (D)
2.（2021·揭阳模拟）设a＞0，若关于x的不等式在x∈(1，+∞)恒成立，则a的最小值为( )
(A)16 (B)9 (C)4 (D)2
3.（2022·湖北高考）设a,b,c∈R，则“abc=1”是的( )
（A）充分条件但不是必要条件
（B）必要条件但不是充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要的条件
4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=( )
（A）20 （B）10 （C）16 （D）8
5.若实数x,y满足x+y=-1，则2x+2y的最小值是( )
（A）2 （B） （C） （D）

6.（2021·北京模拟）爬山是一种简洁好玩的野外运动，有益于身心健康，但要留意平安，预备好必需物品，把握好速度.现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为v1，下山的速度为v2（v1≠v2），乙上山和下山的速度都是（甲、乙两人中途不停留且下山时按原路返回），则甲、乙两人上下山所用的时间t1,t2的关系为( )
（A）t1>t2 （B）t1<t2
（C）t1=t2 （D）不能确定
7.已知a>0,b>0，a+b=2,则的最小值是( )
（A） （B）4 （C） （D）5
8.（力气挑战题）设a>0,b>0，且不等式恒成立，则实数k的最小值等于( )
（A）0 （B）4 （C）-2 （D）-4
二、填空题
9.若正数x,y满足x+4y=4，则xy的最大值为_________.
10.（2021·清远模拟）已知f(x)=log2(x-2)，若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3，则m+n的最小值为_________.
11.若当x>1时不等式恒成立，则实数m的取值范围是______.
12.若实数x,y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是________.
三、解答题
13.若x,y∈R，且满足（x2+y2+2）（x2+y2-1）-18≤0，
（1）求x2+y2的取值范围；
（2）求证：xy≤2.
14.已知x＞0，y＞0，且2x+8y-xy=0，
求（1）xy的最小值.（2）x+y的最小值.
15．（力气挑战题）东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本，并方案以后每年比上一年多投入100万元科技成本．估量产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是
若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．
(1)求出f(n)的表达式.
(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？

答案解析
1.【解析】选D.等价于求的最大值.
（当且仅当a=,b=时等号成立）.
【变式备选】下列结论中正确的是( )
（A）若，必有a>0,b>0
（B）要使成立，必需有a>0,b>0
（C）若a>0,b>0，且a+b=4，则
（D）若ab>0，则
【解析】选D.当a,b∈R时，确定有3a>0,3b>0，必有A错.要使成立，只要即可，这时只要a,b同号，B错.当a>0,b>0，且a+b=4时，则由于所以C错.当a>0,b>0时，所以而当a<0,b<0时，明显有所以当ab>0时，确定有故D正确.
2.【解析】选C.由x∈(1,+∞)，得x-1＞0,
∴当且仅当即时，等号成立,则
即a≥4，故选C.
3.【解析】选A.由于
可知当abc=1时，可推出反之，如a=1,b=4,c=9,
满足但abc=1不成立.
4.【解析】选A.该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，故一年的总运费与总存储费用之和为万元.
而当且仅当即x=20时,一年的总运费与总存储费用之和最小.
5.【解析】选D.由于x,y是实数，所以2x>0,2y>0，于是
当且仅当时取等号，故2x+2y的最小值是
6.【解析】选A. 设上山路程为h，同理下山路程为h，则依题意有

故t1>t2.
7.【解析】选C.由已知可得
当且仅当时取等号，即的最小值是
8.【思路点拨】将参数k分别到不等式的一边，然后用基本不等式求不等式另一边的最值，即可得到实数k的取值范围，从而求出其最小值.
【解析】选D.由而
当且仅当a=b时取等号，所以因此要使恒成立，
应有k≥-4，即实数k的最小值等于-4.
【方法技巧】不等式恒成立问题的解题方法
不等式的恒成立问题与函数最值有亲热的关系，解决不等式恒成立问题，通常先分别参数，再转化为最值问题来解：
c≥f(x)恒成立⇔c≥f(x)max;
c≤f(x)恒成立⇔c≤f(x)min.
9.【解析】由基本不等式可得于是xy≤1，当且仅当x=2,时取等号，故xy的最大值为1.
答案：1
10.【解析】由f(m)+f(2n)=3，得log2(m-2)+log2(2n-2)=3,即(m-2)(n-1)=4(m＞2,n＞1),
∴
当且仅当m-2=n-1，即m=4,n=3时，等号成立，故m+n的最小值为7.
答案：7
11.【思路点拨】关键是用基本不等式求的最小值，可将其分子依据分母x-1进行配方，然后分解为3项，再利用基本不等式求最值.
【解析】由于
当且仅当x=3时取等号，所以要使不等式恒成立，应有m2+1<6，解得.
答案：
12.【思路点拨】先对x2+y2变形，用x+y与xy表示，然后用基本不等式将xy转化为x+y，再解不等式得x+y的最大值.
【解析】由x2+y2+xy=1可得（x+y）2-xy=1，所以（x+y）2-1=xy，由于所以因此所以
即x+y的最大值是.
答案：
13.【解析】（1）(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0,即（x2+y2）2+（x2+y2）-20≤0,有（x2+y2+5）·（x2+y2-4）≤0， 由于x2+y2+5>0，所以有0≤x2+y2≤4.
（2）由（1）知x2+y2≤4，由基本不等式得所以xy≤2.
14.【思路点拨】把2x+8y-xy=0转化为即可.
【解析】（1）由2x+8y-xy=0，得，
又x＞0,y＞0，
则得xy≥64，
当且仅当时，等号成立.
所以xy的最小值为64.
（2）由2x+8y-xy=0，得，
则
=
当且仅当且时等号成立，
∴x+y的最小值为18.
15．【解析】(1)第n次投入后，产量为(10＋n)万件，销售价格为100元，固定成本为元，科技成本投入为100n万元．
所以，年利润为f(n)＝(10＋n)（100－）－100n(n∈N*)．
(2)由(1)知f(n)＝(10＋n)（100－）－100n
＝ (万元)．
当且仅当即n＝8时，利润最高，最高利润为520万元．
所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元.
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