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第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )
A. B.
C．－ D．－
解析 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确，又由于拨快10分钟，故应转过的角为圆周的.即为－×2π＝－.
答案 C
2．已知角α和角β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sinα＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 由于角α和角β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z)，又β＝－，所以α＝2kπ＋(k∈Z)，即得sinα＝.
答案 D
3．(2021·浙江温州测试)已知角α的终边与单位圆交于点，则tanα＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析 依据三角函数的定义，tanα＝＝＝－.
答案 D
4．已知角α的终边上有一点P(t，t2＋1)(t>0)，则tanα的最小值为( )
A．1 B．2
C. D.
解析 依据已知条件得tanα＝＝t＋≥2，当且仅当t＝1时，tanα取得最小值2.
答案 B
5．(2022·新课标全国卷Ⅰ)若tanα>0，则( )
A．sinα>0 B．cosα>0
C．sin2α>0 D．cos2α>0
解析 由tanα>0知角α是第一或第三象限角，当α是第一象限角时，sin2α＝2sinαcosα>0；当α是第三象限角时，sinα<0，cosα<0，仍有sin2α＝2sinαcosα>0，故选C.
答案 C
6．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④.其中符号为负的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析 sin(－1 000°)＝sin80°>0；cos(－2 200°)
＝cos(－40°)＝cos40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0；＝，sin>0，tan<0，∴原式>0.
答案 C
二、填空题
7．点P从(1,0)动身，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为________．
解析 依据题意得Q，即Q.
答案
8．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第________象限．
解析 由题意知，tanα＜0，cosα＜0，所以α是其次象限角．
答案 二
9．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3,4)，则cos2α＝________.
解析 依据三角函数的定义知：sinα＝＝＝，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝1－＝－.
答案 －
三、解答题
10．已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．
解 ∵P(x，－)(x≠0)，
∴P到原点的距离r＝.
又cosα＝x，∴cosα＝＝x，
∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.
当x＝时，P点坐标为(，－)，
由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－；
当x＝－时，P点坐标为(－，－)，
∴sinα＝－，tanα＝.
11．已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，
(1)求的弧长；
(2)求弓形OAB的面积．
解 (1)∵α＝120°＝，r＝6，
∴的弧长为l＝×6＝4π.
(2)∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
S△ABO＝r2·sin＝×62×＝9，
∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－9.
1．已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为( )
A. B.
C. D.
解析 由题意知点P在第四象限，依据三角函数的定义得
cosα＝sin＝，故α＝2kπ－(k∈Z)，
所以α的最小正值为.
答案 D
2．如图，设点A是单位圆上的肯定点，动点P从A动身在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致为( )
解析 如图取AP的中点为D，连接OD.
设∠DOA＝θ，
则d＝2sinθ，l＝2θ，
故d＝2sin.
答案 C
3．函数y＝＋ 的定义域是________．
解析 由题意知即
∴x的取值范围为＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.
答案 (k∈Z)
4．(1)确定的符号；
(2)已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝m(0<m<1)，试推断式子sinα－cosα的符号．
解 (1)∵－3,5,8分别是第三、第四、其次象限角，∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0.
(2)若0<α<，则如图所示，在单位圆中，
OM＝cosα，MP＝sinα，
∴sinα＋cosα＝MP＋OM>OP＝1.
若α＝，则sinα＋cosα＝1.
由已知0<m<1，故α∈.
于是有sinα－cosα>0.
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