2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-8-4-Word版含解析.docx

转化与化归思想在证明平行关系中的应用
[典例]　(2022·盐城模拟)如图，P为▱ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.

(1)推断BC与l的位置关系，并证明你的结论；
(2)推断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．
[审题视角]　1.本题(1)将线面平行的判定定理和性质定理交替使用，实现了线线平行的证明；本题(2)奇异地将线面平行的证明转化为面面平行，进而由面面平行的性质，得到结论的证明．
2．利用相关的平行判定定理和性质定理实现线线、线面、面面平行关系的转化，也要留意平面几何中一些平行的推断和性质的机敏应用，如中位线、平行线分线段成比例等，这些是空间线面平行关系证明的基础．
[解析]　(1)结论：BC∥l，
由于AD∥BC，BC⃘平面PAD，AD平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又由于BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC＝l，
所以BC∥l.
(2)结论：MN∥平面PAD.
设Q为CD的中点，如图所示，连接NQ，MQ，

则NQ∥PD，MQ∥AD.
又由于NQ∩MQ＝Q，
PD∩AD＝D，
所以平面MNQ∥平面PAD.
又由于MN平面MNQ，
所以MN∥平面PAD.

线线平行、线面平行和面面平行是空间中三种基本平行关系，它们之间可以相互转化，其转化关系如下：

证明平行的一般思路是：欲证面面平行，可转化为证明线面平行，欲证线面平行，可转化为证明线线平行．

1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：

(1)直线EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：(1)如图，连接SB，

∵E、G分别是BC、SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB平面BDD1B1，
EG平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1.
(2)连接SD，
∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.
又∵SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1，且EG平面EFG，
FG平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.