【2021届备考】2021届全国名校数学试题分类解析汇编(12月第四期)J单元-计数原理.docx

J单元计数原理名目J单元计数原理1J1基本计数原理1J2排列、组合1J3二项式定理1J4 单元综合5J1基本计数原理J2排列、组合J3二项式定理【数学理卷2021届江苏省扬州中学高三上学期质量检测（12月）（202212）】4.已知开放式的各项依次记为设函数（1） 若的系数依次成等差数列，求正整数的值；（2） 求证：恒有【学问点】二项式定理；等差数列的性质。D2 J3【答案】【解析】（1）8；（2）见解析解析：（1）由题意知的系数依次为解得（2）=令令设则考虑到将以上两式相加得又当时，恒成立，从而是上的单调增函数，【思路点拨】（1）利用二项开放式的通项公式求出开放式的通项，求出前三项的系数，据的系数依次成等差数列，列出方程求出n的值；（2）先利用到序相加法求出F（2）F（0）的值，利用导数推断出F（x）的单调性，得证【数学理卷2021届四川省成都外国语学校高三12月月考（202212）】21、（本小题满分14分）已知二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数，设。 （1）求的值； （2）如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点。 （3）若，且，求证：。【学问点】一元二次不等式 导数的应用 二项式定理 基本不等式E3 E6 B12 J3【答案】【解析】（1）-2；（2）当m0时，k取任意实数，函数（x）有微小值点x2；当m0时，函数（x）有微小值点x2，有极大值点x1（其中）；（3）略解析：（1）关于x的不等式f（x）（2m-1）x+1-m2的解集为（m，m+1），即不等式x2+（a+1-2m）x+m2+m0的解集为（m，m+1），x2+（a+1-2m）x+m2+m=（x-m）（x-m-1）x2+（a+1-2m）x+m2+m=x2-（2m+1）x+m（m+1）a+1-2m=-（2m+1）a=-2（2）由（1）得 （x）=g（x）-kln（x-1）=-kln（x-1）的定义域为（1，+）方程x2-（2+k）x+k-m+1=0（*）的判别式=（2+k）2-4（k-m+1）=k2+4m， 当m0时，0，方程（*）的两个实根为，则x（1，x2）时，；x（x2，+）时，函数（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+）上单调递增函数（x）有微小值点x2， 当m0时，由0，得或，若，则，故x（1，+）时，函数（x）在（1，+）上单调递增函数（x）没有极值点若时，则x（1，x1）时，；x（x1，x2）时，；x（x2，+）时，函数（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+）上单调递增函数（x）有微小值点x2，有极大值点x1 综上所述，当m0时，k取任意实数，函数（x）有微小值点x2；当m0时，函数（x）有微小值点x2，有极大值点x1（其中）（3）证明：m=1，g（x）= =,令T=，则T=,x0，2T=2（2n-2）T2n-2，即g（x+1）n-g（xn+1）2n-2【思路点拨】本题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、导数的应用、均值不等式等，其中利用导数求函数的极值点应留意在其定义域内解答，对于第三问也可以用数学归纳法证明【数学理卷2021届四川省成都外国语学校高三12月月考（202212）】3. 若的开放式中项的系数为280，则= （ ）AB C D【学问点】二项式定理J3【答案】【解析】C解析：由于，由7-2r=1，得r=3,所以，解得a=,则选C.【思路点拨】一般遇到开放式的项或项的系数问题，通常利用开放式的通项公式解答.J4 单元综合