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课时提升作业(五十三)
一、选择题
1.不等式<6×的解集为( )
(A)[2,8] (B)[2,6]
(C)(7,12) (D){8}
2.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )
(A)6种 (B)12种 (C)24种 (D)30种
3.(2021·桂林模拟)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为( )
(A)300 (B)216 (C)180 (D)162
4.(2021·贺州模拟)在送医下乡活动中,某医院支配3名男医生和2名女医生到三所医院工作,每所医院至少支配一名医生,且女医生担忧排在同一医院工作,则不同的支配方法总数为( )
(A)78 (B)114 (C)108 (D)120
5.在1,2,3,4,5,6,7的任一排列中,使相邻两数都互质的排列方式种数共有
( )
(A)576 (B)720 (C)864 (D)1152
6.(力气挑战题)2022年山东文博会期间,某班有甲、乙、丙、丁四名同学参与了志愿者工作.将这四名同学支配到A,B,C三个不同的展馆服务,每个展馆至少支配一人.若甲要求不到A馆,则不同的支配方案有( )
(A)36种 (B)30种 (C)24种 (D)20种
7.用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间,这样的五位数有( )
(A)48个 (B)12个 (C)36个 (D)28个
8.已知集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},C={8,9},现在从这三个集合中的两个集合中各取出1个元素,则一共可以组成集合的个数为( )
(A)24 (B)36 (C)26 (D)27
9.(2021·南昌模拟)高三(一)班需要支配毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出挨次,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是
( )
(A)1800 (B)3600 (C)4320 (D)5040
10.(2021·衡水模拟)甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法种数为( )
(A)72种 (B)52种 (C)36种 (D)24种
二、填空题
11.(2021·玉林模拟)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参与某次社区服务,假如要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为 .
12.5名男性驴友到某旅游风景区游玩,晚上入住一家宾馆,宾馆有3间客房可选,一间客房为3人间,其余为2人间,则5人入住两间客房的不同方法有 种(用数字作答).
13.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 (用数字作答).
14.(2021·南宁模拟)如图,天花板挂着三串小玻璃球,第一串挂着2个小球,其次串挂着3个小球,第三串挂着4个小球,射击规章为:下面小球被击中后方可以射击上面的小球,若球A恰好在第五次射击中被击中,球B恰好在第六次射击中被击中,则这9个小球全部被击中的情形有(假设每次都击中) 种.
15.(力气挑战题)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个(用数字作答).
三、解答题
16.已知10件不同产品中共有4件次品,现对它们进行一一测试,直至找到全部次品为止.
(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第10次才找到最终一件次品的不同测试方法数有多少种?
(2)若恰在第5次测试后,就找出了全部次品,则这样的不同测试方法数有多少种?
答案解析
1.【解析】选D.
∴x2-19x+84<0,又x≤8,x-2≥0,
∴7<x≤8,x∈N*,即x=8.
2.【解析】选C.先求出全部两人各选修2门的种数为=36,再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为=6,故只恰好有1门相同的选法有24种.
3.【解析】选C.由于0元素的特殊性,可接受间接法:先排四位数,再排解0在首位的状况:所求的个数为:-=180.
4.【解析】选B.依题设可知,必定有一所医院支配一名医生.解决此问题可先分组后排列,分组方法,一类是1女,1女1男,2男,共有支配方法数为····=36(种);一类是1男,1女1男,1女1男,共有支配方法数为··=36(种);一类是1女,1女,3男,共有支配方法数为=6(种);一类是1女,1男,1女2男,共有支配方法数为··=36(种);共有36+36+6+36=
114(种)不同的方法.
5.【思路点拨】可先将彼此互质的数1,3,5,7作全排列,再处理6,2与4即可.
【解析】选C.先让数字1,3,5,7作全排列,有=24种,再排数字6,由于数字6不与3相邻,在排好的排列中,除3的左、右2个空隙,还有3个空隙可排数字6,故数字6有3种排法,最终排数字2,4,在剩下的4个空隙中排上2,4,有种排法,故共有×3×=864(种)排法.
6.【解析】选C.甲要求不到A馆,分三种状况:一是A馆只有1人,甲不是单独的,则有3×2×2=12(种);
二是A馆只有1人,甲是单独的,则有3×2=6(种);
三是A馆有2人,共有3×2=6(种),由分类计数原理知,共有12+6+6=24(种)不同的支配方案.
