2020年人教A版数学理(广东用)课时作业：第八章-第六节椭-圆.docx

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课时提升作业(五十五)
一、选择题
1.(2021·珠海模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是(　　)
(A)+=1 (B)+=1
(C)+y2=1 (D)+=1
2.(2021·韶关模拟)已知曲线C上的动点M(x,y),向量a=(x+2,y)和b=(x-2,y)满足|a|+|b|=6,则曲线C的离心率是(　　)
(A) (B) (C) (D)
3.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是(　　)
(A)圆 (B)椭圆
(C)双曲线 (D)抛物线
4.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为(　　)
(A) (B) (C) (D)
5.(2021·重庆模拟)已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,点B也在椭圆上,且满足+=0(O为坐标原点),·=0,若椭圆的离心率等于,则直线AB的方程是(　　)
(A)y=x (B)y=-x
(C)y=-x (D)y=x
6.(2021·广州模拟)已知椭圆+=1,若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是(　　)
(A)(-,) (B)(-,)
(C)(-,) (D)(-,)
二、填空题
7.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为　　　　.
8.(2021·湛江模拟)设F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,点A,B在椭圆上,若=5,则点A的坐标是　　　　.
9.已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,以原点O为圆心,OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A,B两点,若△F2AB是等边三角形,则椭圆的离心率等于　　　　.
三、解答题
10.(2022·广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上,
(1)求椭圆C1的方程.
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.
11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点F及点A(0,b),原点O到直线FA的距离为b.
(1)求椭圆C的离心率e.
(2)若点F关于直线l:2x+y=0的对称点P在圆O:x2+y2=4上,求椭圆C的方程及点P的坐标.
12.(力气挑战题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.
(1)求椭圆C的方程.
(2)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C相交于A,B两点.
①若线段AB中点的横坐标为-,求斜率k的值;
②已知点M(-,0),求证:·为定值.

答案解析
1.【解析】选A.圆C的方程可化为(x-1)2+y2=16.
知其半径r=4,
∴长轴长2a=4,∴a=2.
又e==,
∴c=1,b2=a2-c2=4-1=3,
∴椭圆的标准方程为+=1.
2.【解析】选A.由于|a|+|b|=6表示动点M(x,y)到两点(-2,0)和(2,0)距离的和为6,所以曲线C是椭圆,且长轴长2a=6,即a=3,又c=2,∴e=.
3.【解析】选B.点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆的定义知,P的轨迹是椭圆.
4.【解析】选B.由题意知点P的坐标为(-c,)或(-c,-),由于∠F1PF2=60°,那么=,
∴2ac=b2,这样依据a,b,c的关系式化简得到结论为.
5.【思路点拨】由+=0知,A,B两点关于原点对称,设出A点坐标,利用向量列方程求解.
【解析】选A.设A(x1,y1),由于+=0,所以
B(-x1,-y1),=(c-x1,-y1),=(2c,0),
又由于·=0,所以(c-x1,-y1)·(2c,0)=0,即x1=c,代入椭圆方程得y1=,由于离心率e=,所以,a=c,b=c,A(c,),所以直线AB的方程是y=x.
6.【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),
AB的中点M(x,y),kAB==-,
x1+x2=2x,y1+y2=2y,3+4=12　①,
3+4=12　②,
①②两式相减得3(-)+4(-)=0,
即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部,
则+<1,即-<m<.
【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧
对于直线与椭圆相交问题,若题设和待求涉及弦的中点和所在直线的斜率,求解时一般先设交点坐标,代入曲线方程,再用平方差公式求解,这种解法,大大削减了将直线方程与椭圆方程联立求解带来的繁杂运算.
7.【解析】依据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a>b>0).
∵e=,∴=.依据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,所以椭圆方程为+=1.
答案:+=1
8.【解析】依据题意设A点坐标为(m,n),B点坐标为(c,d),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,其坐标分别为(-,0),(,0),可得=(m+,n),=(c-,d).∵=5,∴c=,d=.∵点A,B都在椭圆上,∴+n2=1,+()2=1.解得m=0,n=±1,故点A坐标为(0,±1).
答案:(0,±1)
9.【解析】由于△F2AB是等边三角形,所以A(-,c)在椭圆+=1上,所以+=1,由于c2=a2-b2,
所以,4a4-8a2c2+c4=0,即e4-8e2+4=0,
所以,e2=4±2,e=-1或e=+1(舍).
答案:-1
【误区警示】本题易毁灭答案为-1或+1的错误,其错误缘由是没有留意到或不知道椭圆离心率的范围.
10.【解析】(1)由题意得c=1,b=1,a==,
∴椭圆C1的方程为+y2=1.
(2)由题意得直线的斜率确定存在且不为0,设直线l方程为y=kx+m.
由于椭圆C1的方程为+y2=1,
∴
消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
直线l与椭圆C1相切,
∴Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)=0.
即2k2-m2+1=0.　①
直线l与抛物线C2:y2=4x相切,
则
消去y得k2x2+(2km-4)x+m2=0.
∴Δ=(2km-4)2-4k2m2=0,即km=1.　②
由①②解得k=,m=;k=-,m=-.
所以直线l的方程y=x+,y=-x-.
11.【解析】(1)由点F(-ae,0),点A(0,b)及b=a得直线FA的方程为+=1,
即x-ey+ae=0.
∵原点O到直线FA的距离b=ae,
∴·a=ea.
解得e=.
(2)方法一:设椭圆C的左焦点F(-a,0)关于直线l:2x+y=0的对称点为P(x0,y0),
则有
解得x0=a,y0=a.
∵P在圆x2+y2=4上,
∴(a)2+(a)2=4.
∴a2=8,b2=(1-e2)a2=4.
故椭圆C的方程为+=1,点P的坐标为(,).
方法二:∵F(-a,0)关于直线l的对称点P在圆O上,
又直线l:2x+y=0经过圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0),
∴F(-a,0)也在圆O上.
从而(-a)2+02=4,a2=8,b2=(1-e2)a2=4.
故椭圆C的方程为+=1.
∵F(-2,0)与P(x0,y0)关于直线l对称,
∴解得x0=,y0=.
故点P的坐标为(,).
12.【解析】(1)由于+=1(a>b>0)满足a2=b2+c2,=,×b×2c=.
解得a2=5,b2=,则椭圆C方程为+=1.
(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),则将y=k(x+1)代入+=1中得
(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0,
Δ=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)
=48k2+20>0,
x1+x2=-,
由于AB中点的横坐标为-,
所以-=-,解得k=±.
②由①知x1+x2=-,x1x2=,
所以·=(x1+,y1)·(x2+,y2)
=(x1+)·(x2+)+y1y2
=(x1+)(x2+)+k2(x1+1)(x2+1)
=(1+k2)x1x2+(+k2)(x1+x2)++k2
=(1+k2)+(+k2)(-)++k2
=++k2=(定值).
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