1、立体几何初步一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若正棱锥的底面边长与侧棱长都相等，则该棱锥肯定不是（ ） A三棱锥 B四棱锥 C五棱锥 D六棱锥2一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ） A底面是正方形，有两个侧面是矩形 B底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D每个侧面都是全等矩形的四棱柱3如图，棱锥P-ABCD的高PO3，截面积ABCD平行于底面ABCD，PO与截面交于O，且OO2。假如四边形ABCD的面积为36，则四边形ABCD的面积为（ ）A12 B 16 C 4 D 84一个凸多面
2、体的面数为8，各面多边形的内角总和为16，则它的棱数为（ ）A24 B22 C18 D165在棱长为1的正方体AC1中，对角线AC1在六个面上的射影长度总和是（ ）AB C6D6若一个四周体由长度为1，2，3的三种棱所构成，则这样的四周体的个数是（ ）A2B4C6D87棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）ABCD8已知一个简洁多面体的每个面均为五边形，且它共有30条棱，则此多面体的面数F和顶 点数V分别等于（ ）空x(时间)PQ满y(水量)OAF=6,V=26 BF=8,V=24CF=12,V=20 DF=20,V=129有一空容器，由悬在它上方的一根水管
3、均匀地注水，直至 把容器注满在注水过程中水面的高度曲线如右图所示， 其中PQ为一线段，则与此图相对应的容器的外形是（ ）A B C D10一个水平放置的圆柱形贮油桶，桶内有油部分占底面一头的圆周长的，则油桶直立时，油的高度与桶的高之比是（ ）ABCD11平行六面体ABCD-ABCD的六个面都是菱形，那么顶点B在平面ACB上的射影肯定是ACB的A重心 B 外心 C内心 D垂心12棱长为a的正四周体中，高为H，斜高为h，相对棱间的距离为d，则aHhd的大小关系正确的是（ ）ABCD二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果13正方体中，棱长为a，E是的中点，在对角面上取一点M
4、，使AM+ME最小，其最小值为 .14一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样的三棱锥体积为 （写出一个可能值）15在正四棱锥PABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60，则异面直线PA与BC所成角的大小等于 （结果用反三角函数值表示）16如图，在直四棱柱A1B1C1 D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1 BB1 D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑全部可能的情形)三、解答题：本大题满分74分17（10分）已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为, 试求第三条侧棱长的取值范围18（12分）今年庄稼丰收，这些粮食
5、往哪儿放呢？东东爹想了个好方法：拿一块长方形木板，借助两面墙，在偏屋的墙角处围一个直三棱柱的谷仓。而木板可以立着放，可以横着放，怎样放装粮食多呢？ 19（12分）长方体的底面积是4，对角线长是4，求长方体侧面积的最大值20（12分） 已知简洁多面体的顶点数面数数分别为VF E 多面体的各面为正x边形，过同一顶点的面数为y 求证： 21（14分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，AB=a （）求证：直线A1DB1C1； （）求点D到平面ACC1的距离； （）推断A1B与平面ADC的位置关系， 并证明你的结论22（14分）如图，在三棱锥中，平面，D为BC的中点（1）推断AD与SB
6、能否垂直，并说明理由； （2）若三棱锥的体积为，且为 钝角，求二面角的平面角的正切值；（3）在（）的条件下，求点A到平面SBC的距离 参考答案一、选择题：每小题5分，共60分1D 2C 3C 4D 5B 6A 7C 8C 9C 10B 11B 12B6解：满足条件的四周体只有如下两种情形： 7解：该内接正八面体的棱长为 ，它的体积为选C10解： 设圆柱的底面半径为R，高为h，油桶直立时油面的高度为x，则 选B11解：BA=BC=BB,B在平面ACB上的射影到三个顶点的距离也相等，即射影为ACB的外心。答案：B12解：易得 .选B二、填空题：本大题满分16分，每小题4分 13 14 15 16A
7、CBD,或AB=AD且BC=DC13解： 设ACBD=O，则AO=CO 平面是线段AC的垂直平分面，C是A关于平面的对称点。连CE交面于M ，则M 就是要求的点，这时AM+ME 最小。又AM=CM, AM+ME的最小值就是CE 的长，而=, AM+ME的最小值为三、解答题：本大题满分74分 17 解: 如图, 四周体ABCD中,AB=BC=CA=1（2分）, DA=DC=（4分）, 只有棱DB的长x是可变的 在三角形ACD中, M为AC的中点, MD= MB=（6分）由MF-MBBDb0，又知道两墙面所成二面角为 （2分） 设b作底边，a作直三棱柱的侧棱，底面另两边为x,y, 则 （4分） （
8、6分） （8分）则当x=y时，（10分）同理，若a作底边，有当x=y时，所以把长边放在底面，短边作侧棱，且围成底面是等腰三角形时，容积最大。（12分）19 解：设长方体的底面长，宽分别为x,y, 高为z（2分） 则由：（1）、（2），得（4分） .（6分）.（8分）将的二次函数视为的二次函数，它的增区间是0，12.（10分）由于，故当，取最大值128.的最大值为.（12分） 20证明：由题设，有 ，由此得到所证等式. 21 （）证法一：点D是正ABC中BC边的中点，ADBC，又A1A底面ABC，A1DBC ，BCB1C1，A1DB1C1 证法二：连结A1C1，则A1C=A1B 点D是正A1CB
9、的底边中BC的中点， A1DBC ，BCB1C1，A1DB1C1（4分）（）解法一：作DEAC于E， 平面ACC1平面ABC，DE平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的 距离 在RtADC中，AC=2CD=所求的距离（9分）解法二：设点D到平面ACC1的距离为，体积 即点D到平面ACC1的距离为（9分） （）答：直线A1B/平面ADC1，证明如下：证法一：如图1，连结A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，D是BC的中点，DFA1B， 又DF 平面ADC1，A1B平面ADC1，A1B平面ADC1 （14分）证法二：如图2,取C1B1的中点D1，则ADA1D1，C1DD1B，AD平面A1D1B，且C1D平面A1D1B，平面ADC1平面A1D1B，A1B平面A1D1B，A1B平面ADC1 （14分） 22 解：（1）由于SB在底面ABC上的射影AB与AD不垂直，否则与AB=AC且D为BC的中点冲突，所以AD与SB不垂直；（4分）（2）设，则 解得 ，所以（舍），平面ABC，AB=AC，D为BC的中点，则是二面角SBCA的平面角在中，,故二面角的正切值为；（9分）（3）由（2）知，平面SDA，所以平面SBC平面SDA，过点A作AESD，则AE平面SBC，于是点A到平面SBC的距离为AE,从而即A到平面SBC的距离为（14分）
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