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圆锥曲线最值问题的解题策略
[典例] 如图，椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形ABCD的面积为8.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设直线l：y＝x＋m(m∈R)与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T，求的最大值及取得最大值时m的值．
[审题视角] 解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．
[解析] (1)设椭圆M的半焦距为c，由题意知所以a＝2，b＝1.
因此椭圆M的方程为＋y2＝1.
(2)由
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.
由Δ＝64m2－80(m2－1)＝80－16m2>0，
得－<m<.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|PQ|＝
＝
＝(－<m<)．
线段CD的方程为y＝1(－2≤x≤2)，线段AD的方程为x＝－2(－1≤y≤1)．
①不妨设点S在AD边上，T在CD边上，可知1≤m≤，S(－2，m－2)，D(－2,1)，
所以|ST|＝|SD|＝[1－(m－2)]＝(3－m)，
因此＝.
令t＝3－m(1≤m≤)，
则m＝3－t，t∈(3－，2]，
所以＝＝
＝.
由于t∈(3－，2]，所以∈[，)，
因此当＝，即t＝时，取得最大值，此时m＝.
在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：
(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；
(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
1．(2021·辽宁理，20)如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.
(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
解：(1)由于抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，
所以A点坐标为(－1，)，
故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.
由于点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，
于是y0＝－(2－)＋＝－.①
y0＝－＝－.②
由①②得p＝2.
(2)设N(x，y)，A(x1，)，B(x2，)，x1≠x2，
由N为线段AB中点知x＝.③
y＝.④
切线MA，MB的方程为
y＝(x－x1)＋，⑤
y＝(x－x2)＋.⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为
x0＝，y0＝.
由于点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，
所以x1x2＝－.⑦
由③④⑦得x2＝y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2＝y.
因此AB中点N的轨迹方程为x2＝y.
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