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课时作业51 抛物线
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
解析：如图，|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|
＝2|MN|＝3，
∴|MN|＝，
又p＝，∴AB中点M到y轴的距离为|MN|－＝.
答案：C
2．(2022·郑州模拟)抛物线y2＝4x上点P(a,2)到焦点F的距离为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：由于P(a,2)在抛物线y2＝4x上，求得P(1,2)，又抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，则|PF|＝＝2.
答案：B
3．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：由已知得抛物线焦点为F，
∴AF所在直线方程为y＝2.∴A，
∴S△OAF＝×·＝＝4，
∴a2＝64，∴a＝±8，∴抛物线的方程为y2＝±8x.
答案：B
4．(2022·济南质检)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并且满足OA⊥OB，则y1y2等于( )
A．－4p2 B．－3p2
C．－2p2 D．－p2
解析：∵OA⊥OB，∴·＝0.①
∴x1x2＋y1y2＝0.
∵A、B都在抛物线上，
∴∴
代入①得·＋y1y2＝0，解得y1y2＝－4p2.
答案：A
5．(2021·四川理，6)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A. B.
C．1 D.
解析：抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，
双曲线x2－＝1的渐近线为y＝±x.
∴d＝.
答案：B
6．(2021·北京，7)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )
A. B．2
C. D.
解析：依题意，l的方程为y＝1，它与抛物线相交弦的长为4，所求的面积，相当于一个矩形面积减去一个积分值，即S＝4－2dx＝4－2(|)＝.选C.
答案：C
7．(2021·山东理，11)抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝( )
A. B.
C. D.
解析：由已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为A(0，)，双曲线－y2＝1的右焦点为B(2,0)，则过A、B两点的直线方程为y＝－x＋，与抛物线x2＝2py(p>0)联立解得交点M的横坐标为
x0＝，
由y＝知，y′＝，则y′|x＝x0＝＝，
∴×＝，＋p＝，
解之得p＝，留意y＝的焦点为(0，)．
答案：D
8．(2022·湖南衡阳一模)若点P到定点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是( )
A．y2＝－16x B．y2＝－32x
C．y2＝16x D．y2＝16x或y＝0(x<0)
解析：∵点F(4,0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到定点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，∴点P到F(4,0)的距离与它到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则p＝8.故点P的轨迹方程为y2＝16x.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．(2021·安徽理，13)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．
解析：不妨设A(，a)，B(－，a)，C(x0，x)，则＝(－－x0，a－x)，
＝(－x0，a－x)，
∵∠ACB＝90°.
∴·＝(－x0，a－x)(－－x0，a－x)＝0.
∴x－a＋(a－x)＝0，则x－a<0.
∴(a－x)(a－x－1)＝0，∴a－x－1＝0.
∴x＝a－1，又x≥0.
∴a≥1.
答案：a≥1
10．(2021·江西理，14)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________
解析：如图不妨设A(x0，－)．
F(0，)，FD＝p，
可解得A(，－)．
在Rt△DFA中，tan30°＝，
∴＝.
∴p2＝36，p＝6.
答案：6
11．(2021·浙江理，15)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A、B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．
解析：设lAB：y＝k(x＋1)与抛物线y2＝4x联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
其中Δ＝(2k2－4)2－4k2·k2>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Q(，)，其中＝－＝，＝＝，
∴|FQ|＝
＝＝2，解得k＝±1.
答案：±1
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，
所以p＝2.
故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，
其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t
由得y2＋2y－2t＝0
由于直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，
解得t≥－.
另一方面，由直线OA与l的距离d＝，可得＝，
解得t＝±1.综上知：t＝1.
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
13．P是抛物线y2＝4x上的一个动点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
解：(1)抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
∵P点到准线x＝－1的距离等于P到F(1,0)的距离，
∴问题转化为：在曲线上求一点P，使P到A(－1,1)的距离与P到F(1,0)的距离之和最小．明显P是AF的连线与抛物线的交点，最小值为|AF|＝.
即：所求距离的最小值为.
(2)|PF|与P点到准线的距离相等，如图，过B作BQ⊥准线于Q点，交抛物线于P1点．
∵|P1Q|＝|P1F|
∴|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
∴|PB|＋|PF|的最小值为4.
14．(2021·湖南理，21)过抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.
(1)若k1>0，k2>0，证明：·<2p2；
(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．
解：(1)由题意，抛物线E的焦点为F(0，)，直线l1的方程为y＝k1x＋，
由得x2－2pk1x－p2＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1＋x2＝2pk1，
y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk＋p.
所以点M的坐标为(pk1，pk＋)，＝(pk1，pk)．
同理可得点N的坐标为(pk2，pk＋)，＝(pk2，pk)．
于是·＝p2(k1k2＋kk)．
由题设，k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2，
所以0<k1k2<()2＝1.
故·<p2(1＋12)＝2p2.
(2)由抛物线的定义得|FA|＝y1＋，|FB|＝y2＋，
所以|AB|＝y1＋y2＋p＝2pk＋2p，
从而圆M的半径r1＝pk＋p.
故圆M的方程为(x－pk1)2＋(y－pk－)2＝(pk＋p)2，
化简得x2＋y2－2pk1x－p(2k＋1)y－p2＝0.
同理可得圆N的方程为x2＋y2－2pk2x－p(2k＋1)y－p2＝0.
于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2－k1)x＋(k－k)y＝0.
又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，则l的方程为x＋2y＝0.
由于p>0，所以点M到直线l的距离
d＝＝
＝.
故当k1＝－时，d取最小值.
由题设，＝，解得p＝8.
故所求的抛物线E的方程为x2＝16y.
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