资源描述
J单元 计数原理
名目
J单元 计数原理 1
J1 基本计数原理 1
J2 排列、组合 1
J3 二项式定理 1
J4 单元综合 5
J1 基本计数原理
J2 排列、组合
J3 二项式定理
【数学理卷·2021届江苏省扬州中学高三上学期质量检测（12月）（202212）】4.已知开放式的各项依次记为设函数
（1） 若的系数依次成等差数列，求正整数的值；
（2） 求证：恒有
【学问点】二项式定理；等差数列的性质。D2 J3
【答案】【解析】（1）8；（2）见解析
解析：（1）由题意知
∵的系数依次为
∴解得
（2）
=
令
令
设
则考虑到将以上两式相加得∴
又当时，恒成立，从而是上的单调增函数，
∴
【思路点拨】（1）利用二项开放式的通项公式求出开放式的通项，求出前三项的系数，据的系数依次成等差数列，列出方程求出n的值；（2）先利用到序相加法求出F（2）﹣F（0）的值，利用导数推断出F（x）的单调性，得证．
【数学理卷·2021届四川省成都外国语学校高三12月月考（202212）】21、（本小题满分14分）已知二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数，设。
（1）求的值；
（2）如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点。
（3）若，且，求证：。
【学问点】一元二次不等式 导数的应用 二项式定理 基本不等式E3 E6 B12 J3
【答案】【解析】（1）-2；（2）当m＞0时，k取任意实数，函数φ（x）有微小值点x2；当m＜0时，函数φ（x）有微小值点x2，有极大值点x1．
（其中）；（3）略
解析：（1）∵关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集为（m，m+1），即不等式x2+（a+1-2m）x+m2+m＜0的解集为（m，m+1），∴x2+（a+1-2m）x+m2+m=（x-m）（x-m-1）．∴x2+（a+1-2m）x+m2+m=x2-（2m+1）x+m（m+1）．∴a+1-2m=-（2m+1）．∴a=-2．
（2）由（1）得 ．
∴φ（x）=g（x）-kln（x-1）=-kln（x-1）的定义域为（1，+∞）．∴．
方程x2-（2+k）x+k-m+1=0（*）的判别式△=（2+k）2-4（k-m+1）=k2+4m，
① 当m＞0时，△＞0，方程（*）的两个实根为，则x∈（1，x2）时，；x∈（x2，+∞）时，．∴函数φ（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有微小值点x2，
② 当m＜0时，由△＞0，得或，若，则，故x∈（1，+∞）时，，∴函数φ（x）在（1，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）没有极值点．若时，，则x∈（1，x1）时，；
x∈（x1，x2）时，；x∈（x2，+∞）时，．∴函数φ（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有微小值点x2，有极大值点x1．
综上所述，当m＞0时，k取任意实数，函数φ（x）有微小值点x2；当m＜0时，函数φ（x）有微小值点x2，有极大值点x1．
（其中）
（3）证明：∵m=1，∴g（x）=．
∴
= =,令T=，则T=,∵x＞0，
∴2T=≥
==2（2n-2）．
∴T≥2n-2，即[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2．
【思路点拨】本题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、导数的应用、均值不等式等，其中利用导数求函数的极值点应留意在其定义域内解答，对于第三问也可以用数学归纳法证明．
【数学理卷·2021届四川省成都外国语学校高三12月月考（202212）】3. 若的开放式中项的系数为280，则= （ ）
A． B． C． D．
【学问点】二项式定理J3
【答案】【解析】C
解析：由于，由7-2r=1，得r=3,所以，解得a=,则选C.
【思路点拨】一般遇到开放式的项或项的系数问题，通常利用开放式的通项公式解答.
J4 单元综合
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