资源描述
轨迹与轨迹方程(教案)A
一、 学问梳理：
1. 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础学问要娴熟把握，还要利用各种数学思想方法，同时具备确定的推理力气和运算力气。
2. 求曲线的轨迹方程常接受的方法有：直接法、定义法、参数法、几何法、交轨法
(1)、定义法:若动点的轨迹条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆,双曲线,圆等)可用定义直接求解.
(2)、直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程（也就是常说的五步法）
(3)、相关点法（轨迹转移法）： 依据相关点所满足的方程,通过转换而求出动点轨迹的方程.
(4)、参数法:若动点的坐标(x，y)中的x,y,分别随另一个变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数建立轨迹的参数方程.
(5)、交轨法:求两动曲线交点的轨迹时,可由方程直接消去参数,例如:求两动直线交点的轨迹时常用此方法,也可以引入参数来建立这些动曲线之间的联系,然后消去参数得到轨迹方程.
3.易错点提示:
(1):要留意区分“轨迹”与“轨迹方程”这两个不同的概念；（2）：检验是否有不符合条件或漏掉的点。
二、题型探究
探究1：定义法
例1：
（1）、由动点p向圆x2+y2=1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB=600，求动点P的轨迹方程。
(2)已知∆ABC三边AB,BC,AC的长度成等差数列,点B,C的坐标分别是(-1,0),C(1,0),求点A的轨迹方程.
探究2：直接法：
例2：已知∆ABC中，BC=2，ABAC=m（m>0），求动点A的轨迹方程，并说明轨迹是图形。
探究3：相关点法：
例3：已知P是圆C：x2+y2=1上任意一点，由P向x轴作垂线段PM，M为垂足，求线段PM的中点N的轨迹。
探究4：参数法
例4：设椭圆的方程为4x2+y2=4，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足OP=12（OA+OB），当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程。
探究5：交轨法：
例5：双曲线x2-2y2=2的左、右顶点分别为A1，A2 ，点P（x1，y1），Q（x1，-y1）是双曲线上不同的两个动点，求直线A1P与A2 Q交点的轨迹E的方程。
三、 方法提升：
求轨迹方程时，一般先观看能否依据条件直接推断轨迹是什么图形，设出方程，利用待定系数法求方程，即定义法；否则通过条件列出动点坐标所满足的方程，若能直接列出就是直接法；否则寻求动点的坐标与其它动点的坐标的关系即相关点法，或寻求动点坐标与其它参数的关系，消去参数得到轨迹方程即参数法，交轨法关键是处理涉及到的轨迹方程，消参得到变通方程。
四、反思感悟
五、课时作业
一、选择题（每小题6分，共42分）
1.两定点A（-2，-1），B（2，-1），动点P在抛物线y=x2上移动，则△PAB重心G的轨迹方程是（ ）
A.y=x2- B.y=3x2- C.y=2x2- D.y=x2-
答案：B
解析：设G（x,y），P（x0,y0）则x0=3x，y0=3y+2，代入y=x2得重心G的轨迹方程：3x+2=(3x)2.
2.曲线C上任意一点到定点A（1，0）与到定直线x=4的距离之差等于5，则此曲线C是（ ）
A.抛物线 B.由两段抛物线弧连接而成
C.双曲线 D.由一段抛物线和一段双曲线弧连接而成
答案：B
解析：设P（x,y）为曲线C上任意一点，由题意，得-|x-4|=5，
故y2=故曲线C是由两段抛物线弧连接而成.
3.下列命题中，确定正确的是（ ）
A.到两定点距离之比为定常数的点的轨迹是椭圆
B.到定点F（-c，0）和到定直线x=-的距离之比为（a＞c＞0）的点的轨迹是椭圆的左半部分
C.到定直线x=-和到定点F（-c，0）的距离之比为（a＞c＞0）的点的轨迹是椭圆
D.平面上到两定点的距离之比等于常数（不等于1）的点的轨迹是圆
答案：D
解析：对比椭圆定义可知A、B、C都不对，故知选D.
4.一动圆与圆x2+y2=1外切，而与圆x2+y2-6x+8=0内切，那么动圆的圆心的轨迹是（ ）
A.双曲线的一支 B.椭圆
C.抛物线 D.圆
答案：A
解析：设动圆圆心为P（x，y），半径为r，又圆（x-3）2+y2=1的圆心为F（3,0）.故|PO|=r+1，|PF|=r-1，故|PO|-|PF|=2.由双曲线定义知P点轨迹是双曲线的右支.
5.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M（-1，2），Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )
A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0
C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0
答案：D
解析：设Q（x，y），则P点（-x-2，-y+4），又点P在直线2x-y+3=0上，故2（-x-2）-（-y+4）+3=0，即：2x-y+5=0.
6.设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点P的轨迹方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
答案：C
解析：设P1、P2两点的横坐标为x=3cosθ，又A1(-3,0),A2(3,0),P1(3cosθ,2sinθ),P2(3cosθ,-2sinθ),故直线A1P1和A2P2方程分别为y=(x+3),y=(x-3).设交点P（x，y），则y2=(x2-9)，即=1.
7.点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线x=8的距离的比为，则动点M的轨迹方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.3x2+4y2+8x-60=0
答案：D
解析：设M为（x，y），则∶|x-8|=1∶2.整理有：3x2+4y2+8x-60=0.
