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§2.3 变量的相关性
课时目标 1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据，作出散点图，并利用散点图直观生疏变量间的相关关系.2.经受用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想，能依据给出的回归直线方程系数公式建立回归直线方程．
1．两个变量间的相互关系
变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的______关系，另一类是带有随机性的______关系．
2．相关关系的分类
(1)正相关：假如一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也____________，这种相关称为正相关．
(2)负相关：假如一个变量的值由小变大时，另一个变量的值____________，这种相关称为负相关．
3．散点图
在一个统计数表中，为了更清楚地看出x和y是否具有相关关系，常将x的取值作为_ _________，将y的相应取值作为________，在直角坐标中描点___，这样的图形叫散点图．
4．回归直线方程
一般地，设x和y是具有相关关系的两个变量，且对应于n个观测值的n个点大致分布在一条直线的四周，若所求的直线方程＝＋x，则
我们将这个方程叫做y对x的________________，叫做__________，相应的直线叫做回归直线．
5．最小二乘法
设x、y的一组观看值为(xi，yi)，i＝1,2，…，n，且回归直线方程为＝a＋bx，当x取值xi(i＝1,2，…，n)时，Y的观看值为yi，差yi－i(i＝1,2，…，n)刻画了实际观看值yi与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即Q＝______________________作为总离差，并使之达到______．这样，回归直线就是全部直线中Q取__________的那一条，由于平方又叫二乘方，所以这种使“________________”的方法，叫最小二乘法．
一、选择题
1．下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系？( )
A．匀速行驶车辆的行驶距离与时间
B．圆半径与圆的面积
C．正n边形的边数与内角度数之和
D．人的年龄与身高
2．下列有关线性回归的说法，不正确的是( )
A．变量取值确定时，因变量的取值带有确定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图
C．回归直线方程最能代表观测值x、y之间的关系
D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程
3．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为 ＝60＋90x，下列推断正确的是( )
A．劳动生产率为1千元时，工资为50元
B．劳动生产率提高1千元时，工资提高150元
C．劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元
D．劳动生产率为1千元时，工资90元
4．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归直线方程可能是( )
A. ＝－10x＋200 B. ＝10x＋200
C. ＝－10x－200 D. ＝10x－200
5．给出两组数据x、y的对应值如下表，若已知x、y是线性相关的，且回归直线方程： ＝ ＋ x，经计算知： ＝－1.4，则 为( )
x
4
5
6
7
8
y
12
10
9
8
6
A. 17.4 B．－1.74
C．0.6 D．－0.6
6．回归直线方程表示的直线 ＝ ＋ x必经过点( )
A．(0,0) B．(，0)
C．(，) D．(0，)
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．若对某个地区人均工资x与该地区人均消费y进行调查统计得y与x具有相关关系，且回归直线方程 ＝0.7x＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估量该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．
8．设有一个回归直线方程 ＝3－2.5x，当变量x增加一个单位时，变量y________个单位．
9．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名同学的成果进行分析，得到数学成果y对总成果x的回归直线方程为 ＝6＋0.4x.由此可以估量：若两个同学的总成果相差50分，则他们的数学成果大约相差________分．
三、解答题
10．下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比表：
平均气温(℃)
－1
4
10
13
18
26
数量(百个)
20
24
34
38
50
64
若已知游客数量与平均气温是线性相关的，求回归直线方程．
11．5个同学的数学和物理成果(单位：分)如下表：
同学
学科
A
B
C
D
E
数学
80
75
70
65
60
物理
70
66
68
64
62
画出散点图，推断它们是否具有相关关系，若相关，求出回归直线方程．
力气提升
12．在争辩硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：
温度x(℃)
0
10
20
50
70
溶解度y
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
则由此得到回归直线的斜率约为________．
13．20世纪初的一项关于16艘轮船的争辩显示，轮船的吨位从192～3246吨，船员的数目从5～32人，对船员人数关于轮船的吨位数的回归分析得：船员人数＝9.5＋0.006 2×轮船吨位．(不足1人的舍去)
(1)假设两轮船吨位相差1 000吨，船员人数平均相差多少？
(2)对于最小的轮船估量的船员人数是多少？对于最大的轮船估量的船员人数是多少？
1． 由最小二乘法得
其中： 是回归直线方程的斜率， 是截距．
2． 回归直线方程的求解过程
3．在回归直线方程 ＝ x＋ 中，当回归系数 >0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当x每增加一个单位时y就增加 个单位；当 <0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当x每增加一个单位时，y就削减| |个单位．
§2.3 变量的相关性
学问梳理
1．函数 相关 2.(1)由小变大 (2)由大变小
3．横坐标 纵坐标 (xi，yi)(i＝1,2，…，n)
4. － 回归直线方程 回归系数
5. (yi－a－bxi)2 最小 最小值 离差平方和为最小
作业设计
1．D [人的年龄与身高具有相关关系．]
2．D [只有全部的数据点都分布在一条直线四周时，才能得到具有代表意义的回归直线．]
3．C [因工人月工资与劳动生产率变化的回归直线方程为 ＝60＋90x，当x由a提高到a＋1时， 2－ 1＝60＋90(a＋1)－60－90a＝90.]
4．A [∵y与x负相关，∴排解B、D，又∵C项中x>0时 <0不合题意，∴C错．]
5．A [＝(4＋5＋6＋7＋8)＝6，
＝(12＋10＋9＋8＋6)＝9.
＝－ ＝9＋1.4×6＝9＋8.4＝17.4.]
6．C [由 ＝－ 得＝ ＋ ，即点(，)适合方程 ＝ x＋ .]
7．87.5%
解析 设该地区人均工资收入为，则＝0.7＋2.1，
当＝10.5时，＝＝12. ×100%＝87.5%.
8．削减2.5
解析 ′＝3－2.5(x＋1)＝3－2.5x－2.5＝ －2.5，
因此，y的值平均削减2.5个单位．
9．20
解析 令两人的总成果分别为x1，x2. 则对应的数学成果估量为
＝6＋0.4x1， 2＝6＋0.4x2，
所以| 1－ 2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.
10．解 ＝＝，＝＝，x＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286，xiyi＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3 474.
＝＝≈1.68，
＝－ ≈18.73，
即所求的回归直线方程为 ＝1.68x＋18.73.
11．解 以x轴表示数学成果，y轴表示物理成果，可得到相应的散点图如图所示：
由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为线性相关．
列表，计算
i
1
2
3
4
5
xi
80
75
70
65
60
yi
70
66
68
64
62
xiyi
5 600
4 950
4 760
4 160
3 720
x
6 400
5 625
4 900
4 225
3 600
＝70，＝66，x＝24 750，xiyi＝23 190
设所求回归直线方程为 ＝ x＋ ，则由上表可得
＝＝＝0.36，
＝－ ＝40.8.
∴所求回归直线方程为 ＝0.36x＋40.8.
12．解析 ＝30，＝93.6，x＝7 900，
xiyi＝17 035，
所以回归直线的斜率
＝＝≈0.880 9.
13．解 (1)由 ＝9.5＋0.006 2x可知，当x1与x2相差1 000吨时，船员平均人数相差 1－ 2＝(9.5＋0.006 2x1)－(9.5＋0.006 2x2)＝0.006 2×1000≈6(人)．
(2)当取最小吨位192时，估量船员人数为 ＝9.5＋0.006 2×192≈10(人)．
当取最大吨位3 246时，估量船员人数为＝9.5＋0.006 2×3 246≈29(人)．
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