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第三节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．已知α为锐角，cosα＝，则tan＝( )
A．－3 B．－
C．－ D．－7
解析 依题意得，sinα＝，故tanα＝2，tan2α＝＝－，所以tan＝＝－.
答案 B
2.
如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为和，
则cos(α＋β)的值为( )
A．－ B．－
C．0 D.
解析 cosα＝，sinα＝，cosβ＝－，sinβ＝，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝·－·＝－.
答案 A
3．函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是( )
A．π，1 B．π，2
C．2π，1 D．2π，2
解析 由f(x)＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋
cos2x＝sin，得最小正周期为π，振幅为1.
答案 A
4．(2021·嘉兴模拟)的值是( )
A. B.
C. D.
解析 原式＝
＝
＝＝.
答案 C
5．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝( )
A. B．－
C. D．－
解析 cos＝cos＝coscos＋sinsin，
∵0<α<，
则<＋α<，∴sin＝.
又－<β<0，则<－<.
∴sin＝.
故cos＝×＋×＝.
答案 C
6．已知sin＋sinα＝－，则cos等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析 由sin＋sinα＝－，得
sinα＋cosα＋sinα＝－，
所以sinα＋cosα＝－.
故sin＝－.
于是sin＝－.
所以cos＝cos
＝－sin＝.
答案 D
二、填空题
7．已知tan＝2，则的值为________．
解析 由tan＝2，得＝2，
∴tanx＝.∴＝
＝＝＝.
答案
8．已知sin＝，则cos＝________.
解析 cos＝2cos2－1，
又cos＝sin＝，
所以cos＝－.
答案 －
9．设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.
解析 f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)而sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值，即θ＝φ＋＋2kπ时，f(x)取最大值．cosθ＝cos＝－sinφ＝－＝－.
答案 －
三、解答题
10．(2022·广东卷)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈，求f.
解 (1)f＝Asin＝，
∴A·＝，A＝，
(2)f(θ)＋f(－θ)＝
sin＋·sin＝，
∴＝.
∴cosθ＝，cosθ＝.又θ∈，
∴sinθ＝＝.
∴f＝sin(π－θ)＝sinθ＝.
11．(2022·四川卷)已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是其次象限角，f＝coscos2α，求cosα－sinα的值．
解 (1)由于函数y＝sinx的单调递增区间为，k∈Z，由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由已知，有sin＝cos·(cos2α－sin2α)，所以sinαcos＋cosαsin
＝(cos2α－sin2α)，
即sinα＋cosα＝(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．
当sinα＋cosα＝0时，由α是其次象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.此时，cosα－sinα＝－.
当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝.
由α是其次象限角，知cosα－sinα<0，
此时cosα－sinα＝－.
综上所述，cosα－sinα＝－或－.
1．已知tan(α＋)＝，且－<α<0，则等于( )
A．－ B．－
C．－ D.
解析 由tan＝＝，
得tanα＝－.又－<α<0，所以sinα＝－.
故＝
＝2sinα＝－.
答案 A
2．定义运算＝ad－bc，若cosα＝，＝，0<β<α<，则β等于( )
A. B.
C. D.
解析 依题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝，
又0<β<α<，∴0<α－β<.
故cos(α－β)＝＝.
而cosα＝，∴sinα＝.
于是sinβ＝sin[α－(α－β)]
＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝，故β＝，选D.
答案 D
3．已知α，β∈，满足tan(α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是________．
解析 由tan(α＋β)＝4tanβ，得＝4tanβ，解得tanα＝，由于β∈，所以tanβ>0.所以tanα＝≤＝，当且仅当＝4tanβ，即tan2β＝，tanβ＝时取等号，所以tanα的最大值是.
答案
4．(2022·江西卷)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.
(1)若a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2)若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．
解 (1)f(x)＝sin＋cos
＝(sinx＋cosx)－sinx＝cosx－sinx
＝sin.
由于x∈[0，π]，从而－x∈.
故f(x)在[0，π]上的最大值为，最小值为－1.
(2)由得
由θ∈知cosθ≠0，解得
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