(人教A版)数学必修1同步测试：本册综合素能检测-Word版含答案.docx

本册综合素能检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是(　　)
A．A⊆B 　 B．A∩B＝{2}
C．A∪B＝{1,2,3,4,5} D．A∩(∁UB)＝{1}
[答案]　D
[解析]　A明显错误；A∩B＝{2,3}，B错；A∪B＝{1,2,3,4}，C错，故选D.
2．(2021·全国高考陕西卷理，1题)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝(　　)
A．[0,1] B．(0,1]
C．[0,1) D．(－∞，1]
[答案]　A
[解析]　M＝{0,1}，N＝{x|0<x≤1}，
∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，故选A.
3．已知方程kx＋3＝log2x的根x0满足x0∈(1,2)，则(　　)
A．k＜－3 B．k＞－1
C．－3＜k＜1 D．k＜－3或k＞－1
[答案]　C
[解析]　令f(x)＝kx＋3－log2x，
∵x0∈(1,2)，∴f(1)·f(2)＜0，
即(k＋3)(2k＋2)＜0，
∴－3＜k＜－1.
4．下列函数中，在R上单调递减的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝log2x
C．y＝x2 D．y＝()x
[答案]　D
[解析]　由四种函数的图象可知D正确．
5．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．[4，＋∞)
B．(10，＋∞)
C．(4,10)∪(10，＋∞)
D．[4,10)∪(10，＋∞)
[答案]　D
[解析]　由题意知x－4≥0且lgx≠1，解得x≥4且x≠10.故选D.
6．(2021·全国高考卷Ⅰ文科，10题)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
[答案]　A
[解析]　当a≤1时，2a－1－2＝－3，无解；当a>1时，－log＝－3，∴a＝7，∴f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－，故选A.
7．若关于x的方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图象可以是(　　)

[答案]　D
[解析]　由于关于x的方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，所以函数y＝f(x)与y＝2的图象在(－∞，0)内有交点，观看图象可知只有D中图象满足要求．
8．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈[1,3]上的近似解的过程中取区间中点x0＝2，那么下一个有根区间为(　　)
A．[1,2] B．[2,3]
C．[1,2]或[2,3]都可以 D．不能确定
[答案]　A
[解析]　由于f(1)＜0，f(2)＞0，f(3)＞0，所以下一个有根区间为[1,2]．
9．若函数f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，g(x)＝是奇函数，则a＋b的值是(　　)
A. B．1
C．－ D．－1
[答案]　A
[解析]　∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即lg(10－x＋1)－ax＝lg(10x＋1)－(a＋1)x＝lg(10x＋1)＋ax，∴a＝－(a＋1)，a＝－.又g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，即2－x－＝－2x＋，∴b＝1.∴a＋b＝.
10．设a，b，c均为正数，且2a＝a，()b＝b，()c＝log2c，则(　　)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
[答案]　A
[解析]　由于a，b，c均为正数，所以由指数函数和对数函数的单调性得：
a＝2a＞1⇒0＜a＜，
b＝()b∈(0,1)⇒＜b＜1，
log2c＝()c＞0⇒c＞1，所以a＜b＜c，故选A.
11．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上递增，且f()＝0，则满足f(x)＞0的x的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(0，)∪(2，＋∞)
C．(0，)∪(，2) D．(0，)
[答案]　B
[解析]　由题意知f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，所以f(|x|)＞f()，由于f(x)在[0，＋∞)上递增，所以|x|＞，解得0＜x＜或x＞2.
12．已知函数f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，f(a)＞f(c)＞f(b)，那么正确的结论是(　　)
A．2a＞2b B．2a＞2c
C．2－a＜2c D．2a＋2c＜2
[答案]　D
[解析]　函数y＝|2x－1|如图，