二、填空题（每小题5分，共15分）
8.(2022北京西城区一模，12)点P（0，2）到圆C：（x+1）2+y2=1的圆心的距离为_____________，假如A是圆C上一个动点，=3,那么点B的轨迹方程为_______________________.
答案： (x-2)2+(y-6)2=4
解析：由圆的方程圆心(c-1,0),则P到圆心的距离d=.
设A、B点的坐标分别为（x0,y0）、（x,y）.
=（x-x0,y-y0）,=(-x0,2-y0).
=3,即（x-x0,y-y0）=(-3x0,6-3y0).
∴∵A在圆上，∴（-+1）2+()2=1.
即(x-2)2+(y-6)2=4.即为B点的轨迹方程.
9.已知定直线l上有三点A、B、C，AB=2，BC=5，AC=7，动圆O恒与l相切于点B，则过点A、C且都与⊙O相切的直线l1、l2的交点P的轨迹是_________________________.
答案：去掉两个顶点的双曲线
解析：由题设条件可得||PA|-|PC||=3，依据双曲线定义知点P的轨迹为去掉两个顶点的双曲线.
10.F1、F2为椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从某一焦点引∠F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是____________________.
答案：圆
解析：如右图，延长F1P交F2Q于F1′，则
|OP|=|F1′F2|=|F1′Q|+|F2Q|)=(|F1Q|+|F2Q|)=×2a=a.∴P点轨迹为圆.
三、简答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）
11.设抛物线y2=2px的准线l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任意一点，PQ⊥l，Q为垂足，求QF与OP的交点M的轨迹方程.
解析：设抛物线上点P（2pt2，2pt）（t≠0），直线OP的方程为：y=x.
又Q（-，2pt），F（，0），
∴直线QF的方程y=-2t(x-).它们的交点M（x，y），
由方程组
由①×②得：y2=-2x(x-)，∴交点M的轨迹方程y2=-2x(x-).
12.(2022湖北重点中学模拟，21)平面直角坐标系中，O为原点，给定两点A（1，0）、B（0，-2），点C满足OC=α+β，其中α、β∈R，且α-2β=1，
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线=1（a＞0,b＞0）交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值.
（1）解析：设C（x，y），由于=α+β，
则（x，y）=α（1，0）+β（0，-2）
∴∵α-2β=1,∴x+y=1.
即点C的轨迹方程为x+y=1.
（2）证明：由得：（b2-a2）x2+2a2x2-a2-a2b2=0.
由题意,得b2-a2≠0，设M（x1，y1），N（x2，y2）,
则：x1+x2=,
x1x2=-.
由于以MN为直径的圆过原点，=0，
即x1x2+y1y2=0,x1x2+(1-x2)(1-x2)
=1-(x1+x2)+2x1x2
=1+=0,
即b2-a2-2a2b2=0,∴=2为定值.
13.(2022湖北十一校大联考，22)已知A、B、D三点不在一条直线上，且A（-2，0），B（2，0），||=2，=（+）,
（1）求点E的轨迹方程；
（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点.线段MN的中点到y轴距离为且直线MN与点E的轨迹相切，求椭圆的方程.
解析：（1）设E（x，y），=（+）∴=2-.
∴=2（x+2，y）-（4,0）=(2x,2y).又||=2,∴x2+y2=1(y≠0).
（2）设椭圆方程为：=1，直线 l：y=k(x+2),
由于直线l与圆E相切，∴=1.∴k=±.
直线l：y=± (x+2).将y=±(x+2)代入b2x2+a2y2-a2b2=0,
则有（3b2+a2）x2+4a2x+4a2-3a2b2=0.∴xM+xN=.
∴x中=,|x中|==,
∴5a2=6b2+2a2.∴a2=2b2.又c2=4,∴b2=4,a2=8,椭圆方程为=1.
14.(2010广东珠海一模，18)已知两定点A（-t,0）和B（t，0），t＞0.S为一动点，SA与SB两直线的斜率乘积为.
（1）求动点S的轨迹C的方程，并指出它属于哪一种常见曲线类型；
（2）当t取何值时，曲线C上存在两点P、Q关于直线x-y-1=0对称？
解析：（1）设S（x，y），SA的斜率k1=(x≠-t)，
SB斜率k2=(x≠t),由题意，得(x≠±t),
经整理，得-y2=1(x≠±t).点S的轨迹C为双曲线（除去两顶点）.
（2）假设C上存在这样的两点P（x1，y1)和Q（x2，y2）,
则PQ直线斜率为-1，且P、Q的中点在直线x-y-1=0上.设PQ直线方程为：y=-x+b，
由整理得（1-t2）x2+2t2bx-t2b2-t2=0.
其中1-t2=0，方程只有一个解，与假设不符.
当1-t2≠0时，Δ＞0，Δ=（2bt2）2-4(1-t2)(-t2b2-t2)=4t2(b2+1-t2)，
所以t2＜b2+1， ①
又x1+x2=-，所以.
代入y=-x+b，得.
由于P、Q中点为（）在直线x-y-1=0上，
所以有：--1=0，整理得t2=,
②解①②，得-1＜b＜0,0＜t＜1，经检验，得：当t取（0，1）中任意一个值时，曲线C上均存在两点关于直线x-y-1=0对称.
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