7.【解析】选D.若0夹在1,3之间,有×3×=12(个);若2或4夹在1,3中间,0在个位时,有·2·2=8(个),0在十位时有·2=4(个),0在千位时有·2=4(个),此时,有8+4+4=16(个),所以共有12+16=28(个).故选D.
8.【解析】选C.可以组成++=26(个)集合,故选C.
9.【解析】选B.利用插空法得排法种数为=3600.
10.【解析】选C.当丙在第一或第五位置时,有2=24(种)方法;当丙在其次或第四位置时,有2=8(种)方法;当丙在第三位置时,有=4(种)方法,则不同的排法种数为24+8+4=36.
【变式备选】2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有2位女生相邻,则不同排法的种数是( )
(A)60 (B)48 (C)42 (D)36
【解析】选B.方法一:从3位女生中任取2人“捆”在一起记作A(A共有=6种不同排法),剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙,则男生甲必需在A,B之间(若甲在A,B两端,则为使A,B不相邻,只有把男生乙排在A,B之间,此时就不能满足男生甲不在两端的要求),此时共有6×2=12(种)排法,最终再插入乙共有4个位置,所以,共有12×4=48(种)不同排法.
方法二:从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A(A共有=6种不同排法),剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三类状况:
第一类:A,B在两端,男生甲、乙在中间,共有6=24(种)排法;
其次类:A和男生乙在两端,则B和男生甲只有一种排法,此时共有6=12(种)排法;
第三类:B和男生乙在两端,同样中间A和男生甲也只有一种排法.
此时共有6=12(种)排法
三类之和为24+12+12=48(种).
11.【解析】方法一:4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种状况,故不同的选派方案种数为
·+·=2×4+1×6=14.
方法二:从4男2女中选4人共有种选法,4名都是男生的选法有种,故至少有1名女生的选派方案种数为-=15-1=14.
答案:14
12.【解析】由题意可知,5人入住的两间客房为一间3人间和一间2人间,则所求的不同方法有=20(种).
答案:20
13.【解析】对于7个台阶上每一个只站一人,则有种;若有一个台阶有2人,另一个是1人,则共有种,因此共有不同的站法种数是336种.
答案:336
14.【解析】依据题意,应当是前面四次射击击中了第一串中的1个小球,其次、三串中A,B下方的3个小球,并且在第三串球A的下方的2个小球,应当是有先后挨次的,只能依据从下到上的挨次射击,所以4个小球被击中的射击方法有种;射击完球A,B后,在每串上还各有1个小球,有种射击方案,所以总共有·=72(种)不同的情形.
答案:72
15.【思路点拨】可分个、十、百三位上全是偶数与其中一位是奇数,另两位是偶数分类,再分别排列求解.
【解析】∵个位、十位和百位上的数字之和为偶数,
∴这三个数或者都是偶数,或者有两个奇数一个偶数.
当个位、十位和百位上的数都为偶数时,则①此三位中有0,则有·4=3×6×4=72(个);②此三位中没有0,则有·3=6×3=18(个).
当个位、十位和百位上有两个奇数一个偶数时,
则①此三位中有0,则有·4=3×6×4=72(个);②此三位中没有0,则有·3=162(个),∴总共有72+18+72+162=324(个).
答案:324
【方法技巧】
1.解决排列组合综合问题,应遵循三大原则:先特殊后一般、先取后排、先分类后分步的原则.
2.解决排列组合综合问题的基本类型
主要包括:排列中的“在与不在”、组合中的“有与没有”,还有“相邻与不相邻”“至少与至多”“支配与分组”等.
3.解决排列组合综合问题中的转化思想
转化思想就是把一些排列组合问题与基本类型相联系,从而把问题转化为基本类型,然后加以解决.
16.【解析】(1)先排前4次测试,只能取正品,有种不同测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试,有=种测法,再排余下4件的测试位置,有种测法.所以共有不同的测试方法=103680(种).
(2)第5次测试恰找到最终一件次品,另3件在前4次中毁灭,从而前4次有1件正品毁灭.所以共有不同测试方法=576(种).
【变式备选】20个相同的小球,全部装入编号为1,2,3的三个盒子里,每个盒子内所放的球数不小于盒子的编号数,求共有多少种不同的放法?
【解析】首先在2号盒内放一个球,在3号盒内放两个球,然后将余下的17个球摆成一横排,用两块隔板将其分割成三组,每组至少有1个球,再将三组球分别放入三个盒子里即可.
由于17个球除两端外侧共有16个空,所以共有=120(种)不同放法.
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