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第五节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简洁应用
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，则所得图象对应的函数解析式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin4x D．y＝sinx
解析 把函数y＝sin的图象向右平移个单位，得到函数y＝sin＝sin2x，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，则所得图象对应的函数解析式是y＝sin2(2x)＝sin4x.
答案 C
2．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象，此函数的解析式可为( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
解析 由题图可知A＝2，＝－＝，
∴T＝π，ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．
又f＝2，即2sin＝2，
∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，结合选项知选B.
答案 B
3．将函数y＝sin图象上全部点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把所得图象向右平移个单位长度后得到函数y＝f(x)的图象，则函数y＝f(x)的图象( )
A．关于点(0,0)对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝π对称
解析 将函数y＝sin图象上全部点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin，再把所得图象向右平移个单位长度，得到y＝sin＝sin.
当x＝时，y＝sin＝sin＝1.
所以x＝为其对称轴．
答案 C
4．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝( )
A．1 B.
C. D.
解析 观看图象可知，A＝1，T＝π，
∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)．
将代入上式得sin＝0，
由|φ|<，得φ＝，则f(x)＝sin.
函数图象的对称轴为x＝＝.
又x1，x2∈.
且f(x1)＝f(x2)，∴＝，∴x1＋x2＝.
∴f(x1＋x2)＝sin＝.故选D.
答案 D
5．(2022·安徽卷)若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是( )
A. B.
C. D.
解析 由题意得f(x)＝sin，其图象向右平移φ个单位得f(x)＝sin＝sin的图象，由其图象关于y轴对称得－2φ＋＝kπ＋，k∈Z.
∴φ＝－－，k∈Z.令k＝－1，得φ＝.
答案 C
6.
已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，且|φ|<)的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是( )
A.
B.
C.
D.
解析 由函数的图象可得T＝π－π，
∴T＝π，则ω＝2.
又图象过点，∴2sin＝2.
∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，
取k＝0，即得f(x)＝2sin，
其单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z，取k＝0，即得选项D.
答案 D
二、填空题
7．(2022·重庆卷)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sinx的图象，则f＝________.
解析 本题可逆推，由y＝sinx的图象推f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象，将y＝sinx的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，再保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍，得到f(x)＝sin的图象．
所以f＝sin＝sin＝.
答案
8．函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且函数图象关于点对称，则函数的解析式为________．
解析 由题意知函数的最小正周期T＝π＝，∴ω＝2，又函数图象过点，∴2×＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ＋(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝.∴y＝sin.
答案 y＝sin
9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，则ω＝________.
解析 由已知两相邻最高点和最低点的距离为2，而f(x)max－f(x)min＝2，由勾股定理可得＝＝2，所以T＝4，所以ω＝＝.
答案
三、解答题
10．(2022·湖南卷)某试验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系；
f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．
(1)求试验室这一天的最大温差；
(2)若要求试验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间试验室需要降温？
解 (1)由于f(t)＝10－2
＝10－2sin，
又0≤t<24，所以≤t＋<，
－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.
故试验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时试验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11
即sin<－.
又0≤t<24，因此<t＋<，即10<t<18.
故在10时至18时试验室需要降温．
11．将函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象，已知g(x)的部分图象如图所示，该图象与y轴相交于点F(0,1)，与x轴相交于点P，Q，点M为最高点，且△MPQ的面积为.
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，g(A)＝1，且a＝，求△ABC面积的最大值．
解 (1)由题意可知g(x)＝2sin.
由于S△MPQ＝·2·|PQ|＝，
则|PQ|＝＝，∴T＝π，即ω＝2.
又由于g(0)＝2sin＝1，
且－<φ－<，
则φ－＝，∴φ＝.
即g(x)＝2sin＝2sin.
(2)g(A)＝2sin＝1,2A＋∈，则2A＋＝，∴A＝.
由余弦定理得b2＋c2－2bccosA＝a2＝5.
∴5＝b2＋c2－bc≥bc.
∴S△ABC＝bcsinA≤，当且仅当b＝c＝时，等号成立，故S△ABC的最大值为.
1．已知A，B，C，D是函数y＝sin(ωx＋φ)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图
象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为( )
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
解析 由E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，知OF＝，又A，所以AF＝＝＝，所以ω＝2.同时函数图象可以看作是由y＝sinωx的图象向左平移得到，故可知＝＝，即φ＝.
答案 A
2．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b对任意实数x有f＝f(－x)成立，且f＝1，则实数b的值为( )
A．－1 B．3
C．－1或3 D．－3
解析 由f＝f(－x)可知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b关于直线x＝对称，又函数f(x)在对称轴处取得最值，故±2＋b＝1, 所以b＝－1或b＝3.
答案 C
3．已知直线y＝b(b<0)与曲线f(x)＝sin在y轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列，则b的值是________．
解析 设三个横坐标依次为x1，x2，x3，
由图及题意有解得x2＝，所以b＝f＝－.
答案 －
4．已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．
解 (1)由题意得：f(x)
＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx－
＝sin2ωx－cos2ωx＝2sin，
由最小正周期为π，得ω＝1.
得f(x)＝2sin，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
整理得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调增区间是，k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y＝2sin2x＋1的图象，所以g(x)＝2sin2x＋1.
令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，所以y＝g(x)在[0，π]上恰好有两个零点．若y＝g(x)在[0，b]上至少有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π＋＝.
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