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课时提升作业(四十八)
一、选择题
1.(2021·西安模拟)已知过点A(-2,m),B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m的值为( )
(A)0 (B)-8 (C)2 (D)10
2.点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最大值是( )
(A)2 (B)2-
(C)2+ (D)4
3.直线2x-y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( )
(A)x+2y-1=0 (B)2x+y-1=0
(C)2x+y-5=0 (D)x+2y-5=0
4.(2021·铜川模拟)直线(3m+2)x-(2m-1)y+5m+1=0必过定点( )
(A)(-1，-1) (B)(1，1)
(C)(1，-1) (D)(-1，1)
5.若曲线y=2x-x3在横坐标为-1的点处的切线为l,则点P(3,2)到直线l的距离为( )
(A) (B)
(C) (D)
6.若直线l1:y=kx+k+2与l2:y=-2x+4的交点在第一象限,则实数k的取值范围是
( )
(A)k>- (B)k<2
(C)-<k<2 (D)k<-或k>2
7.(2021·宝鸡模拟)已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0,则l1∥l2的充要条件是a等于( )
(A)3 (B)1 (C)-1 (D)3或-1
8.(2021·商洛模拟)已知b>0,直线x-b2y-1=0与直线(b2+1)x+ay+2=0相互垂直,则ab的最小值等于( )
(A)1 (B)2 (C)2 (D)2
9.设△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B,∠C的平分线方程分别为x=0,y=x,则直线BC的方程为( )
(A)y=2x+5 (B)y=2x+3
(C)y=3x+5 (D)y=-x+
10.(2021·上饶模拟)分别过点A(1,3)和点B(2,4)的直线l1和l2相互平行且有最大距离,则l1的方程是( )
(A)x-y-4=0 (B)x+y-4=0
(C)x=1 (D)y=3
11.若点A(3,5)关于直线l:y=kx的对称点在x轴上,则k是( )
(A) (B)±
(C) (D)
12.(力气挑战题)若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
(A)2 (B)3 (C)3 (D)4
二、填空题
13.已知坐标平面内两点A(x,-x)和B(,0),那么这两点之间距离的最小值是 .
14.已知定点A(1,1),B(3,3),动点P在x轴上,则|PA|+|PB|的最小值是 .
15.若直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离为 .
16.(2021·安庆模拟)已知直线l的倾斜角为π,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l1与直线l垂直,直线l2的方程为2x+by+1=0,且直线l2与直线l1平行,则a+b等于 .
三、解答题
17.(力气挑战题)如图,函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞).设点P是函数图像上任一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M,N.
(1)证明:|PM|·|PN|为定值.
(2)O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.
答案解析
1.【解析】选B.由已知直线2x+y-1=0的斜率k=-2,
又直线AB与直线2x+y-1=0平行,
所以kAB==-2,
解得m=-8.
2.【解析】选C.由点到直线的距离公式得d==2-sin(θ+),
又θ∈R,
∴dmax=2+.
【变式备选】点P(-1,3)到直线l:y=k(x-2)的距离的最大值等于( )
(A)2 (B)3 (C)3 (D)2
【解析】选C.直线l:y=k(x-2)的方程可化为kx-y-2k=0,所以点P(-1,3)到该直线的距离为d==3=3,由于≤1,所以d≤3,当且仅当k=1时取等号,所以距离的最大值等于3.
3.【解析】选C.设直线2x-y+1=0关于直线x=1对称的直线上任意一点的坐标为(x，y)，则(x，y)关于x=1的对称点坐标为(2-x，y)，代入直线2x-y+1=0可得所求直线方程为2x+y-5=0.
4.【解析】选D.由(3m+2)x-(2m-1)y+5m+1=0，得
m(3x-2y+5)+(2x+y+1)=0，
由得
即直线过定点(-1，1).
5.【思路点拨】先利用导数的几何意义求出切线l的方程,再求点P到直线l的距离.
【解析】选A.由题意得切点坐标为(-1,-1).切线斜率为k=y′=2-3×(-1)2=-1,故切线l的方程为y-(-1)=-1×[x-(-1)],整理得x+y+2=0,由点到直线的距离公式得:点P(3,2)到直线l的距离为=.
6.【解析】选C.由得
由得
∴-<k<2.
7.【解析】选C.由题意知解得a=-1.
8.【思路点拨】先由两直线垂直可得到关于a,b的一个等式,再将ab用一个字母来表示,进而求出最值.
【解析】选B.∵直线x-b2y-1=0与直线(b2+1)x+ay+2=0相互垂直,
∴(b2+1)-b2a=0,即a=,
∴ab=()b==b+≥2(当且仅当b=1时取等号),即ab的最小值等于2.
9.【思路点拨】分别求出点A关于∠B,∠C的平分线的对称点坐标,再利用角平分线的性质及两点式得BC的方程.
【解析】选A.点A(3,-1)关于直线x=0,y=x的对称点分别为A′(-3,-1),
A″(-1,3),由角平分线的性质知,点A′和点A″都在直线BC上,故得直线BC的方程为y=2x+5.
10.【解析】选B.当l1与l2之间距离最大时, l1⊥AB,故l1的斜率为-1,又过点A(1,3),由点斜式得l1的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.
11.【解析】选D.设点A(3,5)关于直线l:y=kx的对称点为B(x0,0),依题意得
解得k=.
12.【解析】选C.由题意知,M点的轨迹为平行于l1, l2且到l1, l2距离相等的直线l,其方程为x+y-6=0,
∴M到原点的距离的最小值d==3.
13.【解析】∵|AB|=
=,∴|AB|min==.
答案:
14.【解析】点A(1,1)关于x轴的对称点为C(1,-1),
则|PA|=|PC|,设BC与x轴的交点为M,
则|MA|+|MB|=|MC|+|MB|=|BC|=2.
由三角形两边之和大于第三边知,
当P不与M重合时,|PA|+|PB|=|PC|+|PB|>|BC|,
故当P与M重合时,|PA|+|PB|取得最小值2.
答案:2
15.【解析】由两直线平行的条件得3m=4×6,解得m=8,
此时直线6x+my+14=0的方程可化为3x+4y+7=0,
∴两直线3x+4y-3=0和3x+4y+7=0间的距离为d==2.
答案:2
【误区警示】本题求解时易不将6x+8y+14=0化简,直接求两平行线间的距离,得到d=或的错误,根本缘由是没能把握好两平行线间距离公式的应用条件.
16.【解析】由直线l的倾斜角得l的斜率为-1,l1的斜率为.∵直线l与l1垂直,∴=1,得a=0.又∵直线l2的斜率为-,l1∥l2,∴-=1,b=-2.因此a+b=-2.
答案:-2
17.【解析】(1)设P(x0,x0+)(x0>0).
则|PN|=x0,|PM|==,
因此|PM|·|PN|=1.
(2)连接OP,直线PM的方程为y-x0-=-(x-x0),
即y=-x+2x0+.
解方程组
得x=y=x0+,所以|OM|=x0+.
S四边形OMPN=S△NPO+S△OPM
=|PN|·|ON|+|PM|·|OM|
=x0(x0+)+(x0+)
=+(+)≥+1,
当且仅当x0=,即x0=1时等号成立,因此四边形OMPN面积的最小值为+1.
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