资源描述
数列
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2，a4是方程x2－x－2＝0的两个根，S5＝( )
A. B．5
C．－ D．－5
2．(2022·济南模拟)已知数列{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，
Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为( )
A．－110 B．－90
C．90 D．110
3．在等差数列{an}中an＞0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5·a6的最大值等于( )
A．3 B．6
C．9 D．36
4．在等差数列{an}中，a5＜0，a6＞0，且a6＞|a5|，Sn是数列的前n项的和，则下列正确的
是( )
A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6…均大于0
B．S1，S2，…S5均小于0，S6，S7，…均大于0
C．S1，S2…S9均小于0，S10，S11…均大于0
D．S1，S2，…S11均小于0，S12，S13…均大于0
5．(2021·高考辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列{}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为( )
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
6．(2021·高考大纲全国卷)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和
等于( )
A．－6(1－3－10) B.(1－310)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
7．(2022·昆明市高三调研测试)公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－3a1，－
a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4＝( )
A．－20 B．0
C．7 D．40
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
9．(2022·安徽省“江南十校”联考)已知函数f(x)＝xa的图象过点(4，2)，令an＝
，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 013＝( )
A.－1 B.－1
C.－1 D.＋1
10．已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列
结论正确的是( )
A．a100＝－1，S100＝5 B．a100＝－3，S100＝5
C．a100＝－3，S100＝2 D．a100＝－1，S100＝2
11．已知一个数列{an}的各项是1或2，首项为1，且在第k个1和第(k＋1)个1之间有(2k
－1)个2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，则前2 012项中1的个数为( )
A．44 B．45
C．46 D．47
12．(2022·成都市诊断检测)已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝.若函
数f(x)＝sin 2x＋2cos2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为( )
A．0 B．－9
C．9 D．1
13．数列{an}是首项a1＝4的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则a2 103＝________．
14．若数列{an}(n∈N*)为各项均为正数的等比数列，{lg an}成等差数列，公差d＝lg 3，且{lg an}的前三项和为6lg 3，则{an}的通项公式为________．
15．(2021·高考北京卷)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；
前n项和Sn＝________．
16．数列{an}的通项公式an＝ncos＋1，前n项和为Sn，则S2 014＝________．
1．解析：选A.由于a2，a4是方程x2－x－2＝0的两个根，
∴a2＋a4＝1，S5＝＝＝.
2．解析：选D.a7是a3与a9的等比中项，公差为－2，
所以a＝a3·a9，
所以a＝(a7＋8)(a7－4)，
所以a7＝8，所以a1＝20，
所以S10＝10×20＋×(－2)＝110.故选D.
3．解析：选C.∵a1＋a2＋…＋a10＝30，得a5＋a6＝＝6，又an＞0，∴a5·a6≤＝＝9.
4．解析：选C.由题意可知a6＋a5＞0，故S10＝＝＞0，而S9＝＝＝9a5＜0，故选C.
5．解析：选D.依据等差数列的性质判定．
由于d>0，所以an＋1>an，所以p1是真命题．由于n＋1>n，但是an的符号不知道，所以p2是假命题．同理p3是假命题．由an＋1＋3(n＋1)d－an－3nd＝4d>0，所以p4是真命题．
6．解析：选C.先依据等比数列的定义推断数列{an}是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n项和公式计算．
由3an＋1＋an＝0，得＝－，故数列{an}是公比q＝－的等比数列．又a2＝－，可得a1＝4.所以S10＝＝3(1－3－10)．
7．解析：选A.记等比数列{an}的公比为q，其中q≠1，依题意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2≠0，即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，又q≠1，因此有q＝－3，S4＝＝－20，选A.
8．解析：选C.可以先求出首项和公差，再利用等差数列的求和公式和通项公式求解．
∵{an}是等差数列，Sm－1＝－2，Sm＝0，
∴am＝Sm－Sm－1＝2.
∵Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，
∴d＝am＋1－am＝1.
又Sm＝＝＝0，
∴a1＝－2，∴am＝－2＋(m－1)·1＝2，∴m＝5.
9．解析：选C.由f(4)＝2可得4a＝2，解得a＝，则f(x)＝x.
∴an＝＝＝－，
S2 013＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 013＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.
10．解析：选A.依题意an＋2＝an＋1－an＝－an－1，即an＋3＝－an，an＋6＝－an＋3＝an，故数列{an}是以6为周期的数列a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(a1＋a4)＋(a2＋a5)＋(a3＋a6)＝0.留意到100＝6×16＋4，因此有a100＝a4＝－a1＝－1，S100＝16(a1＋a2＋…＋a6)＋(a1＋a2＋a3＋a4)＝a2＋a3＝a2＋(a2－a1)＝2×3－1＝5，故选A.
11．解析：选B.依题意得，第k个1和它后面(2k－1)个2的个数之和为2k，按这个要求分组，每组数字的个数组成一个以2为首项、2为公差的等差数列，该数列的前n项和等于＝n(n＋1)．留意到2 012＝44×45＋32，因此在题中的数列中，前2 012项中共有45个1，选B.
12．解析：选C.由数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*可知该数列是等差数列，依据题意可知只要该数列中a5＝，数列{yn}的前9项和就能计算得到一个定值，又由于f(x)＝sin 2x＋1＋cos x，则可令数列{an}的公差为0，则数列{yn}的前9项和为S9＝(sin 2a1＋sin 2a2＋…＋sin 2a9)＋(cos a1＋cos a2＋…＋cos a9)＋9＝9sin 2a5＋9cos a5＋9＝9sin＋9cos＋9＝9.
13．解析：设公比为q，则a5＝a1q4，a3＝a1q2.
又4a1，a5，－2a3成等差数列，
∴2a5＝4a1－2a3，即2a1q4＝4a1－2a1q2，
∴得q4＋q2－2＝0，
解得q2＝1或q2＝－2(舍去)，
∴q＝±1，
∴a2 013＝4·(±1)2 013－1＝4.
答案：4
14．解析：∵{lg an}的前三项和为6lg 3，
∴3lg a2＝6lg 3，
∴lg a2＝2lg 3，又d＝lg 3，则lg a1＝lg 3，
lg a3＝3lg 3，
∴a1＝3，a2＝9，a3＝27，∴an＝3n.
答案：an＝3n(n∈N*)
15．解析：设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n项和公式求Sn.
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则：
由a2＋a4＝20得a1q(1＋q2)＝20.①
由a3＋a5＝40得a1q2(1＋q2)＝40.②
由①②解得q＝2，a1＝2.
故Sn＝＝＝2n＋1－2.
答案：2 2n＋1－2
16．解析：∵an＝ncos＋1，
∴a1＝cos＋1＝0＋1，
a2＝2cos＋1＝－2＋1，
a3＝3cos＋1＝0＋1，
a4＝4cos＋1＝4＋1，
a5＝5cos＋1＝0＋1，
a6＝6cos＋1＝－6＋1，
……
S2 014＝
(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2_012＋2_014),共503项
＋2022＝504×2＋2 014＝3 022.
答案：3 022
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