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1.1.1 正弦定理(二)
课时目标 1.熟记正弦定理的有关变形公式.2.能够运用正弦定理进行简洁的推理与证明．
1．正弦定理：＝＝＝2R的常见变形：
(1)sin A∶sin B∶sin C＝________；
(2)＝＝＝＝______；
(3)a＝__________，b＝__________，c＝__________；
(4)sin A＝________，sin B＝________，sin C＝____________.
2．三角形面积公式：S＝__________＝____________＝______________.
一、选择题
1．在△ABC中，sin A＝sin B，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．在△ABC中，sin A＝，a＝10，则边长c的取值范围是( )
A. B．(10，＋∞)
C．(0,10) D.
4．在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形确定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( )
A．6∶5∶4 B．7∶5∶3
C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
6．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )
A．1 B．2
C. D．4
二、填空题
7．在△ABC中，已知a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝，b＝1，则c＝________.
9．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.
10．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.
三、解答题
11．在△ABC中，求证：＝.
12．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试推断△ABC的外形．
力气提升
13．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为( )
A．45° B．60° C．75° D．90°
14．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，cos ＝，求△ABC的面积S.
1．在△ABC中，有以下结论：
(1)A＋B＋C＝π；
(2)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C；
(3)＋＝；
(4)sin ＝cos ，cos ＝sin ，tan ＝.
2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形外形的推断、三角恒等式的证明．
1．1.1 正弦定理(二)
答案
学问梳理
1．(1)a∶b∶c (2)2R (3)2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C (4) 2.absin C bcsin A casin B
作业设计
1．D
2．B [由正弦定理知：＝＝，∴tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C.]
3．D [∵＝＝，∴c＝sin C．∴0<c≤.]
4．A [由a＝2bcos C得，sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.]
5．B [∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，
∴＝＝.
令＝＝＝k (k>0)，
则，解得.
∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3.]
6．A [设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，得R＝1，由S△＝absin C＝＝＝，∴abc＝1.]
7．2
解析 ∵cos C＝，∴sin C＝，∴absin C＝4，∴b＝2.
8．2
解析 由正弦定理＝，得＝，
∴sin B＝，故B＝30°或150°.由a>b，
得A>B，∴B＝30°，故C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
9．7
解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，
∴＝＝＝2R＝2，
∴＋＋＝2＋1＋4＝7.
10．12 6
解析 ＝＝＝12.
∵S△ABC＝absin C＝×6×12sin C＝18，
∴sin C＝，∴＝＝12，∴c＝6.
11．证明 由于在△ABC中，＝＝＝2R，
所以左边＝＝＝＝＝右边．
所以等式成立，即＝.
12．解 设三角形外接圆半径为R，则a2tan B＝b2tan A
＝
＝
sin Acos A＝sin Bcos B
sin 2A＝sin 2B
2A＝2B或2A＋2B＝π
A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
13．C [设C为最大角，则A为最小角，则A＋C＝120°，
∴＝＝＝＋＝＝＋，
∴tan A＝1，A＝45°，C＝75°.]
14．解 cos B＝2cos2 －1＝，
故B为锐角，sin B＝.
所以sin A＝sin(π－B－C)＝sin＝.
由正弦定理得c＝＝，
所以S△ABC＝acsin B＝×2××＝.
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