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课时提升作业(三十三)
一、选择题
1.(2021·铜川模拟)数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列且bn=an+1-an,若b3=-2,
b2=12,则a8=( )
(A)0 (B)-109 (C)-78 (D)11
2.(2022·海淀模拟)已知数列{an}满足:a1=1,an>0,-=1(n∈N+),那么使an<5成立的n的最大值为( )
(A)4 (B)5 (C)24 (D)25
3.已知向量a=(an,2),b=(an+1,),且a1=1,若数列{an}的前n项和为Sn,且a∥b,则Sn=( )
(A)[1-()n] (B)[1-()n]
(C)[1-()n-1] (D)[1-()n-1]
4.等差数列{an}的前n项和为Sn,若(S8-S5)(S8-S4)<0,则( )
(A)|a6|>|a7| (B)|a6|<|a7|
(C)|a6|=|a7| (D)a6=0
5.(2021·石家庄模拟)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给五个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,问最小一份为( )
(A) (B)
(C) (D)
6.已知数列{an}为等差数列,公差为d,若<-1,且它的前n项和Sn有最大值,则使得Sn<0的n的最小值为( )
(A)11 (B)19 (C)20 (D)21
7.(2021·商洛模拟)已知函数f(x)=x2+2bx过(1,2)点,若数列{}的前n项和为Sn,则S2 012的值为( )
(A) (B)
(C) (D)
8.(力气挑战题)甲、乙两间工厂的月产值在2022年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2022年11月份发觉两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂2022年6月份的月产值大小,则有( )
(A)甲的产值小于乙的产值
(B)甲的产值等于乙的产值
(C)甲的产值大于乙的产值
(D)不能确定
二、填空题
9.设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列{}的前n项和Sn等于 .
10.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此连续下去,则至少应倒 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
11.设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项an= .
12.(力气挑战题)数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=2x+1上,n∈N+,若数列{an}是等比数列,则实数t= .
三、解答题
13.(2021·西安模拟)设x1，x2是方程anx2-an+1x-(3n+1)=0(n∈N+)的两个根，x1+x2+x1x2=2，a1=4.在{an}中，a2=32，a8=，an+1<an.
(1)求证:数列{an-3n+1}是等比数列.
(2)设数列{}的前n项的和为Sn，证明:<Sn<.
14.(2022·安徽高考)设函数f(x)=+sinx的全部正的微小值点从小到大排成的数列为{xn}.
(1)求数列{xn}的通项公式.
(2)设{xn}的前n项和为Sn,求sinSn.
15.(2021·新余模拟)已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=anan+1,数列{an}的前n项和为Sn.
(1)求证:数列{}为等差数列.
(2)设Tn=S2n-Sn,求证:Tn+1>Tn.
答案解析
1.【解析】选B.数列{bn}的公差为-14,故b1=26,a8-a1=b1+b2+…+b7=7×26+×(-14)=-112,故a8=-109.
2.【解析】选C.由a1=1,an>0,-=1(n∈N+)可得=n,即an=,要使an<5,则n<25,故选C.
3.【解析】选A.由向量a∥b,得an=2an+1,
即=,数列{an}是公比为的等比数列,则
Sn==[1-()n].
4.【解析】选A.由(S8-S5)(S8-S4)<0知
S8-S5>0且S8-S4<0或S8-S5<0且S8-S4>0,
当S8-S5>0且S8-S4<0时,
有
∴∴|a6|>|a7|.
当S8-S5<0且S8-S4>0时,
有
∴
∴|a6|>|a7|,故选A.
5.【解析】选A.设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d>0),则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,∴a=20.
由(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d=7(2a-3d),∴24d=11a,∴d=,
所以,最小的一份为a-2d=20-=.
6.【思路点拨】解答本题首先要搞清条件“<-1”及“Sn有最大值”如何使用,从而列出关于a1,d的不等式组,求出的取值范围,进而求出访得Sn<0的n的最小值,或者依据等比数列的性质求解.
【解析】选C.方法一:由题意知d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0,
由得-<<-9.
∵Sn=na1+d=n2+(a1-)n,
由Sn=0得n=0或n=1-.
∵19<1-<20,
∴Sn<0的解集为{n∈N+|n>1-},
故使得Sn<0的n的最小值为20.