当a＜b＜c时f(a)＞f(c)＞f(b)，
a，b，c不行能同时大于0或小于0，
∴a＜0，c＞0，∴0＜2a＜1,2c＞1.
又f(a)＝|2a－1|＝1－2a，f(c)＝|2c－1|＝2c－1，
∴1－2a＞2c－1，即2a＋2c＜2.
故应选D.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)的值等于________．
[答案]　－10
[解析]　设g(x)＝ax3＋bx，明显g(x)为奇函数，则f(x)＝ax3＋bx－4＝g(x)－4，于是f(－2)＝g(－2)－4＝－g(2)－4＝2，所以g(2)＝－6，所以f(2)＝g(2)－4＝－6－4＝－10.
14．幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(x2－2x)的减区间为________．
[答案]　(－∞，0]
[解析]　设f(x)＝xα，则3α＝，则α＝，
从而f(x)＝x，f(x2－2x)＝.依题意可知，x2－2x≥0，则x≤0或x≥2.令t＝x2－2x＝(x－1)2－1，在(－∞，1]为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，从而f(x2－2x)的减区间为(－∞，0]．
15．已知函数f(x)＝若f[f(0)]＝4a，则实数a等于________．
[答案]　2
[解析]　∵0＜1，∴f(0)＝20＋1＝2.
∵2＞1，∴f(2)＝4＋2a，
∴f[f(0)]＝f(2)＝4＋2a＝4a，
∴a＝2.
16．已知函数f(x)＝lg(2x－b)(b为常数)，若x∈[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，则b的取值范围是________．
[答案]　(－∞，1]
[解析]　∵要使f(x)＝lg(2x－b)在x∈[1，＋∞)上，恒有f(x)≥0，∴有2x－b≥1在x∈[1，＋∞)上恒成立，即2x≥b＋1恒成立．
又∵指数函数g(x)＝2x在定义域上是增函数．∴只要2≥b＋1成马上可，解得b≤1.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
(1)计算27－2log23×log2＋log23×log34；
(2)已知0＜x＜1，且x＋x－1＝3，求x－x－.
[解析]　(1)27－2 log23×log2＋log23×log34＝9－3×(－3)＋2＝20.
(2)(x－x－)2＝x1＋x－1－2＝1，∵0＜x＜1⇒x－x－<0⇒x－x－＝－1.
18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．
(1)若a＝－2，求A∩∁RB；
(2)若A⊆B，求a的取值范围．
[解析]　(1)当a＝－2时，集合A＝{x|x≤1}，∁RB＝{x|－1≤x≤5}；
∴A∩∁RB＝{x|－1≤x≤1}．
(2)∵A＝{x|x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，
A⊆B，
∴a＋3<－1，
∴a<－4.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2,0.5)，其中a＞0，且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)＝ax－1(x≥0)的值域．
[解析]　(1)∵函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2,0.5)，∴0.5＝a2－1，即a＝.
(2)由(1)知f(x)＝()x－1(x≥0)．
∵0＜＜1，∴f(x)＝()x－1(x≥0)在[0，＋∞)上为减函数．
又f(x)＝()x－1的定义域为[0，＋∞)，且f(0)＝2.
∴f(x)＝()x－1(x≥0)的值域为(0,2]．
20．(本小题满分12分)(2021·安徽屯溪一中期中)已知函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a，c∈N*)满足：①f(1)＝5；②6＜f(2)＜11.
(1)求a，c的值；
(2)若对任意的实数x∈[，]，都有f(x)－2mx≤1成立，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)∵f(1)＝a＋2＋c＝5，
∴c＝3－a.①
又∵6＜f(2)＜11，∴6＜4a＋c＋4＜11，②
将①代入②，得－＜a＜.
又∵a，c∈N*，∴a＝1，c＝2.
(2)由(1)知f(x)＝x2＋2x＋2.
设g(x)＝f(x)－2mx＝x2＋2(1－m)x＋2，x∈[，]．
①当－≤1，即m≤2时，
g(x)max＝g()＝－3m，
故只需－3m≤1，
解得m≥，又∵m≤2，故无解．
②当－＞1，即m＞2时，
g(x)max＝g()＝－m，
故只需－m≤1，解得m≥.
又∵m＞2，∴m≥.
综上可知，m的取值范围是m≥.
21．(本小题满分12分)(2021·河北石家庄一中期中)已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.
[解析]　(1)∵f(x)是(－1,1)上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴b＝0，
又f()＝，∴＝，∴a＝1，
∴f(x)＝.
(2)证明：设x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵－1＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0，－1＜x1x2＜1，
∴1－x1x2＞0，又1＋x＞0,1＋x＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
(3)∵f(x)是(－1,1)上的奇函数，
∴不等式可化为f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)，
即f(t－1)＜f(－t)，
又f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴解得0＜t＜.
∴不等式的解集为{t|0＜t＜}．
22．(本小题满分12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地接受价格调控等手段以达到节省用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费．且有如下三条规定：
①若每月用水量不超过最低限量，即m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；
②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；
③每户每月的定额损耗费a不超过5元．
(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式；
(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：
月份
用水量(立方米)
水费(元)
一
4
17
二
5
23
三
2.5
11
试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过了最低限量，并求m，n，a的值．
[解析]　(1)依题意，得
y＝
其中0＜a≤5.
(2)∵0＜a≤5，∴9＜9＋a≤14.
由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m立方米．
将和分别代入②，
得
两式相减，得n＝6.
把n＝6代入17＝9＋n(4－m)＋a，得a＝6m－16.
又三月份用水量为2.5立方米，水费为11元＜14元，
∴将代入①，得11＝9＋a，
解得a＝2，将a＝2代入a＝6m－16，得m＝3.
∴该家庭今年一、二月份的用水量超过了最低限量，三月份的用水量没有超过最低限量，且m＝3，n＝6，a＝2.