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随堂练习：线面的垂直与平行
1．如图，在直三棱柱中，，，，是上一动点，则的最小值是___________.
2．已知直线和平面，且，则与的位置关系是 .
3．考察下列命题，在“___”处缺少一个条件，补上这个条件使其构成正确命题（其中为直线，为平面），则此条件为____________；
4．在正方体ABCD—A1B1C1D1各个表面的对角线中，与直线异面的有__________条
5．在三棱锥中,,分别是的中点,,则异面直线与所成的角为 ．
6．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的个数为________．
①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.
7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠，有以下四个结论：
①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)
8．已知直线平面，直线平面，则直线的位置关系是 .
9．如图，正三棱柱中，是的中点，.
A1
B1
C1
A
B
C
D
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60º，又PA⊥底面ABCD，E为BC的中点.
（1）求证:AD⊥PE;
（2）设F是PD的中点，求证:CF∥平面PAE.
参考答案
1．
【解析】
试题分析：在图2中，连接，由已知条件可求得，，
，由于，所以，将直角△和等腰直角△开放在同一平面内，如图，则由余弦定理得，
由于，所以的最小值是，空间距离的最小值，经常要通过图形开放，转化为平面图形问题来解决.
考点：空间图形的折叠与开放及距离计算.
2．或
【解析】
试题分析：由于，由线面位置关系可知，与的位置关系是或.
考点：线面位置关系、空间想象力量.
3．
【解析】略
4．.
【解析】
试题分析：如图可知：与直线异面的面对角线总共有，.，，，，，∴总共有条
考点：空间中直线与直线的位置关系.
5．
【解析】
题分析：取中点,连接．则中,∥且,中, ∥且,所以为所求．中,,所以．
考点：异面直线所成角．
6．1
【解析】对于①，由l⊥m及m⊂α，可知l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故①不正确．②正确．对于③，由l∥α，m⊂α知，l与m的位置关系为平行或异面，故③不正确．对于④，由l∥α，m∥α知，l与m的位置关系为平行、异面或相交，故④不正确．
7．①③
【解析】过N作NP⊥BB1于点P，连接MP，可证AA1⊥平面MNP，得AA1⊥MN，①正确；过M，N分别作MR⊥A1B1，NS⊥B1C1于点R，S，则当M不是AB1的中点，N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M，N分别是AB1，BC1的中点时，A1C1∥RS，所以A1C1与MN可以异面，也可以平行，故②④错误；由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，所以平面MNP∥平面A1B1C1D1，故③正确．
8．垂直.
【解析】
试题分析：依据线面平行与垂直的性质来求.
考点：线面垂直与平行的性质应用.
9．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）想要解决这个问题，需要构造平行线，
连结交于，连结，则
又平面 平面
（Ⅱ）设点到平面的距离为，连结
由
得
试题解析：（Ⅰ）连结交于，连结，则
分别是，的中点
又平面 平面
（Ⅱ）设点到平面的距离为，连结
由
得
即点到平面的距离为
考点：线面平行的判定，等体积法.
10．（1）见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）利用线面垂直可证得线线垂直；（2）利用线线平行证明线面平行
试题解析：（1）证明：由于底面ABCD为菱形，∠ABC＝60º，且E为BC的中点，所以AE⊥BC.
又BC∥AD，所以AE⊥AD.又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AD.
于是AD⊥平面PAE，进而可得AD⊥PE.（6分）
（2）取AD的中点G，连结FG、CG，易得FG∥PA，CG∥AE，所以平面CFG∥平面PAE，进而可得CF∥平面PAE.（12分.其它证法同理给分）
考点：空间直线与平面位置关系，平行与垂直的性质及判定.
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