方法二:由题意知d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0,
由a10>0知S19>0,由a11<0知S21<0,
由a10+a11<0知S20<0,故选C.
7.【解析】选D.由函数f(x)=x2+2bx过(1,2)点,
得b=,
∴==-,
S2022=++…+
=(1-)+(-)+…+(-)=.
8.【解析】选C.设甲各个月份的产值构成数列{an},乙各个月份的产值构成数列{bn},则数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,且a1=b1,a11=b11,故a6=≥===b6,由于在等差数列{an}中的公差不等于0,故a1≠a11,上面的等号不能成立,故a6>b6,即6月份甲的产值大于乙的产值.
9.【解析】∵y'=nxn-1-(n+1)xn,∴y'|x=2=n·2n-1-(n+1)·2n=-n·2n-1-2n,
∴切线方程为y+2n=(-n·2n-1-2n)(x-2),
令x=0得y=(n+1)·2n,即an=(n+1)·2n,
∴=2n,∴Sn=2n+1-2.
答案：2n+1-2
10.【解析】设开头纯酒精体积与总溶液体积之比为1,操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a1=,设操作n次后,纯酒精体积与总溶液体积之比为an,则an+1=an·,
∴an=a1qn-1=()n,∴()n<,得n≥4.
答案：4
【方法技巧】建模解数列问题
对于数列在日常经济生活中的应用问题,首先分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系,然后构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题,最终通过建立的关系求出相关量.
11.【解析】∵a1=2,an+1=an+n+1,
∴an=an-1+(n-1)+1,an-1=an-2+(n-2)+1,
an-2=an-3+(n-3)+1,…,a3=a2+2+1,
a2=a1+1+1,a1=2=1+1,
将以上各式相加得:
an=[(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1]+n+1
=+n+1
=+n+1
=+1.
答案：+1
12.【思路点拨】得出关于an+1,Sn的式子,降低一个角标再得一个关于an,Sn-1的式子,两个式子相减后得出an+1,an的关系,可得数列{an}中,a2,a3,a4,…为等比数列,只要等于上面数列的公比即可.
【解析】由题意得an+1=2Sn+1,
an=2Sn-1+1(n≥2),
两式相减得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2),
所以当n≥2时,{an}是等比数列,
要使n≥1时,{an}是等比数列,则只需
==3,从而t=1.
答案：1
13.【证明】(1)-=2，
an+1=2an+3n+1，
an+1-3n+1+1=2an+3n+1-3n+1+1=2(an-3n+1)，
∵a1=4，∴an-3n+1≠0，∴=2，
∴{an-3n+1}是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)an=3n+2n-1，
∵当n=1时，a1=4，∴<S1<.
∵当n≥2时，=<=，
∴Sn<+++…+=-<.
∵=>=·，
∴Sn>(+++…+)
=(1-)>(1-)=.
∴综上，<Sn<(n∈N+)成立.
14.【思路点拨】(1)依据导数,xn的左侧导函数小于0,xn的右侧导函数大于0,求出微小值点.(2)由(1)求出{xn}的前n项和为Sn,再代入sinSn求解.
【解析】(1)f(x)=+sinx,令f'(x)=+cosx=0,得x=2kπ±(k∈Z),
f'(x)>0⇒2kπ-<x<2kπ+(k∈Z),
f'(x)<0⇒2kπ+<x<2kπ+(k∈Z),
当x=2kπ-(k∈Z)时,f(x)取微小值,
xn=2nπ-(n∈N+).
(2)由(1)得:xn=2nπ-,
Sn=x1+x2+x3+…+xn
=2π(1+2+3+…+n)-=n(n+1)π-.
当n=3k(k∈N+)时,sinSn=sin(-2kπ)=0,
当n=3k-1(k∈N+)时,sinSn=sin=,
当n=3k-2(k∈N+)时,sinSn=sin=-.
所以sinSn=
15.【解析】(1)易知an≠0,由an-an+1=anan+1,
从而得-=1.
∵a1=1,
∴数列{}是首项为1,公差为1的等差数列.
(2)∵=n,
则an=,
∴Sn=1+++…+.
所以Tn=S2n-Sn
=1+++…+++…+-(1+++…+)
=++…+.
∵Tn+1-Tn=++…+-(++…+)
=+-
=-=>0,
∴Tn+1>Tn.
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