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课时作业11 函数与方程
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．函数f(x)＝sinx－x零点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：f′(x)＝cosx－1≤0，∴f(x)单调递减，又f(0)＝0，∴f(x)＝sinx－x的零点是唯一的．
答案：B
2．(2022·上饶模拟)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
解析：∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1>0，∴函数f(x)在R上单调递增．对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(－1)f(0)>0，A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0，故选C.
答案：C
3．(2022·延安期末)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
解析：由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0<a<3.故选C.
答案：C
4．(2022·长沙模拟)已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应表
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.13
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
则函数f(x)存在零点的区间有( )
A．区间[1,2]和[2,3]
B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]、[3,4]和[4,5]
D．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]
解析：由于f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]内有零点．
答案：C
5．函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为( )
A. B.
C．(1,2) D．(2,3)
解析：∵f＝log2－2＝－3<0，
f(1)＝log21－1＝－1<0；
f(2)＝log22－>0
故函数的零点所在区间为(1,2)．
答案：C
6．函数f(x)＝x－x的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：函数f(x)＝x－x的零点个数，即方程x－x＝0的根的个数，亦即函数y＝x的图像与函数y＝x图像的交点个数，画出两者的图像(如图)，可得交点的个数为1.
答案：B
7．(2022·河北衡水模拟)已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝lnx－1的零点依次为a，b，c，则( )
A．a<b<c B．c<b<a
C．c<a<b D．b<a<c
解析：∵ea＝－a，∴a<0，∵lnb＝－b，且b>0，∴0<b<1.∵lnc＝1，∴c＝e>1，故选A.
答案：A
8．(2022·湖北黄冈一模)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的解有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．多于4个
解析：若函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)是以2为周期的周期函数，又函数是定义在R上的偶函数，结合当x∈[0,1]时，f(x)＝x，在同一坐标系中画出函数y＝f(x)与函数y＝log3|x|的图像如图所示：
由图可知函数y＝f(x)与函数y＝log3|x|的图像共有4个交点，即方程f(x)＝log3|x|的解的个数是4，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．(2022·大同一模)关于x的实系数方程x2－ax＋2b＝0的一根在区间[0,1]上，另一根在区间[1,2]上，则2a＋3b的最大值为________．
解析：令f(x)＝x2－ax＋2b，依据题意知函数在[0,1]，[1,2]上各存在一零点，结合二次函数图像可知满足条件：
⇔
在直角坐标系中作出满足不等式组的点(a，b)所在的可行域如图，
问题转化为确定线性目标函数z＝2a＋3b的最优解．结合图形可知当a＝3，b＝1时，目标函数取得最大值9.
答案：9
10．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a，若函数g(x)有两个零点，则实数a的取值范围为________．
解析：设n为自然数，则当n<x≤n＋1时，f(x)＝(x－n－1)2，则当x>0时，函数f(x)的图像是以1为周期重复毁灭．而函数y＝x＋a是一簇平行直线，当它过点(0,1)(此时a＝1)时与函数f(x)的图像交于一点，向左移总是一个交点，向右移总是两个交点，故实数a的取值范围为a<1.
答案：(－∞，1)
11．函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]＋1的全部零点所构成的集合为________．
解析：本题即求方程f[f(x)]＝－1的全部根的集合，先解方程f(t)＝－1，即或得t＝－2或t＝.再解方程f(x)＝－2和f(x)＝.
即或和或
得x＝－3或x＝和x＝－或x＝.
答案：
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．设函数f(x)＝(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图像；
(2)当0<a<b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；
(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
解：(1)如图所示．
(2)∵f(x)＝＝
故f(x)在(0,1]上是减函数，而在 (1，＋∞)上是增函数，由0<a<b且f(a)＝f(b)，取0<a<1<b，且－1＝1－，
∴＋＝2.
(3)由函数f(x)的图像可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．
13．设函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c(a>0，a，c∈R)．
(1)设a>c>0.若f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，求c的取值范围；
(2)函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？
解：(1)由于二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图像的对称轴为x＝，由条件a>c>0，得2a>a＋c，故<＝<1，即二次函数f(x)的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛物线开口向上，故f(x)在[1，＋∞)内是增函数．
若f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，则f(x)min＝f(1)>c2－2c＋a，即a－c>c2－2c＋a，得c2－c<0，所以0<c<1.
(2)①若f(0)·f(1)＝c·(a－c)<0，
则c<0，或a<c，二次函数f(x)在(0,1)内只有一个零点．
②若f(0)＝c>0，f(1)＝a－c>0，则a>c>0.
由于二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图像的对称轴是x＝.而f＝<0，
所以函数f(x)在区间和内各有一个零点，故函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点．
14．已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.
(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；
(2)是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12－t(视区间[a，b]的长度为b－a)．
解：(1)∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，
∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．
∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有即
∴－20≤q≤12.
(2)∵0≤t<10，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x＝8.
①当0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，
∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0，
解得t＝，∴t＝；
②当6<t≤8时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，
∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；
③当8<t<10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，
∴f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8,9，∴t＝9.
综上可知，存在常数t＝，8,9满足条件．
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